Enkel tilslutning

I generel topologi og algebraisk topologi forfiner begrebet simpelt forbundne rum det forbundne : hvor et tilsluttet rum kun er "et stykke", er et simpelt forbundet rum ikke mere "hul" eller "håndtag".

Vi formaliserer dette ved at sige, at enhver blonder tegnet i et simpelt forbundet rum skal kunne reduceres kontinuerligt (det vil sige ved homotopi ) på et tidspunkt.

Definition

Hvis X er et topologisk rum forbundet med buer , siger vi, at det simpelthen er forbundet, hvis en løkke trukket på X er homotopisk på et punkt.

Intuitivt kan vi trække i blonderne for at indsnævre den, indtil den kun danner et punkt, der er ingen hindring (dvs. hul).

Vi taler også om simpelthen forbundne dele; en del af et topologisk rum siges at være simpelthen forbundet, hvis det, forsynet med den inducerede topologi , udgør et simpelt forbundet topologisk rum.

Ækvivalente formuleringer :

Vi betegner den enhed cirkel og den enhed disken . Et topologisk rum X forbundet med buer er simpelthen forbundet, hvis og kun hvis en kontinuerlig injektionsfunktion kan udvides i en kontinuerlig funktion . Med andre ord kan enhver indlejring af en cirkel i X udvides til at indlejre disken. ${\ displaystyle S ^ {1} = \ venstre \ {z \ i \ mathbb {C} ~ | ~ | z | = 1 \ højre \}}$ ${\ displaystyle D = \ left \ {z \ in \ mathbb {C} ~ | ~ | z | \ leq 1 \ right \}}$ ${\ displaystyle f \ ,: \, S ^ {1} \ rightarrow X \, \!}$ ${\ displaystyle F \ ,: \, D \ rightarrow X \, \!}$
Et topologisk rum forbundet med buer er simpelthen forbundet, hvis og kun hvis to vilkårlige stier p , q : [0, 1] → X afbildet på X er homotopiske.
Et topologisk rum forbundet med buer er simpelthen forbundet, hvis og kun hvis dets grundlæggende gruppe er triviel , dvs. reduceret til det neutrale element.

Eksempler

Er simpelthen beslægtede:

ethvert kontraktilt rum , for eksempel enhver ikke-tom konveks (eller endda bare stjerne ) del af et vektorrum normaliseret over sur;
mere generelt ethvert rum homotopisk ækvivalent med et simpelt forbundet rum;
den sfære S n for n ≥ 2;
ethvert produkt af simpelt forbundne rum, såsom (ℝ n +1 ) * ≃ S n × ℝ + * for n ≥ 2;
den enhedsspecifikke gruppe SU ( n )
den Mandelbrot sæt ;
den polske cirkel (som er forbundet med bue, men ikke lokalt forbundet).

Er ikke bare beslægtede:

ℝ * og mere generelt (pr. Definition) ethvert rum, der ikke er forbundet med buer;
cirklen S 1 ;
produktet af et hvilket som helst rum med S 1 , såsom sættet ℂ * ≃ S 1 × ℝ + * af ikke-nul komplekse tal eller torus T n = ( S 1 ) n ;
mere generelt, enhver applikations-torus , såsom Möbius-striben eller Klein-flasken ;
den specielle ortogonale gruppe SO ( n ), hvis n ≥ 2.

Ejendomme

Enhver afdækning af et rum, der simpelthen er forbundet og lokalt forbundet med buer, er en triviel afdækning.
Den polske cirkel har en ikke-triviel grad 2-belægning.
Enhver beklædning, der blot er forbundet og lokalt forbundet med buer i et rum, er en universel belægning .
Homotopy resektion ejendom (en) . Ethvert kontinuerligt kort f af et simpelt forbundne rum X i bunden B af en dækning $π$ : Y → B hæves, dvs. der findes et kontinuerligt kort g : X → Y således at f = $π$ o g .
Specialtilfældet X = [0, 1] er stienes bærende egenskab.

Generaliseringer

Et rum er lokalt simpelthen forbundet, når ethvert punkt indrømmer en base af simpelthen forbundne kvarterer. Lokalt kontraktile rum er lokalt enkelt forbundet.

Et rum siges semi-lokalt simpelthen tilsluttet (i) (ved cirkelbuer) hvis hvert punkt har et kvarter U , hvor hver løkke indeholdt i U , kan deformeres ved et punkt i X .

Relaterede artikler