Homologi og kohomologi
Den Homologien er et generelt matematisk teknik, der anvendes til at måle obstruktion hvor visse pakker af morfier at være nøjagtig . Det er involveret i mange områder såsom algebra , den algebraiske topologi , den algebraiske geometri og den differentielle geometri .
Generel
Kædekompleks
En kæde kompleks gives en sekvens af Abelian grupper eller mere generelt objekter af Abelian kategori og en familie af homomorfier , kaldet kant operatører , såsom:
. Elementerne i kaldes gradstrenge . Elementerne i kernen kaldes cyklusser. Elementerne i billedet kaldes kanter. Hver kant er en cyklus. De grupper af homologi af komplekset derefter, ved definition
.
Mjeg{\ displaystyle M_ {i}}∂jeg:Mjeg→Mjeg-1{\ displaystyle \ partial _ {i}: M_ {i} \ rightarrow M_ {i-1}}∂jeg∂jeg+1=0{\ displaystyle \ partial _ {i} \ partial _ {i + 1} = 0}Mjeg{\ displaystyle M_ {i}}jeg{\ displaystyle i}ker∂jeg{\ displaystyle \ ker \ partial _ {i}}jegm ∂jeg+1{\ displaystyle Im \ \ partial _ {i + 1}}M∗{\ displaystyle M _ {*}}Hjeg(M∗,∂∗)=ker∂jeg/jegm ∂jeg+1{\ displaystyle H_ {i} (M _ {*}, \ partial _ {*}) = \ ker \ partial _ {i} / Im \ \ partial _ {i + 1}}
Cochaînes-kompleks
En cochain kompleks gives en sekvens af Abelian grupper eller mere generelt objekter af Abelian kategori og en familie af homomorfier , kaldet coboundary operatører , såsom:
. Elementerne i kaldes grad cochains . Elementerne i kernen kaldes cocycles. Elementerne i billedet kaldes cobords. Hver cobord er en cocycle. De cohomology grupper af komplekset er så per definition
.
Mjeg{\ displaystyle \ M ^ {i}}∂jeg:Mjeg→Mjeg+1{\ displaystyle \ partial ^ {i}: M ^ {i} \ rightarrow M ^ {i + 1}}∂jeg∂jeg-1=0{\ displaystyle \ partial ^ {i} \ partial ^ {i-1} = 0} Mjeg{\ displaystyle \ M ^ {i}}jeg{\ displaystyle i}ker∂jeg{\ displaystyle \ ker \ partial ^ {i}}jegm ∂jeg-1{\ displaystyle Im \ \ partial ^ {i-1}} M∗{\ displaystyle \ M ^ {*}}Hjeg(M∗,∂∗)=ker∂jeg/jegm ∂jeg-1{\ displaystyle H ^ {i} (M ^ {*}, \ partial ^ {*}) = \ ker \ partial ^ {i} / Im \ \ partial ^ {i-1}}
Vi bemærker, at hvis det er et kompleks af cochaînes, opnår vi et kompleks af kæder ved at indstille . Begge terminologier eksisterer imidlertid, fordi det kan være ubehageligt at ændre indekseringen.
M∗{\ displaystyle \ M ^ {*}} Mjeg=M-jeg{\ displaystyle \ M_ {i} = M ^ {- i}}
For eksempel, hvis er et kompleks af kæder af abeliske grupper, lad og (det transponerede kort ). Så er et kompleks af cochains.
(M∗,∂∗){\ displaystyle (M _ {*}, \ partial _ {*})}Mjeg=Hom(Mjeg,Z){\ displaystyle M ^ {i} = \ mathrm {Hom} (M_ {i}, \ mathbf {Z})}∂jeg=(∂jeg+1)∗{\ displaystyle \ partial ^ {i} = (\ partial _ {i + 1}) ^ {*}}(M∗,∂∗){\ displaystyle (M ^ {*}, \ partial ^ {*})}
Eksempel
Til ethvert topologisk rum kan vi knytte dets kompleks af entalskæder og derfor dets ental homologi . Fra et teoretisk synspunkt kan homologi ses som en funktor fra kategorien af topologiske rum til kategorien af graduerede abelske grupper .
Vi kan erstatte abeliske grupper med moduler på en kommutativ ring.
Katalog
Hver homologiteori (i sig selv ) en artikel værd. Følgende liste er ikke udtømmende.
Bibliografi
- (en) William Fulton , algebraisk topologi: et første kursus , Springer , koll. " GTM " ( nr . 153)1995, 430 s. ( ISBN 978-0-387-94327-5 , læs online )
- Alexandru Dimca , skiver i topologi , Berlin, Springer-Verlag , koll. "Universitext",2004, 236 s. ( ISBN 978-3-540-20665-1 , Matematiske anmeldelser 2050072 , læs online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">