Cayley-Klein metrisk

I matematik er en Cayley-Klein- metrisk en metrik, der er defineret på komplementet til en fast kvadrat af et projektivt rum , det absolutte kvadrat, ved hjælp af krydsforholdet . Denne måling blev bygget af Arthur Cayley i 1859; opførelsen blev afsluttet af Felix Klein mellem 1871 og 1873. Cayley-Klein-målinger giver en samlet ramme for de forskellige euklidiske og ikke-euklidiske geometrier , idet de definerer begrebet afstand i samme konstruktion i alle tilfælde.

Historisk

Blandt de ideer, der dannede grundlaget for Cayley-Klein-konstruktionen, er " algebra of jets (in) " oprettet af Karl von Staudt i 1847, en tilgang til geometri, der ikke involverer afstande eller vinkler, og kun bruger begreberne harmonisk opdeling og krydsforhold . I 1853 opnåede Edmond Laguerre et andet vigtigt resultat (in) , der viser, at vinklen mellem to linjer (i euklidisk geometri) kan beregnes ud fra et krydsforhold. Endelig, i 1859, formulerede Arthur Cayley i sin artikel Om teorien om afstand, relationer, der udtrykker afstande fra beregninger (i projektiv geometri ) knyttet til et kvadrat defineret af ham som det absolutte i den studerede geometri. Felix Klein , i artikler fra 1871 og 1873, derefter i en række værker, tog von Staudts arbejde op, fjernede de sidste referencer til euklidisk afstand og kombinerede det med Cayleys teori for at definere den nye metrik som logaritmen for et kors -ratio, eliminerer risikoen for en cirkulær definition og viser, at ikke-euklidiske geometrier kunne, ligesom euklidisk geometri, defineres ud fra denne metrik.

Den geometri Cayley-Klein (efter principperne i Erlangen program ) er studiet af isometri gruppe for denne metriske; vi beviser, at dette er undergruppen af projektive transformationer, der efterlader den absolutte kvadratiske globalt uforanderlige ; hvert valg af kvadrisk svarer til en af de klassiske geometrier ( euklidisk , hyperbolsk , elliptisk osv.).

Definition

Vi fikser et kvadratisk Q af et projektivt rum E på komplekset; Q kaldes det absolutte kvadriske i den geometri, vi vil definere. Hvis a og b er to forskellige punkter i E , ikke i Q , skærer linjen ( a, b ) Q ved to andre punkter p og q . Afstanden Cayley - Klein d ( a , b ) er proportional med logaritmen for krydsprocenten ( a, b; p, q ): hvor er en konstant. ${\ displaystyle d (a, b) = C \ ln (a, b; p, q)}$ $VS$

Hvis krydsforholdet er positivt, er reelt (dette svarer til en hyperbolsk geometri ; værdien 1/2 giver en krumning ); hvis ikke, er det nødvendigt at tage kompleks (man er i tilfælde af en elliptisk geometri ). $VS$ ${\ displaystyle K = -1}$ $VS$

Til algebraiske beregninger (og ved at bruge en mere moderne form for repræsentation) placerer man sig i homogene koordinater , og man retter en kvadratisk form ; vi betegner den tilknyttede bilineære form , kaldet i denne sammenhæng polar form for , defineret af . Absolut Quadric derefter ligning (specifikt , er et koordinatpunkt , med i tilfælde af flyet og i rummet, desuden matrixen er symmetrisk, vi ); vi beviser derefter, at Cayley - Klein afstanden mellem punkterne og er: ${\ displaystyle Q}$ $B$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle B (u, v) = {\ frac {1} {2}} \ left (Q (u + v) -Q (u) -Q (v) \ right)}$ ${\ displaystyle Q (x) = 0}$ ${\ displaystyle Q (x) = \ sum q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0}$ $x$ $x_ {i}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ {1,2,3 \}}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ {1,2,3,4 \}}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle q _ {\ alpha \ beta} = q _ {\ beta \ alpha}}$ $x$ $y$

{\ displaystyle d = C \ ln {\ frac {B (x, y) + {\ sqrt {B ^ {2} (x, y) -Q (x) Q (y)}}} {B (x, y) - {\ sqrt {B ^ {2} (x, y) -Q (x) Q (y)}}}}

; med denne notation .

{\ displaystyle B (x, y) = \ sum q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} y _ {\ beta}}

Idet vi tager det for enkelthed, udleder vi det i det hyperbolske tilfælde: ${\ displaystyle C = 1/2}$

{\ displaystyle d = \ operatorname {argch} {\ frac {B (x, y)} {\ sqrt {Q (x) Q (y)}}}

og i elliptisk tilfælde (tage ): ${\ displaystyle C = i / 2}$

{\ displaystyle d = \ operatorname {arccos} {\ frac {B (x, y)} {\ sqrt {Q (x) Q (y)}}}

Normale former for den absolutte kvadriske

I det virkelige tilfælde kan ethvert kvadrat defineret af ligningen sættes ved (lineær) ændring af variabel i form med ( Gaussisk reduktion ), antallet af hver type afhænger ikke af ændringen af variablen i henhold til loven om inerti af Sylvester . Vi opnår i det sædvanlige euklidiske rum følgende klassifikation (se den kvadratiske artikel og de detaljerede artikler til illustrationer): ${\ displaystyle Q (x) = \ sum q _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0}$ ${\ displaystyle Q (X) = \ sum \ epsilon _ {i} X_ {i} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {i} \ in \ {0,1, -1 \}}$ $\ epsilon _ {i}$

Klassificering af kvadrater I. Regelmæssige kvadrikker . 1 .. Tom overflade.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} = 0}

2 .. Overflader svarer topologisk til kuglen.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}

a) Ellipsoid (ingen skæringspunkt med uendeligt plan). b) Elliptisk paraboloid (tangent til uendeligt plan). c) Hyperboloid med to lag (sekant med uendeligt plan). 3 .. Overflader svarer topologisk til Klein-flasken .

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}

a) En-ark hyperboloid (sekant med uendeligt plan). b) Hyperbolisk paraboloid (tangent med uendeligt plan). II. Kegler . 1 .. Tomme "kegler".

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 0}

a) Kegle reduceret til toppen. b) Tom cylinder (toppunkt i plan ved uendelig). 2 .. Almindelige "kegler".

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}

a) Kegle b) Elliptisk cylinder (toppunkt i plan ved uendelig) c) Parabolcylinder (dobbelt linje i det uendelige plan) d) Hyperbolsk cylinder (to linjer i planet ved uendelig) III. Par af planer . 1 .. Konjugerede imaginære planer.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0}

a) Skæringspunkt ved endelig afstand. b) Parallelle fly. 2 .. Reelle planer.

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} = 0}

a) Skæringspunkt ved endelig afstand. b) Parallelle fly. c) Et plan i endelig afstand og uendeligt plan. IV. Dobbelt plan. 1 ..

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} = 0}

a) Dobbeltplan i endelig afstand. b) Plan for uendelighed tælles to gange.

De transformationer projektiv bijektive (de collineations ) forlader invariant disse former er relateret til Möbius transformationer . Disse former fører til enkle ligninger for Cayley-Klein afstanden; det euklidiske plan har således absolut de isotropiske linjer (eller, hvis man foretrækker det, de cykliske punkter ). Ligeledes har det hyperbolske plan så absolut enhedscirklen og som Cayley-Klein afstand . ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0, \ x_ {3} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle d = \ operatorname {argch} {\ frac {x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} -x_ {3} y_ {3}} {{\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2}}} {\ sqrt {y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} -y_ {3} ^ {2}}}}}}$

Relativitet

I hans 1919- og 1920-forelæsninger (offentliggjort posthumt i 1926) om matematikhistorien skrev Klein:

”Sagen (eller at forblive i tre dimensioner og bruge homogene koordinater ) har for nylig fået særlig betydning gennem relativitetsteorien . " ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -dt ^ {2} = 0}$

Med andre ord, den koniske (eller Quadric) Absolute hyperbolsk geometri, eller svarer til intervallerne eller den tid-rum og forlader invariante transformationer absolutte Quadric er i korrespondance med Lorentz transformationer . Ligningen af cirklerne eller enhedssfæren i hyperbolsk geometri svarer til fysiske hastigheder eller , som i relativitet er begrænset af lysets hastighed c , derfor skal forholdet v / c forblive for enhver fysisk hastighedsvektor v inde i enhedssfæren, som danner det absolutte i denne geometri. ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -t ^ {2}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dz} {dt}} \ højre) ^ {2} = 1}$

Andre aspekter af dette forhold mellem Cayley-Klein-metricen for hyperbolsk rum og Minkowski-rummet i speciel relativitet blev fremhævet af Klein i 1910 såvel som i 1928-udgaven af hans forelæsninger om ikke-euklidisk geometri .

CK-affin geometri

I 2008 generaliserede Horst Martini og Margarita Spirova den første af Clifford-sætninger på cirkler (in) og andre sætninger i euklidisk geometri ved hjælp af affin geometri forbundet med en måling af Cayley-Klein: ideen er at anvende den samme konstruktion til at degenerere absolutte kegler ( dannet ud fra produktet af en linje og uendelig linje); den rolle, som komplekser spiller i den euklidiske geometri, deles til at dele komplekser i deres konstruktioner.

Referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen " Cayley - Klein metric " ( se forfatterliste ) .

Klein & Rosemann (1928), s. 163
Klein & Rosemann (1928), s. 138
Cayley (1859), s 82, §§209 til 229
Klein & Rosemann (1928), s. 303
Pierpont (1930), s. 67ff
Klein (1871, 1873), Klein (1893ab), Fricke / Klein (1897), Klein (1910), Klein / Ackerman (1926/1979), Klein / Rosemann (1928)
Klein & Rosemann (1928), s. 163, 304
Russell (1898), side 32
Campo & Papadopoulos (2014)
Hvis denne linje er tangent til Q , har vi p = q .
Klein & Rosemann (1928), s. 164
Klein & Rosemann (1928), s. 167ff
Veblen & Young (1918), s. 366
Veblen & Young (1918), s. 372
Klein & Rosemann (1928), s. 68; se også klassifikationerne på side 70, 72, 74, 85 og 92.
Klein & Rosemann (1928), kapitel III
Klein & Rosemann (1928), s. 132f
Klein & Rosemann (1928), s. 185, 251
Klein / Ackerman (1926/1979), s. 138
Klein (1910)
Klein & Rosemann (1928), kapitel XI, §5
Martini og Spirova (2008)

Bibliografi

Primære kilder

(de) Karl von Staudt , Geometrie der Lage , Nürnberg F. Korn,1847( læs online )
Edmond Laguerre , “ Note on the theory of foci ”, New annals of mathematics , bind. 12,1853, s. 57–66 ( læs online )
(en) Arthur Cayley , " A sixth memoir upon quartics " , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , bind. 149,1859, s. 61–90 ( DOI 10.1098 / rstl.1859.0004 , læs online )
(de) Felix Klein , " Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie " , Mathematische Annalen , bind. 4, n o 4,1871, s. 573–625 ( DOI 10.1007 / BF02100583 , læs online )
(de) Felix Klein, " Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie " , Mathematische Annalen , bind. 6, nr . 21873, s. 112–145 ( DOI 10.1007 / BF01443189 , læs online )
(de) Felix Klein, Nicht-Euklidische Geometrie I, Vorlesung gehalten während des Wintersemesters 1889–90 , Göttingen, Schilling, Fr.,1893( læs online )
(de) Felix Klein, Nicht-Euklidische Geometrie II, Vorlesung gehalten während des Sommersemesters 1890 , Göttingen, Schilling, Fr.,1893( læs online )

