En Poisson-proces , opkaldt efter den franske matematiker Siméon Denis Poisson og loven med samme navn , er en klassisk optællingsproces, hvis diskrete ækvivalent er summen af en Bernoulli-proces . Det er den enkleste og mest anvendte af processerne, der modellerer en kø . Det er en Markov-proces og endda den enkleste af fødsels- og dødsprocesser (her en ren fødselsproces). Springmomenterne i en Poisson-proces danner en punktproces, der er afgørende for Lebesgue-målingen med en konstant kerne .
Poisson-processen med intensitet λ (strengt positiv reel) er en tællingsproces, der opfylder følgende betingelser:
Disse sidste to betingelser danner ejendommen kendt som "sjældne begivenheder".
Matematisk disse egenskaber oversætte, hvis vi notere Poisson-processen og den sandsynlighed , ved:
Vi udleder af de to sidste lighed .
Demonstrerer derefter ved opløsninger af differentialligninger i rækkefølge 1 og ved induktion i en given tid t (strengt positiv), antallet N t af forekomster i et interval af længde t følger en Poisson-fordeling af intensiteten λ t , dvs.
uanset det naturlige tal k
Og vi viser endelig, at de tider, der forløber mellem to trin i tælleprocessen (husk at sandsynligheden for, at tælleprocessen pludselig øges med to enheder eller mere, er nul ifølge definitionen) er uafhængige tilfældige variabler og med den samme eksponentielle parameterlov λ , det vil sige at:
hvis de tilfældige variabler er uafhængige, og uanset hvad der er positivt eller nul reelt t .
Heraf følger, at for enhver ikke-nul naturligt tal n , den stokastiske variabel T n = S 1 + ... + S n følger gamma lov , også kendt som Erlang lov .
Denne konstruktion er den samme som den forrige, men "på hovedet".
Overvej hændelser, der sker ved tilfældige øjeblikke, hvis adskillelsestider er uafhængige eksponentielle tilfældige variabler med den samme parameter . Derefter er variablen, der tæller antallet af begivenheder, der har fundet sted, når tiden går, en Poisson-proces med intensitet λ . Matematisk er der skrevet:
Hvis er en sekvens af uafhængige stokastiske variable efter eksponentiel lov parameter λ , og hvis vi satte T 0 = 0 så T n = S 1 + ... + S n , derefter, for alle n , T n følger loven , og hvis vi poserer for , så er en Poisson-proces i den forstand, at det er en proces med stationære uafhængige stigninger, og som gælder for alle naturlige heltal k .
Vi bemærker, at "ejendommen til sjældne begivenheder", uanset hvor væsentlig Poisson-processen er, i denne konstruktion ikke vises eksplicit, fordi den er "skjult" i det faktum, at vi har pålagt adskillelsestiderne mellem tilfældige tilfælde af forekomst til følg eksponentielle love.