Den isoperimetriske kvotient er en dimensionsløs størrelse, der bruges til at vurdere rundheden eller sfæriciteten af en overflade eller et fast stof. Det afhænger af formen på det undersøgte objekt og ikke af dets størrelse. Oprindeligt defineret i planen om at sammenligne to overflader med samme omkreds, er det knyttet til alle isoperimetri problemer .
Begrebet generaliseres derefter til de øverste mellemrum med det samme navn.
I kilderne finder vi flere ikke-ækvivalente udtryk for den isoperimetriske kvotient.
Vi betragter en målelig overflade S med en ensrettet kant , det vil sige at den har et endeligt areal og dens omkreds har en endelig længde.
Den isoperimetriske kvotient af S kan defineres som forholdet mellem overfladearealet og arealet af den maksimale overflade opnået for den samme omkreds. Det er så altid et tal mellem 0 og 1, der når 1, når overfladen er en disk.
Hvis A er arealet af S og p dens omkreds, er den isoperimetriske kvotient q 1 lig med:
Eksempel: den isoperimetriske kvotient for en regelmæssig polygon med n sider er:
Den isoperimetriske kvotient kan på den anden side defineres som forholdet mellem kvadratet af omkredsen og arealet, Med denne nye betydning når den isoperimetriske kvotient et minimum på 4π for disken og kan tage uendeligt store værdier, når S-området har tendens til 0, og dets omkreds forbliver konstant.
For et solidt K af volumen V og overflade S finder vi de to definitioner
Kvotienten q 1 varierer fra 0 til 1 og når sit maksimum for bolden. Kvotienten q 2 varierer fra 36π til uendelig og når sit minimum for bolden.
Den faste isoperimetriske kvotient bør ikke forveksles med dens forhold mellem areal og volumen .
For en kompakt K i et euklidisk rum med dimension n leveret med Lebesgue-målingen defineres den isoperimetriske kvotient ofte ved lighed: hvor er grænsen for K.
Denne kvotient når sit minimum for bolden.
Vi finder undertiden en tredje definition af den isoperimetriske kvotient: