Brasiliansk nummer

I aritmetik er et brasiliansk tal et naturligt tal i formen

{\ displaystyle n \ = \ a {\ frac {b ^ {c} -1} {b-1}}, \ qquad a <b <n-1, \ quad c \ geq 2}

Lad være den geometriske sum :

{\ displaystyle n \ = \ a + a \ gange b + a \ gange b ^ {2} + ... + a \ gange b ^ {c-1}}

Et brasiliansk tal n har derfor i en base b, der tilfredsstiller 1 < b < n - 1, en repræsentation, der er skrevet som c cifre alle ens.

Mere nøjagtigt er n = ( aaa ... aaa ) b med c gange tilstedeværelsen af tallet a i base b .

Betingelsen b < n - 1 er vigtig, fordi ethvert tal n skrives: n = 11 n –1, og derfor vil ethvert tal derefter være brasiliansk.

Eksempler

20 er et brasiliansk tal, fordi 20 er skrevet 22 i basis 9: 20 = 22 9 .

9 er ikke et brasiliansk tal, fordi 9 = 1001 2 = 100 3 = 21 4 = 14 5 = 13 6 = 12 7 og ingen af disse scripts er brasilianske.

Historisk

I 1994, under den niende ibero-amerikanske matematikolympiade, der fandt sted i Fortaleza i Brasilien, blev det første problem, foreslået af Mexico, taget op af Pierre Bornsztein i sin bog Hypermath : "Et tal n > 0 siges" brasiliansk ", hvis der findes et heltal b, der tilfredsstiller 1 < b < n - 1, for hvilken repræsentationen af n i basis b er skrevet med alle cifre ens. Vis, at 1994 er brasiliansk, og at 1993 ikke er det. "

Forført af denne erklæring foreslog Bernard Schott det som et emne til refleksion i 2007 på forumet les-mathematiques.net skrev derefter en artikel i 2010 om disse numre i tidsskriftet Quadrature . I mellemtiden har Neil JA Sloane godkendt denne brasilianske nummersekvens i Online Encyclopedia of Integer Sequences , kendt på engelsk som OEIS .

Nogle egenskaber

Det mindste brasilianske tal er 7 (= 111 2 ), hvilket derfor også er det mindste brasilianske primtal .
Ethvert lige tal ≥ 8 er brasiliansk, fordi n = 2 × k = 22 k –1 med k - 1 ≥ 3. Der er således en uendelighed af brasilianske tal og brasilianske sammensatte tal .
Ethvert ulige tal n ≥ 15, der skriver n = a × c med a ≥ 3 og c > a + 1, er også brasiliansk, fordi n = c × a = ( aa ) c –1 .
Sekvensen af brasilianske tal er 7 , 8 , 10 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 18 , 20 , 21 , etc. (fortsættelse A125134 af OEIS ).
Sekvensen af brasilianske sammensatte tal er 8 , 10 , 12 , 14 , 15 , 16 , 18 , 20 , 21 , etc. (fortsat A220571 fra OEIS ).
Et superbrasiliansk tal er et ensartet tal i en base lig med dette ensartede antal. Det mindste eksempel er 22 22 = 46 . På webstedet Numbers Gerard Villemin kaldes disse tal super repdigits, fordi skrivning 11 11 = 12 accepteres. Den superbrasilianske nummersekvens svarer til A287767 .
Hvis n > 7 ikke er brasiliansk, er n et primtal eller kvadratet af et primtal.
Der er brasilianske primtal, brasilianske sammensatte tal, ikke-brasilianske primtal og ikke-brasilianske sammensatte tal. Med 0 og 1 danner disse fire sæt en partition af sættet med naturlige tal. $\ mathbb {N}$

Primtal og muligheder

Ethvert brasiliansk primtal p større end eller lig med 7 er et svar, der skrives med et ulige primtal på 1 i en base b , men det omvendte er falsk som vist i 21 = 111 4 = 3 × 7 eller 111 = 111 10 = 3 × 37.

Eksempler på tidlige brasilianere: 13 = 111 3 og 127 = 1111111 2 .

Sekvensen af brasilianske primtal er 7 , 13 , 31 , 43 , 73 , 127 , 157 , 211 , 241 , 307 , 421 , 463 , etc. (fortsættelse A085104 ).

Mens den inverse primærserie er divergerende , konvergerer serien af inverse første brasilianske tal til et tal kaldet "konstant første brasilianske tal" (fortsat A306759 ) og lidt større end 0,33.

Sekvensen af ikke-brasilianske primtal er 2 , 3 , 5 , 11 , 17 , 19 , 23 , 29 , 37 , 41 , 47 , 53 , etc. (fortsat A220627 ). Denne suite er uendelig.

De ti baseresvar, defineret af og derfor større end eller lig med 111, er alle brasilianske. Indekserne for de første brasilianske muligheder i base ti findes i sekvensen A004023 (undtagen 2, fordi 11 ikke er brasiliansk). Vi formoder, at der er en uendelighed af basis ti primtal (derfor uendelig med brasilianske primtal), selvom disse er relativt sjældne. Deres antal cifre er nødvendigvis primær, ellers ville de være multipla af 11, 111, 11 111 osv. For eksempel kan R 2047 divideres med blandt andet R 23 og R 89 . ${\ displaystyle R_ {n} = {\ frac {10 ^ {n} -1} {9}} \ {\ mbox {med}} n \ geq 3}$

Alle Mersenne-tal , derfor større end eller lig med 7, er brasilianske, fordi de er base 2- svar . Især er hvert primtal Mersenne brasiliansk. For eksempel . ${\ displaystyle M_ {n} = 2 ^ {n} -1, n \ geq 3}$ ${\ displaystyle M_ {5} = 2 ^ {5} -1 = 31 = 11111_ {2}}$

Et Fermat-nummer er brasiliansk, hvis og kun hvis det er sammensat. $F_n = 2 ^ {2 ^ n} + 1$

Den foreslåede formodning om, at intet Sophie Germain-primtal er brasiliansk, er forkert. Faktisk har Giovanni Resta vist, at 141.385 th primtal af Sophie Germain, 28.792.661 = 11111 73 , er brasiliansk (fortsat A085104 ).

Med hensyn til knapheden på brasilianske primtal: ud af de 10 3 , 10 6 , 10 9 og 10 12 første naturlige tal er der henholdsvis 16,8%, 7,8%, 5,1% og 3,7% af tallene først. Og blandt disse primtal er der kun 8,3%, 0,26%, 0,007 6% og endelig 0,000 235% af de brasilianske primtal. Specifikt af de første billioner af naturlige heltal er 37.607.912.018 prime og kun 88.285 er brasilianske prime.

Ikke-brasilianske sammensatte numre

Lige tal ≥ 8 og ulige tal ≥ 15, der har to eller flere forskellige faktorer, er alle brasilianske. Der er dog ikke-brasilianske sammensatte tal, såsom kvadraterne for de første primtal: 4 , 9 , 25 , 49 , men der er kun en undtagelse blandt disse kvadrater.

Hvis p 2 er brasiliansk, skal p prime verificere diofantinligningen

p 2 = 1 + b + b 2 + ... + b q –1 med p , q prime ≥ 3 og b > = 2.

Den norske matematiker Trygve Nagell demonstrerede, at denne ligning kun har en løsning, når p er primær, svarende til ( p , b , q ) = (11, 3, 5) således, 11 2 = 121 = 11111 3 og den eneste brasilianske firkant af primtal er derfor 121.

Denne ligning har en anden løsning med p non-prime svarende til ( p , b , q ) = (20, 7, 4), det vil sige: 20 2 = 400 = 1111 7 . Der er kun to firkanter af naturlige tal, der findes i en bestemt base, 121 og 400 .

Hvis vi udvider søgningen til rene kræfter, der er tilgængelige i en bestemt base, føres vi til at løse den diofantiske ligning af Nagell-Ljunggren

n t = 1 + b + b 2 + ... + b q –1 med b, n, t > 1 og q > 2.

Yann Bugeaud og Maurice Mignotte antager, at der kun er tre rene magter, der er muligheder, og derfor responderer de brasilianske tal: 121 , 343 og 400 . Den eneste nye løsning er terningen 343 = 7 3 = 111 18 .

Som et resultat er der et uendeligt antal ikke-brasilianske sammensatte tal, som vist ved rækkefølgen af kvadrater med primtal ≥ 13. Mere præcist er rækkefølgen af ikke-brasilianske sammensatte tal: 4 , 6 , 9 , 25 , 49 , 169 , 289 , 361 , 529 , ... er givet i sekvensen A190300, og ikke-brasilianske primtaltal findes i sekvensen A326708 .

Tal flere gange brasiliansk

Der er tal, der ikke er brasilianske, og tal, der er brasilianske; af disse er nogle brasilianske en gang, andre to gange eller tre gange eller fire ... Et antal k gange brasilianske vil blive kaldt k-brasilianske nummer .
Med undtagelse af tal 1 og 6 består ikke-brasilianske tal eller 0- brasilianske tal kun af primtal og firkanter af primtal. Sekvensen af ikke-brasilianske numre starter med 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 11 , 17 , 19 , 23 , 25 , etc. (se fortsættelse A220570 ).
Sekvensen af brasilianske 1- tal består af primtal, det eneste kvadrat af primtalet, der er brasiliansk 121 , og sammensatte tal ≥ 8, som kun er produktet af to faktorer, således at n = a × b = aa b - 1 med 1 < a < b - 1. Vi finder denne sekvens her: A288783 .
Blandt de brasilianske 2- tal (se fortsættelse A290015 ) finder vi kun sammensatte tal og kun to primtal: 31 og 8191 . Ifølge Goormaghtighs formodning er de eneste løsninger i den diofantiske ligning faktisk : s=xm-1x-1=yikke-1y-1{\ displaystyle p = {\ frac {x ^ {m} -1} {x-1}} = {\ frac {y ^ {n} -1} {y-1}}} ${\ displaystyle p = {\ frac {x ^ {m} -1} {x-1}} = {\ frac {y ^ {n} -1} {y-1}}}$ med x , y > 1 og n , m > 2 er :
- ( p , x , y , m , n ) = (31, 5, 2, 3, 5) svarende til 31 = 11111 2 = 111 5 , og
- ( p , x , y , m , n ) = (8191, 90, 2, 3, 13) svarende til 8191 = 1111111111111 2 = 111 90 , hvor 11111111111 er det mellemrum, der består af tretten gange tallet 1.
For hver sekvens af k-brasilianske tal er der et tal, der er den mindste del af det. Sekvensen af disse mindre tal k brasilianske gange begynder med 1, 7 , 15 , 24 , 40 , 60 , 144 , 120 , 180 , 336 , 420 , 360 , etc. og kan findes i A284758 . Så 40 er det mindste 4-brasilianske heltal med 40 = 1111 3 = 55 7 = 44 9 = 22 19 .
I ordbogen for (næsten) alle heltal foreslår Daniel Lignon, at et heltal er meget brasiliansk, hvis det har flere scripts, der definerer det som et brasiliansk tal end noget helt tal, der er mindre end det. Denne definition er inspireret af definitionen af stærkt sammensat nummer introduceret af Srinivasa Ramanujan i 1915.
De første meget brasilianske tal er 1, 7 , 15 , 24 , 40 , 60 , 120 , 180 , 336 , 360 , 720 , etc. og er placeret nøjagtigt i A329383 . Bemærk, at der fra 360 til 321,253,732,800 (måske mere) er 80 på hinanden følgende stærkt sammensatte tal, der også er meget brasilianske (se A279930 ).

Noter og referencer

P. Bornsztein, Hypermath , Paris, Vuibert ,2001, øvelse a35 , s. 7.
[1] .
B. Schott, " De brasilianske Numbers ", Kvadratur , vol. 76,2010, Fås i linket efter A125134 i OEIS .
[2] .
Gérard Villemin, “ Numrebasis & tal super-repdigits ” .
Trygve Nagell, " På den ubestemte ligning (x n -1) / (x-1) = y 2 ", Norsk Matematisk Forenings Skrifter , i, vol. 3,1921, s. 17.
(nej) Wilhelm Ljunggren , “ Noen setninger om ubestemte likninger av formen (x n -1) / (x-1) = y q ” , Norsk matematisk tidsskrift , vol. 25,1943, s. 17-20.
Yann Bugeaud og Maurice Mignotte, " Nagell-Ljunggren-ligningen (x n -1) / (x-1) = y q ", Matematisk Uddannelse , bind. 48,2002, s. 147-168 ( læs online ).
Daniel Lignon, ordbog over (næsten) alle heltal , ellipser ,2012, s. 420.