Lucas nummer
I matematik er antallet af Lucas vilkårene for følgende generaliserede Lucas forbundet med Fibonacci-sekvensen . Denne sekvens er derfor defineret af det samme lineære gentagelsesforhold :
Likke+2=Likke+1+Likke{\ displaystyle L_ {n + 2} = L_ {n + 1} + L_ {n}}
men med to forskellige startværdier: i stedet for 0 og 1,
L0=2,L1=1.{\ displaystyle L_ {0} = 2, \ quad L_ {1} = 1.}
Sekvensen ( L n ) kaldes "Fibonacci-Lucas sekvens" eller mere simpelt "Lucas sekvens".
Første værdier
Denne sekvens af heltal er strengt voksende fra n = 1. Dens første ti vilkår (for n fra 0 til 9) er 2 , 1 , 3 , 4 , 7 , 11 , 18 , 29 , 47 og 76 (for n op til 500 , se fortsættelse A000032 af OEIS ).
Ejendomme
Forholdet mellem et Lucas-nummer og det gyldne forhold
Det generelle udtryk L n af Lucas sekvens udtrykkes som en funktion af det gyldne nummer φ ved følgende formel, der er analog med Binet formel for Fibonacci sekvensen:
Likke=φikke+(-φ)-ikke=(1+52)ikke+(1-52)ikke{\ displaystyle L_ {n} = \ varphi ^ {n} + (- \ varphi) ^ {- n} = \ left ({1 + {\ sqrt {5}} \ over 2} \ right) ^ {n} + \ venstre ({1 - {\ sqrt {5}} \ over 2} \ højre) ^ {n}} ;
De successive kræfter af φ er derfor tæt på Lucas-numrene. Mere præcist er lig med 1 / φ n , hvilket er strengt mindre end 1/2 for (og som hurtigt har tendens til 0 ), hvilket viser, at L n er det heltal, der er tættest på φ n . For eksempel: φ 2 = 2.61809 ..., φ 3 = 4.23606 ..., φ 4 = 6.85410 ...
|Likke-φikke|{\ displaystyle | L_ {n} - \ varphi ^ {n} |}ikke⩾2{\ displaystyle n \ geqslant 2}
Forholdet mellem Lucas og Fibonacci-tal
Lucas-numre er relateret til Fibonacci-numre efter identiteter:
- Likke=Fikke-1+Fikke+1=Fikke+2Fikke-1=Fikke+2-Fikke-2{\ displaystyle \, L_ {n} = F_ {n-1} + F_ {n + 1} = F_ {n} + 2F_ {n-1} = F_ {n + 2} -F_ {n-2}}
- Lm+ikke=Lm+1Fikke+LmFikke-1{\ displaystyle \, L_ {m + n} = L_ {m + 1} F_ {n} + L_ {m} F_ {n-1}}
-
Likke2=5Fikke2+4(-1)ikke{\ displaystyle \, L_ {n} ^ {2} = 5F_ {n} ^ {2} +4 (-1) ^ {n}}, og så konvergeres sekvensen til .(LikkeFikke){\ displaystyle \ left ({\ frac {L_ {n}} {F_ {n}}} \ højre)}5{\ displaystyle {\ sqrt {5}}}
- F2ikke=LikkeFikke{\ displaystyle \, F_ {2n} = L_ {n} F_ {n}}
- Fikke+k+(-1)kFikke-k=LkFikke{\ displaystyle \, F_ {n + k} + (- 1) ^ {k} F_ {nk} = L_ {k} F_ {n}}
-
Likke+k-(-1)kLikke-k=5FkFikke{\ displaystyle \, L_ {n + k} - (- 1) ^ {k} L_ {nk} = 5F_ {k} F_ {n}}, også
-
Likke=Fikke-1+Fikke+1=Fikke+2-Fikke-2=Fikke-3+Fikke+32=Fikke+4-Fikke-43=Fikke-5+Fikke+55=...{\ displaystyle \, L_ {n} = F_ {n-1} + F_ {n + 1} = F_ {n + 2} -F_ {n-2} = {F_ {n-3} + F_ {n + 3} \ over 2} = {F_ {n + 4} -F_ {n-4} \ over 3} = {F_ {n-5} + F_ {n + 5} \ over 5} = \ dots}og
- Fikke=Likke-1+Likke+15=Likke-3+Likke+310=Likke-5+Likke+525=Likke-7+Likke+765=...{\ displaystyle \, F_ {n} = {L_ {n-1} + L_ {n + 1} \ over 5} = {L_ {n-3} + L_ {n + 3} \ over 10} = {L_ {n-5} + L_ {n + 5} \ over 25} = {L_ {n-7} + L_ {n + 7} \ over 65} = \ dots}
Forholdet mellem L n , F n og det gyldne forhold
Ved at sammenligne formel Binet , og danne ligner følgende Lucas, vi udlede forholdet mellem L n , F n og φ :
Fikke=φikke-(-φ)-ikke5{\ displaystyle F_ {n} = {\ frac {\ varphi ^ {n} - (- \ varphi) ^ {- n}} {\ sqrt {5}}}}Likke=φikke+(-φ)-ikke{\ displaystyle L_ {n} = \ varphi ^ {n} + (- \ varphi) ^ {- n}}
φikke=Likke+Fikke52.{\ displaystyle \ varphi ^ {n} = {{L_ {n} + F_ {n} {\ sqrt {5}}} \ over 2}.}
Delbarhed af Lucas-numre
En første tilgang til spørgsmålet om delbarhed af L n med et heltal a består i at studere sekvensen af resterende af L n modulo a : denne sekvens ( r n ) opfylder (i Z / a Z ) den samme gentagelse ( r n + 2 = r n +1 + r n ) og er derfor periodisk med højst punkt a 2 (længderne af perioderne som en funktion af en form af sekvensen af Pisano-perioderne , suite A001175 fra OEIS ). Mere præcist fører undersøgelsen af denne gentagelse og af forholdet L n = F 2 n / F n i feltet Z / p Z (hvor p er et primtal) til resultater svarende til de opnåede nedenfor for Fibonacci .
Vi beviser også, at intet Lucas-nummer kan deles med et Fibonacci-nummer .
Fikke⩾5{\ displaystyle F_ {n} \ geqslant 5}
Prime Lucas-numre
Vi formoder , at de undersekvens tal Lucas først , 2 , 3 , 7 , 11 , 29 , 47 , 199 , 521 , etc. - fortsættelse A005479 af OEIS - er uendelig.
De tilsvarende indekser, 0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13 osv. ( A001606 ), er alle undtagen 0, prime eller powers of 2 , og de eneste kendte powers af 2, der er en del af denne serie af indekser, er 2, 4, 8 og 16.
Kongruenser
-
Likke+4≡Likkemod5{\ displaystyle L_ {n + 4} \ equiv L_ {n} \ mod 5} (fordi )Likke+4-Likke=5Fikke+2{\ displaystyle L_ {n + 4} -L_ {n} = 5F_ {n + 2}}
-
Likke≡1modikke{\ displaystyle L_ {n} \ equiv 1 \ mod n} hvis n er primær, men det omvendte er falsk. Kontrollen af sammensatte tal er pseudo-prime Fibonacci-tal.Likke≡1modikke{\ displaystyle L_ {n} \ equiv 1 \ mod n}
Demonstration
Lad være et ulige primtal. Som og er deleligt med til , . Ifølge Fermats lille sætning kan vi imidlertid udlede det . For p = 2 .
s{\ displaystyle p}2sLs=(1+5)s+(1-5)s{\ displaystyle 2 ^ {p} L_ {p} = (1 + {\ sqrt {5}}) ^ {p} + (1 - {\ sqrt {5}}) ^ {p}}(sk){\ displaystyle {\ binom {p} {k}}}s{\ displaystyle p}1⩽k⩽s-1{\ displaystyle 1 \ leqslant k \ leqslant p-1}2sLs≡2mods{\ displaystyle 2 ^ {p} L_ {p} \ equiv 2 \ mod p}2s≡2mods{\ displaystyle 2 ^ {p} \ equiv 2 \ mod p}Ls≡1mods{\ displaystyle L_ {p} \ equiv 1 \ mod p}L2=3≡1mod2{\ displaystyle L_ {2} = 3 \ equiv 1 \ mod 2}
Noter og referencer
(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på
engelsk med titlen
" Lucas nummer " ( se listen over forfattere ) .
-
(da) T. Lengyel, rækkefølgen af Fibonacci og Lucas-numrene , Fibonacci Quarterly , 1995.
-
(i) Thomas Jeffery og Rajesh Pereira Delelighed Egenskaber for Fibonacci, Lucas Sekvenser og beslægtede , 2013.
-
(in) Chris Caldwell, " The Prime Glossary: Lucas premium " på Prime Pages .
Eksternt link
(da) Eric W. Weisstein , " Lucas Number " , på MathWorld
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">