Tilfældig matrix

I sandsynlighedsteori og matematisk fysik er en tilfældig matrix en matrix, hvis elementer er tilfældige variabler . Formålet med teorien om tilfældige matricer er at forstå bestemte egenskaber ved disse matricer, såsom deres operatornorm, deres egenværdier eller deres entalværdier .

Stillet over for den stigende kompleksitet af nukleare spektre, der blev observeret eksperimentelt i 1950'erne, foreslog Wigner at erstatte den Hamilton-operatør af kernen med en tilfældig matrix.

Denne frugtbare hypotese førte til den hurtige udvikling af et nyt forskningsfelt, der er meget aktiv inden for teoretisk fysik , der har spredt sig til talteori i matematik, med især en interessant forbindelse til Riemann zeta-funktionen (se for eksempel l 'artikel forud offentliggjort ifebruar 2019af Michael Griffin, Ken Ono, Larry Rolen og Don Zagier og Robert C. Smiths kommentarer på hans blog).

Ud over disse eksempler er der anvendelser af teorien om tilfældige matricer:

• de integrable systemer ,
• den quantum kaos ,
• den QCD netværk ,
• den kvantegravitation i to dimensioner og mere via strengteori og Korrespondance annoncer / CFT ,
• de supersymmetriske målerteorier .

For flere detaljer, læs introduktionen til Nicolas Orantins speciale (tilgængelig online).

Tilfældige matricer findes også i mange hverdagssituationer: ventetid på metrotoget, tsunamier, aktiemarkedspriser, mobiltelefonantenner, placering af træer i en vild skov, varighed af ombordstigning på et fly osv. De har også vist sig at være frugtbare i biologi: form af proteiner, krystaller osv.

Nogle sæt tilfældige matricer

Wigner-matricer

En Wigner- matrix er en symmetrisk tilfældig matrix, hvis input er uafhængige og identisk fordelte centrerede tilfældige variabler (iid). For eksempel, hvis er en familie af tilfældige variabler i henhold til en Rademacher-lov , er den symmetriske matrix defineret af: IKKE×IKKE{\ displaystyle N \ times N}(xjeg,j)jeg,j∈{1,...,ikke}{\ displaystyle (X_ {i, j}) _ {i, j \ i \ {1, ..., n \}}}M=(Mjeg,j)jeg,j∈{1,...,ikke}{\ displaystyle M = (M_ {i, j}) _ {i, j \ in \ {1, ..., n \}}}

Mjeg,j={xjeg,jeg hvis jeg=j,xjeg,j hvis jeg<jxj,jeg hvis jeg>j{\ displaystyle M_ {i, j} = {\ begin {cases} X_ {i, i} {\ text {si}} i = j, \\ X_ {i, j} {\ text {si}} i < j \\ X_ {j, i} {\ text {si}} i> j \ end {cases}}}

er en Wigner-matrix.

Gaussiske sæt

Dette er de sæt, der er introduceret af Wigner til teorien om nukleare spektre. Der er tre sæt:

• det ortogonale Gaussiske sæt til tidssvarende systemer (GOE);
• det unitære Gaussiske sæt til ikke-invariante tidsomvendingssystemer (på engelsk, Gaussisk enhedsæt eller GUE );
• og det Gaussiske symplektiske ensemble til systemer med spin (på engelsk, Gaussian symplectic ensemble eller GSE ).

I tilfældet med sættet GOE overvejer vi ægte symmetriske matricer, hvis matrixelementer adlyder den gaussiske fordeling: IKKE×IKKE{\ displaystyle N \ times N}PÅjegj{\ displaystyle A_ {ij}}

P(PÅjegj)∏jegdPÅjegjeg∏jeg<jdPÅjegj=eksp⁡(-gTr(tPÅPÅ))∏jegdPÅjegjeg∏jeg<jdPÅjegj{\ displaystyle P (A_ {ij}) \ prod _ {i} dA_ {ii} \ prod _ {i <j} dA_ {ij} = \ exp \ left (-g \ mathrm {Tr} ({} ^ { t} AA) \ højre) \ prod _ {i} dA_ {ii} \ prod _ {i <j} dA_ {ij}}

Fordelingen er uforanderlig af de ortogonale transformationer. På samme måde i enhedsættet betragter man Hermitian-matricer, og fordelingen er uforanderlig af de enheds transformationer. I GSE-sættet er fordelingen uændret under handling af symplektiske transformationer.

Wigner udledte fordelingen af ​​egenværdierne for disse matricer i grænsen . Det er loven i den halve cirkel. IKKE→∞{\ displaystyle N \ to \ infty}

Det er muligt at udlede loven om fælles fordeling af egenværdierne ved en ændring af grundlaget. Resultatet er, at:

P(λ1,...,λIKKE)=VSIKKEeksp⁡(-g∑jegλjeg2)∏jeg<j∣λjeg-λj∣β{\ displaystyle P (\ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {N}) = C_ {N} \ exp (-g \ sum _ {i} \ lambda _ {i} ^ {2}) \ prod _ {i <j} \ mid \ lambda _ {i} - \ lambda _ {j} \ mid ^ {\ beta}}

hvor matrixens egenværdier er, og i tilfældet GOE, i tilfældet GUE, i tilfældet GSE. λjeg{\ displaystyle \ lambda _ {i}}β=1{\ displaystyle \ beta = 1}β=2{\ displaystyle \ beta = 2}β=4{\ displaystyle \ beta = 4}

Fra disse fordelinger kan vi få loven om fordelingen af ​​forskellene mellem egenværdier. Vi viser, at hvis afstanden (normaliseret af tilstandstætheden) er mellem to egenværdier, er sandsynligheden for, at to egenværdier er fjernt fra tendens til nul, hvis tendens til nul er. Hvis egenværdierne var jævnt fordelt, ville denne sandsynlighed være givet af Poissons lov og ville ikke have tendens til nul for at have tendens til nul. Denne egenskab ved Gaussiske sæt kaldes niveauafvisning. s{\ displaystyle s}s{\ displaystyle s}s{\ displaystyle s}s{\ displaystyle s}

Enhedssæt

Noteret COE, CUE, CSE. Denne gang er matricerne henholdsvis ortogonale, enheds- eller symplektiske. Deres egenværdier er komplekse modulmodul 1. Freeman Dyson viste, at undersøgelsen af ​​fordelingen af ​​disse egenværdier svarer til studiet af den statistiske mekanik for en partikelgas på en cirkel med en logaritmisk interaktion med afstanden.

Se også

Relaterede artikler

• Riemann-hypotese
• Ortogonale polynomer

Eksterne links på fransk

• Nicolas Orantin , Fra den topologiske udvikling af matrixmodeller til topologisk strengteori: kombinatorik af overflader ved algebraisk geometri (doktorafhandling i teoretisk fysik, University of Paris 6),2007, 179  s. ( HAL  tlf. 00173162 )
• Bertrand Eynard , "  De tilfældige matricers universalitet  ", Pour la science , nr .  487,Maj 2018, s.  34-44

