I lineær algebra er en projektor (eller en projektion ) et lineært kort, der kan præsenteres på to ækvivalente måder:
I et Hilbertiansk eller endog kun prehilbertiansk rum kaldes en projektion, for hvilken de yderligere to er ortogonale, en ortogonal projektion .
Lad F være et underrum af vektoren E og G en yderligere F i E . Helst vektor x af E kan skrives på en unik måde som summen af en vektor F og en vektor G : . Den projektion på F parallelt med G er derefter kortet:
Etableret som sådan, ansøgningen p er et endomorfien , idempotent ( s ∘ p = p ) af billede im ( p ) = F og kernen ker ( p ) = G . Denne endomorfisme er diagonaliserbar .
Vi definerer sæt projektorer af E som endomorfismerne p af E, der tilfredsstiller p 2 = p . Vi har lige set, at enhver projektion er en projektor. Gensidigt :
Teorem for karakterisering af projektor - Enhver projektor af E er en projektion, netop projektionen på im ( p ) parallelt med ker ( p ) , hvor disse to underområder derefter er yderligere.
Projektionen på G parallelt med F er kortet q = id - p , også kaldet projektor "tilknyttet" med p .
Billedet af q er så kernen af p , billedet af p er kernen af q . Med andre ord: ker ( p ) = im (id - p ) og im ( p ) = ker (id - p ) .
To endomorfismer p og r i det samme vektorrum er projektorer med det samme billede, hvis og kun hvis p ∘ r = r og r ∘ p = p .
DemonstrationEt vektorrum E er en direkte sum af vektorunderrum, hvis og kun hvis der findes en familie af projektorer (for ), der tilfredsstiller: og hvis jeg ≠ j .
En vektor symmetri er en endomorfien s , således at r 2 er identiteten (ikke at forveksle med " Symmetric endomorfien ").
Søgningen efter endomorfier, såsom p 2 = p , eller at s 2 = id udført her er et simpelt specielt tilfælde af behandlingen af ligningen P ( u ) = 0 for P polynom og u endomorfisme; se artiklen " Polynom af endomorfisme " for generaliseringer.
I et kvadratisk rum , især i et prehilbertiansk rum , er en projektor en symmetrisk endomorfisme, hvis og kun hvis . Vi har derefter en ortogonal projektor eller en ortogonal projektion .
Enhver projektor med et begrænset dimensionelt rum er diagonaliserbar med kun egenværdier 1 og 0 (hvis den hverken er nul eller identitet).
Faktisk, hvis vi betegner et grundlag for E med vektorer af im ( p ) og vektorer af ker ( p ) (hvilket er muligt, fordi billedet og kernen af p er yderligere), så er matrixen for p i denne tilpassede base skrevet:
Vi har derfor følgende egenskaber: