Prouhet-Tarry-Escott problem

I matematik , især i talteori og kombinatorik , er problemet Prouhet-Tarry-Escott at finde for hvert heltal to sæt og af heltal hver, såsom: ikke{\ displaystyle n}PÅ{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}ikke{\ displaystyle n}

∑på∈PÅpåjeg=∑b∈Bbjeg{\ displaystyle \ sum _ {a \ in A} a ^ {i} = \ sum _ {b \ in B} b ^ {i}}

for hvert af op til et givet heltal . Hvis og bekræfter disse betingelser, skriver vi . jeg{\ displaystyle i}1{\ displaystyle 1}k{\ displaystyle k}PÅ{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}PÅ=kB{\ displaystyle A = _ {k} B}

Vi leder efter en løsning af minimumsstørrelse for en given grad . Dette stadig åbne problem er opkaldt efter Eugène Prouhet , der studerede det i 1851, og Gaston Tarry og Edward Brind Escott, der betragtede det i begyndelsen af ​​1910'erne. ikke{\ displaystyle n}k{\ displaystyle k}

Den største værdi, som vi kender en løsning til, er . En tilsvarende løsning gives af følgende sæt: k{\ displaystyle k}ikke=k+1{\ displaystyle n = k + 1}k=11{\ displaystyle k = 11}

PÅ={±22,±61,±86,±127,±140,±151} ,B={±35,±47,±94,±121,±146,±148}{\ displaystyle A = \ {\ pm 22, \ pm 61, \ pm 86, \ pm 127, \ pm 140, \ pm 151 \} \, \ qquad B = \ {\ pm 35, \ pm 47, \ pm 94, \ pm 121, \ pm 146, \ pm 148 \}}

Eksempel

Definitionens heltal er graden , og heltalet er størrelsen . Det er let at se, at det har vi til enhver løsning . Vi leder derfor efter en løsning af mindste størrelse. k{\ displaystyle k}ikke{\ displaystyle n}ikke>k{\ displaystyle n> k}

For størrelse og grad , begge sæt ikke=6{\ displaystyle n = 6}k=5{\ displaystyle k = 5}

{0,5,6,16,17,22}{\ displaystyle \ {0,5,6,16,17,22 \}} og {1,2,10,12,20,21}{\ displaystyle \ {1,2,10,12,20,21 \}}

er en løsning på problemet, da:

0+5+6+16+17+22=66=1+2+10+12+20+21{\ displaystyle 0 + 5 + 6 + 16 + 17 + 22 = 66 = 1 + 2 + 10 + 12 + 20 + 21}02+52+62+162+172+222=1090=12+22+102+122+202+212{\ displaystyle 0 ^ {2} + 5 ^ {2} + 6 ^ {2} + 16 ^ {2} + 17 ^ {2} + 22 ^ {2} = 1090 = 1 ^ {2} + 2 ^ { 2} + 10 ^ {2} + 12 ^ {2} + 20 ^ {2} + 21 ^ {2}}03+53+63+163+173+223=19998=13+23+103+123+203+213{\ displaystyle 0 ^ {3} + 5 ^ {3} + 6 ^ {3} + 16 ^ {3} + 17 ^ {3} + 22 ^ {3} = 19998 = 1 ^ {3} + 2 ^ { 3} + 10 ^ {3} + 12 ^ {3} + 20 ^ {3} + 21 ^ {3}}04+54+64+164+174+224=385234=14+24+104+124+204+214{\ displaystyle 0 ^ {4} + 5 ^ {4} + 6 ^ {4} + 16 ^ {4} + 17 ^ {4} + 22 ^ {4} = 385234 = 1 ^ {4} + 2 ^ { 4} + 10 ^ {4} + 12 ^ {4} + 20 ^ {4} + 21 ^ {4}} 05+55+65+165+175+225=7632966=15+25+105+125+205+215{\ displaystyle 0 ^ {5} + 5 ^ {5} + 6 ^ {5} + 16 ^ {5} + 17 ^ {5} + 22 ^ {5} = 7632966 = 1 ^ {5} + 2 ^ { 5} + 10 ^ {5} + 12 ^ {5} + 20 ^ {5} + 21 ^ {5}}.

En ideel løsning er en løsning, hvis størrelse er lig med grad + 1. Ovenstående løsning er derfor ideel.

Historie

I 1851, Eugène Prouhet udgjorde det mere generelle problem med at fordele hele tal x fra 1 til n m i n klasser, således at summen af de beføjelser k -ths af hele tal hver klasse er den samme, for k = 0, 1 , ... Den proces, han foreslår, udgør nummerering af klasserne fra 0 til n - 1, for at nedbryde hvert heltal x - 1 i talbasen n , for at tilføje dets cifre, for at beregne resten r af denne summodul n og tildel heltalet x til klassen r .

I det tilfælde hvor n = 2 udføres placeringen af ​​heltalet x i en af ​​de to klasser af indeks 0 eller 1 i henhold til om x- th-udtrykket i Prouhet-Thue-Morse-sekvensen er 0 eller 1 For eksempel er de første 8 heltal er fordelt i: 1, 4, 6, 7 på den ene side og i 2, 3, 5, 8 på den anden side og summen af ​​kræfterne k- th af heltalene i disse to klasser falder sammen indtil k = 2.

Leonard Eugene Dickson afsætter et kapitel af sin History of Number Theory til "  Sæt af heltal med lige store summer af samme magt  " og lister ikke mindre end 70 artikler om dette emne. I sin historiske artikel bemærker Edward Maitland Wright , at Prouhet's artikel ikke blev genopdaget før 1948.

Den seneste udvikling er beskrevet af Peter Borwein og hans medforfattere; se også artiklen af ​​Filaseta og Markovich. En todimensional version er blevet undersøgt af Alpers og Tijdeman (2007) .

Egenskaber og resultater

• Hvis parret og er en grad løsning , så for alt og alle parretPÅ={på1,på2,...,påikke}{\ displaystyle A = \ {a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n} \}}B={b1,b2,...,bikke}{\ displaystyle B = \ {b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {n} \}}k{\ displaystyle k}IKKE≠0{\ displaystyle N \ neq 0}M{\ displaystyle M}PÅ′={IKKEpå1+M,IKKEpå2+M,...,IKKEpåikke+M}etB′={IKKEb1+M,IKKEb2+M,...,IKKEbikke+M}{\ displaystyle A '= \ {Na_ {1} + M, Na_ {2} + M, \ ldots, Na_ {n} + M \} \ quad {\ rm {and}} \ quad B' = \ {Nb_ {1} + M, Nb_ {2} + M, \ ldots, Nb_ {n} + M \}}er stadig en løsning i samme grad. Så løsningen{0,5,6,16,17,22}=5{1,2,10,12,20,21}{\ displaystyle \ {0,5,6,16,17,22 \} = _ {5} \ {1,2,10,12,20,21 \}}giver også løsningen{1,6,7,17,18,23}=5{2,3,11,13,21,22}.{\ displaystyle \ {1,6,7,17,18,23 \} = _ {5} \ {2,3,11,13,21,22 \}.}Denne observation gør det muligt at standardisere løsningerne ved f.eks. At indføre, at de kun indeholder positive eller nul heltal, og at nul vises i dem.
• Vi kender ikke en ideel løsning til hver grad, men vi ved, at der for hver grad er en løsning af størrelse .k{\ displaystyle k}ikke≤k(k+1)/2+1{\ displaystyle n \ leq k (k + 1) / 2 + 1}
• Symmetriske løsninger: En løsning med ens størrelse er symmetrisk, hvis hver komponent har formenikke=2m{\ displaystyle n = 2m}{±vs.1,±vs.2,...,±vs.m}.{\ displaystyle \ {\ pm c_ {1}, \ pm c_ {2}, \ ldots, \ pm c_ {m} \}.}Løsningen i introduktionen er af denne form.
• En ulige størrelse løsning er symmetrisk, hvis komponenterne i løsningen er modsatte, dvs.PÅ={på1,på2,...,påikke}{\ displaystyle A = \ {a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n} \}} og B={-på1,-på2,...,-påikke}.{\ displaystyle B = \ {- a_ {1}, - a_ {2}, \ ldots, -a_ {n} \}.}

Ideelle og symmetriske løsninger

Ideelle og symmetriske løsninger er kendt for grader undtagen  : k≤11{\ displaystyle k \ leq 11}k=10{\ displaystyle k = 10}

• k=1{\ displaystyle k = 1}

{±2}=1{±1}{\ displaystyle \ {\ pm 2 \} = _ {1} \ {\ pm 1 \}}

• k=2{\ displaystyle k = 2}

{-2,-1,3}=2{2,1,-3}{\ displaystyle \ {- 2, -1.3 \} = _ {2} \ {2.1, -3 \}}

• k=3{\ displaystyle k = 3}

{±3,±11}=3{±7,±9}{\ displaystyle \ {\ pm 3, \ pm 11 \} = _ {3} \ {\ pm 7, \ pm 9 \}}

• k=4{\ displaystyle k = 4}

{-8,-7,1,5,9}=4{8,7,-1,-5,-9}{\ displaystyle \ {- 8, -7,1,5,9 \} = _ {4} \ {8,7, -1, -5, -9 \}}

• k=5{\ displaystyle k = 5}

{±4,±9,±13}=5{±1,±11,±12}{\ displaystyle \ {\ pm 4, \ pm 9, \ pm 13 \} = _ {5} \ {\ pm 1, \ pm 11, \ pm 12 \}}

• k=6{\ displaystyle k = 6}

{-51,-33,-24,7,13,38,50}=6{51,33,24,-7,-13,-38,-50}{\ displaystyle \ {- 51, -33, -24,7,13,38,50 \} = _ {6} \ {51,33,24, -7, -13, -38, -50 \}}

• k=7{\ displaystyle k = 7}

{±2,±16,±21,±25}=7{±5,±14,±23,±24}{\ displaystyle \ {\ pm 2, \ pm 16, \ pm 21, \ pm 25 \} = _ {7} \ {\ pm 5, \ pm 14, \ pm 23, \ pm 24 \}}

• k=8{\ displaystyle k = 8}

{-98,-82,-58,-34,13,16,69,75,99}=8{98,82,58,34,-13,-16,-69,-75,-99}{\ displaystyle \ {- 98, -82, -58, -34,13,16,69,75,99 \} = _ {8} \ {98,82,58,34, -13, -16, - 69, -75, -99 \}}

• k=9{\ displaystyle k = 9}

{±99,±100,±188,±301,±313}=9{±71,±131,±180,±307,±308}{\ displaystyle \ {\ pm 99, \ pm 100, \ pm 188, \ pm 301, \ pm 313 \} = _ {9} \ {\ pm 71, \ pm 131, \ pm 180, \ pm 307, \ pm 308 \}}

Denne sidste løsning gives sammen med andre i Borwein et al. (2003) . Ingen ideel løsning er kendt for . k=10{\ displaystyle k = 10}

En algebraisk formulering

Der er en mere algebraisk måde at formulere problemet på:

Forslag  -  Følgende betingelser er ækvivalente:

1. ∑jeg=1ikkepåjegj=∑jeg=1ikkebjegj,(j=1,...,k){\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {j} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} ^ {j}, \ quad (j = 1, \ ldots, k)}
2. grader⁡(∏jeg=1ikke(x-påjeg)-∏jeg=1ikke(x-bjeg))≤ikke-(k+1){\ displaystyle \ deg \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} (x-a_ {i}) - \ prod _ {i = 1} ^ {n} (x-b_ {i}) \ højre) \ leq n- (k + 1)}
3. (x-1)k+1|∑jeg=1ikkexpåjeg-∑jeg=1ikkexbjeg.{\ displaystyle (x-1) ^ {k + 1} \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} x ^ {a_ {i}} - \ sum _ {i = 1} ^ {n} x ^ {b_ {i}} \ højre ..}

Noter og referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen "  Prouhet - Tarry - Escott problem  " ( se listen over forfattere ) .

Bemærkninger

1. Borwein (2002) , s.  85
2. Løsning fra Nuutti Kuosa, Jean-Charles Meyrignac og Chen Shuwen, i 1999, se Prouhet-Tarry-Escott-problemet .
3. ME Prouhet, Memoir om nogle forhold mellem talernes beføjelser , CR Acad. Sci. Paris, serie I, bind. 33, 1851, s.  225 .
4. (i) Leonard Eugene Dickson , historie Theory of Numbers  (en) [ detail udgaver ], flyvning. 2, 1919, ca. XXIV, s.  705-716 .
5. Wright (1959)
6. Borwein og Ingalls (1944)
7. Borwein (2002)
8. Borwein, Lisonĕk og Percival 2003
9. (i) Michael Filaseta og Maria Markovich , "  Newton polygoner og Prouhet-Tarry-Escott problem  " , Journal of talteori , vol.  174, 2017, s.  384–400 ( DOI  10.1016 / j.jnt.2016.10.009 ).
10. Borwein (2002) og Prouhet-Tarry-Escott-problemet .
11. Se Borwein og Ingalls (1944) for referencer.

Referencer

• (da) Andreas Alpers og Robert Tijdeman , "  Det todimensionale Prouhet-Tarry-Escott-problem  " , J. Number Theor. , Vol.  123,2007, s.  403-412
• (en) Peter Borwein , Computational Excursions in Analysis and Number Theory , New York / Berlin / Heidelberg, Springer , coll.  "CMS-bøger i matematik",2002, 220  s. ( ISBN  0-387-95444-9 , læs online )Kapitel 11: Prouhet - Tarry - Escott-problemet (side 85-96) er helliget problemet.
• (en) Peter Borwein og Colin Ingalls , "  Problemet Prouhet-Tarry-Escott revisited  " , Lærer. Matematik. , Vol.  40, n knogle  1-2,1994, s.  3-27 ( læs online )
• (en) Peter Borwein , Petr Lisonĕk og Colin Percival , "  Computational investigations of the Prouhet-Tarry-Escott problem  " , Math. Komp. , Vol.  72, nr .  244,2003, s.  2063-2070 ( læs online )
• (de) Albert Gloden  (lb) , Mehrgradige Gleichungen: Mit einem Vorwort von Maurice Kraitchik , Groningen, P. Noordhoff,1944( Matematikanmeldelser  0019638 )
• GH Hardy og EM Wright ( oversat  fra engelsk af F. Sauvageot), Introduktion til talteorien ["  En introduktion til teorien om tal  "], Paris og Heidelberg, Vuibert og Springer,2007Afsnit 20.5 “The Four Squares Theorem” beskæftiger sig med dette emne. Afsnit 21.9 “Problemet med Prouhet og Tarry: antallet  ” og 21.10, s. 423-427, er viet til problemet med Prouhet-Tarry.P(k,j){\ displaystyle P (k, j)}
• (da) Edward M. Wright , "  Prouhet's 1851-løsning af Tarry-Escott-problemet i 1910  " , Amer. Matematik. Månedligt , vol.  66,Marts 1959, s.  199-201

Se også

Relaterede artikler

• Prouhet-Thue-Morse-suite
• Eulers formodning
• Erdős-Suranyi sætning

eksterne links

• (da) Chen Shuwen, Prouhet-Tarry-Escott-problemet
• (da) Eric W. Weisstein , "  Problemet med Prouhet-Tarry-Escott  " , på MathWorld

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">