Sekundære kilder

(de) Killing, W., Die nicht-euklidischen Raumformen , Leipzig, Teubner,1885( læs online )
(de) R. Fricke og F. Klein , Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen - Erster Band: Die gruppentheoretischen Grundlagen , Leipzig, Teubner,1897( læs online )
(en) Bertrand Russell (1898) Et essay om fundamentet for geometri , genudgivet 1956 af Dover Books
(en) Alfred North Whitehead (1898) Universal Algebra , bog VI Kapitel 1: Afstandsteori, s. 347–70, især afsnit 199 Cayleys afstandsteori.
(de) Hausdorff, F., " Analytische Beiträge zur nichteuklidischen Geometrie " , Leipziger Math.-Phys. Berichte , vol. 51,1899, s. 161–214 ( læs online )
(en) Duncan Sommerville (1910/11) "Cayley - Klein metrics in n- dimensional space", Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 28: 25–41.
(de) Klein, Felix, “ Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe ” , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , vol. 19,1910, s. 533–552 ( ISBN 978-3-642-51898-0 , DOI 10.1007 / 978-3-642-51960-4_31 )Genoptrykt i Klein, Felix, Gesammelte mathematische Abhandlungen , vol. 1,1921, 533–552 s. ( DOI 10.1007 / 978-3-642-51960-4_31 )Engelsk oversættelse af David Delphenich: Om de geometriske fundamenter for Lorentz-gruppen
(en) Veblen, O. og Young JW, Projective geometry , Boston, Ginn,1918( læs online )
(de) Liebmann, H., Nichteuklidische Geometrie , Berlin & Leipzig, Berlin W. de Gruyter,1923( læs online )
(de) Klein, F. og Neugebauer, O., Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert , Berlin, Springer,1926( læs online ); Engelsk oversættelse: Udvikling af matematik i det 19. århundrede af M. Ackerman, Math Sci Press
(de) Klein, F., Vorlesungen über nicht-Euklidische Geometrie , Berlin, Springer,1928( læs online )
(en) Pierpont, J., " Ikke-euklidisk geometri, en retrospekt " , Bulletin of the American Mathematical Society , bind. 36, nr . 21930, s. 66–76 ( DOI 10.1090 / S0002-9904-1930-04885-5 )
(da) JE Littlewood , Littlewoods diverse virksomhed , Cambridge University Press ,1986( 1 st ed. 1953) ( ISBN 978-0-521-33058-9 , anmeldelser Math 872 858 , læse online )
(en) Harvey Lipkin (1985) Metrisk geometri fra Georgia Institute of Technology
(en) Horst Struve og Rolf Struve , " Projective spaces with Cayley - Klein metrics " , Journal of Geometry , vol. 81, nr . 1,2004, s. 155–167 ( ISSN 0047-2468 , DOI 10.1007 / s00022-004-1679-5 , matematikanmeldelser 2134074 )
(en) Martini Horst, Spirova Margarita, " Cirkelgeometri i affine Cayley-Klein-plan " , Periodica Mathematica Hungarica , bind. 57, nr . 22008, s. 197-206 ( DOI 10.1007 / s10998-008-8197-5 )
(en) Horst Struve og Rolf Struve , " Ikke-euklidiske geometrier: Cayley - Klein-tilgangen " , Journal of Geometry , bind. 89, nr . 1,2010, s. 151-170 ( ISSN 0047-2468 , DOI 10.1007 / s00022-010-0053-z , Matematikanmeldelser 2739193 )
(en) A'Campo, N. og Papadopoulos, A., Sophus Lie og Felix Klein: Erlangen-programmet og dets indvirkning på matematik og fysik ,2014, 91–136 s. ( ISBN 978-3-03719-148-4 , DOI 10.4171 / 148-1 / 5 , arXiv 1406.7309 ) , "Om Kleins såkaldte ikke-euklidiske geometri"
(en) Frank Nielsen , Boris Muzellec og Richard Nock , 2016 IEEE International Conference on Image Processing (ICIP) ,2016, 241-245 s. ( ISBN 978-1-4673-9961-6 , DOI 10.1109 / ICIP.2016.7532355 ) , "Klassificering med blandinger af buede mahalanobis-målinger"

Suppler

(en) Jan Drösler (1979) "Fundamenter for multidimensionel metrisk skalering i Cayley-Klein geometrier", British Journal of Mathematical and Statistical Psychology 32 (2); 185-211