Ferrari-metoden

Den Ferrari metode forestillet og perfektioneret af Ludovico Ferrari (1540) gør det muligt at løse de ligninger af fjerde grad af radikaler , det vil sige at skrive løsningerne som en kombination af tilføjelser, subtraktioner, multiplikationer, divisioner, og offentlig, kubisk og kvartiske rødder dannet ud fra ligningens koefficienter. Det giver de fire løsninger under et andet udseende den samme formel som de senere metoder til Descartes (1637) og Lagrange (1770).

Princip for metoden

Vi reducerer først ligningen (ved at dividere med den dominerende koefficient og derefter ved at oversætte variablen for at eliminere termen for grad 3 ) til en ligning af formen

{\ displaystyle z ^ {4} + pz ^ {2} + qz + r = 0}

Det centrale punkt i fremgangsmåden består i så erstatte monomial $z 4$ af polynomiet $( z 2 + λ) 2 - 2λ z 2λ2$ , parameteriseret ved $λ$ , og i at finde en passende værdi af $λ$ , som tillader at skrive $z 4 + pz 2 + qz + r$ som en forskel på to kvadrater, via en bemærkelsesværdig identitet , som et produkt af to $kvadratiske$ polynomer .

Nogle forfattere foretrækker at starte med at udfylde pladsen , $z 4 + pz 2 = ( z 2 + p / 2) 2 - p 2 /4$ , som gør det muligt for dem at give fremgangsmåden ifølge Ferrari med en anden parameter ( $u = λ - p / 2$ ), svarende til halvdelen af Descartes og Lagrange ( $y = 2λ - p$ ).

Implementering

${\ displaystyle {\ begin {array} {rl} z ^ {4} + pz ^ {2} + qz + r & = (z ^ {2} + \ lambda) ^ {2} -2 \ lambda z ^ { 2} - \ lambda ^ {2} + pz ^ {2} + qz + r \\ & = (z ^ {2} + \ lambda) ^ {2} - \ left [(2 \ lambda -p) z ^ {2} -qz + \ lambda ^ {2} -r \ right]. \ Afslut {array}}}$

Udtrykket $(2λ - p ) z 2 - qz + λ 2 - r$ , set som et polynomium i $z$ , er skrevet som en firkant, hvis og kun hvis dens diskriminant , $q 2 - 4 (2λ - p ) (λ 2 - r )$ , er nul.

Vi løser derfor den tilsvarende ligning, kaldet opløsning kubisk (in) :

{\ displaystyle 8 \ lambda ^ {3} -4p \ lambda ^ {2} -8r \ lambda + 4rp-q ^ {2} = 0}

ved hjælp af en af de klassiske metoder til løsning af en ligning af grad 3 .

Ved at vælge en løsning $λ 0$ , derefter $en 0$ , $b 0$ (muligvis kompleks) såsom:

{\ displaystyle a_ {0} ^ {2} = 2 \ lambda _ {0} -p \ quad {\ text {and}} \ quad b_ {0} = - {\ frac {q} {2a_ {0}} }}

den oprindelige ligning bliver:

{\ displaystyle (z ^ {2} + \ lambda _ {0}) ^ {2} - (a_ {0} z + b_ {0}) ^ {2} = 0}

eller:

{\ displaystyle (z ^ {2} + a_ {0} z + \ lambda _ {0} + b_ {0}) (z ^ {2} -a_ {0} z + \ lambda _ {0} -b_ { 0}) = 0}

hvilket svarer til annulleringen af en af de to faktorer:

{\ displaystyle z ^ {2} + a_ {0} z + \ lambda _ {0} + b_ {0} = 0 \ quad {\ text {or}} \ quad z ^ {2} -a_ {0} z + \ lambda _ {0} -b_ {0} = 0}

Hver af disse to ligninger giver to værdier for $z$ eller fire værdier i alt.

Næsten alle forfatterne udelukker implicit det tilfælde, hvor $2λ 0 - p$ er nul (hvilket ville føre til en division med $en 0 = 0$ i ovenstående definition af $b 0$ ). Men i dette tilfælde er $q = 0,$ så ligningen $z 4 + pz 2 + qz + r = 0$ er simpelthen en firedobbelt ligning .

For eksempler, se lektionen om Wikiversity ( link nedenfor ) og dens øvelser.

Henvisninger

Dette foreløbige trin forenkler ikke resten, nogle forfattere undlader det: se Joseph-Alfred Serret , Cours d'Algebre Supérieur ,1854, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1849) ( læst linje ) , s. 233-237, (en) John Hymers (en) , En afhandling om teorien om algebraiske ligninger , Deighton, Bell,1858, 3 e ed. ( læs online ) , s. 106-107, eller slutningen af kapitlet "Ferrari-metode" på Wikiversity ( link nedenfor ).
Daniel Perrin , “ En geometrisk vision af Ferrari's metode […] ” , om Institut for Matematik i Orsay .
(en) Jean-Pierre Tignol , Galois 'teori om algebraiske ligninger , verdensvidenskabelige ,2001( læs online ) , s. 24.
Tignol 2001 , s. 22-23.
(in) AG Kurosh ( overs. Fra russisk), Højere algebra , Mir ,1980( 1 st ed. 1972) ( læst linie ) , s. 231.
Tignol 2001 , s. 24.
I det mindste med undtagelse af Tignol 2001 , s. 24.
For flere detaljer om sagen $q = 0$ , se for eksempel denne rettede øvelse på Wikiversity .

Se også