eksterne links

• Robert Smith , "  Jensen Polynomials, the Riemann-zeta Function, and SYK  " ,2019(adgang til 11. oktober 2019 )
• Alan Edelman og N. Raj Rao; Tilfældig  matrixteori , Acta Numerica 14 : 233-297 (2005)
• Alan Edelman og Moe Win; Tilfældig matrixteori og dens applikationer , MIT Opencourseware (2004).
• Alan Edelman og Moe Win; Infinite Random Matrix Theory , MIT Opencourseware (2004).
• B Conrey, P Diaconis, F Mezzadri, P Sarnak og NC Snaith (arrangører); Random Matrix Approaches in Number Theory , kollokvium fra Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, Cambridge University (26. januar - 16. juli 2004).
• Matthew R. Watkins; Tilfældige matricer og Riemann zeta-funktionen , Exeter University.
• NC Snaith , PJ Forrester, JJM Verbaarschot, Udviklinger i tilfældig matrixteori , J. Phys. A, bind 36, 2003, R1.
• PJ Forrester Bog om tilfældige matricer
• M. Debbah "Anvendelser af tilfældig matrixteori til trådløs telekommunikation"
• Alice Guionnet , store afvigelser og stokastisk beregning for store tilfældige matricer , sandsynlighedsundersøgelser 1  : 72-172 (2004)
• ZD Bai, Metoder i spektral analyse af store dimensionelle tilfældige matricer, en gennemgang , Statistica Sinica 9  : 611-677 (1999)
• R. Couillet, M. Debbah, "Random Matrix Theory Methods for Wireless Communications", Cambridge University Press, 2011.

Bibliografi

• (da) Michael Griffin, Ken Ono, Larry Rolen og Don Zagier "  Jensen-polynomer til Riemann-zeta-funktionen og andre sekvenser  ",2019.
• Madan Lal Mehta , "Om de statistiske egenskaber ved niveauafstandene i nukleare spektre", Nuclear Physics 18 (1960), 395-419
• ML Mehta, tilfældige matricer . Denne "bibel" har været genstand for tre udgaver af stigende mængder:
  • Tilfældige matricer og den statistiske teori om energiniveauer , Academic Press (New York - 1967), 259 s.
  • Tilfældig Matricer ( 2 e ed revideret og udvidet.), Academic Press (New York, San Diego - 1991), 562 s.
  • Tilfældige matricer ( 3 E , ren og anvendt matematik serie 142, Elsevier (London - 2004) red.), 688 s. ( ISBN  0-12-088409-7 )
• ML Mehta, “Tilfældige matricer i kernefysik og talteori”, i JE Cohen, H. Kesten og CM Newman (red.), Proceedings of the AMS-IMS-SIAM Joint Summer Conference, Bowdoin College, Brunswick, Maine, USA ( Juni 1984) , Moderne matematik 50 (1986), 295-309.
• Édouard Brézin , Vladimir Kazakov , Didina Serban, Paul Wiegmann  (en) og Anton Zabrodin (red.), "Anvendelser af tilfældige matricer i fysik", i Proceedings of the NATO Advanced Study Institute / Les Houches Summer School, 6.-25. Juni 2004 , Les Houches (Frankrig) , NATO Science Series II , bind. 221, Springer-Verlag, (Berlin - 2006). ( ISBN  1-4020-4529-8 )
• Bertrand Eynard, En introduktion til tilfældige matricer , noter af et kursus givet på Service de Physique Théorique du CEA (Saclay - september 2000). Fuld tekst tilgængelig her .
• Pierre Cartier , Bernard Julia , Pierre Moussa og Pierre Vanhove (red.), Frontiers in Number Theory, Physics & Geometry (I) - On Random Matrices, Zeta Functions & Dynamical Systems , Les Houches Lectures Notes, Springer-Verlag, 2006 ( ISBN  3-540-23189-7 )
• Philippe Di Francesco, Paul Ginsparg og Jean Zinn-Justin , 2D Gravity and Random Matrices , Phys.Rept. 254 (1995) 1-133, "  hep-th / 9306153  " , åben tekst, på arXiv . ( En meget god introduktion til emnet. )
• VA Malyshev og AM Vershik (red.), "Asymptotisk kombinatorik med applikationer til matematisk fysik", i Proceedings of the NATO Advanced Study Institute, afholdt i St. Petersburg, Rusland, 9.-22. Juli 2001 , NATO Science Series II Vol. 77, Springer-Verlag ( ISBN  1-4020-0792-2 )

Bemærkninger

1. Griffin et al. 2019 .
2. Smith 2019 .
3. Orantin 2007 , s.  15-25.
4. Eynard 2018 .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">