Isoperimetrisk sætning

I matematik og mere præcist i geometri er en isoperimetrisk sætning en generalisering af de mere elementære resultater af isoperimetri, der f.eks. Viser, at disken ved en given omkreds er den figur, der har det største areal. Spørgsmålene, som denne generalisering vedrører, vedrører kompakterne fra et metrisk rum, der er forsynet med et mål . Et simpelt eksempel gives ved komprimering af et euklidisk plan . De pågældende kompakter er de af begrænsede foranstaltninger, der også har en grænse for begrænset mål. I det valgte eksempel er de pågældende kompakter dem, hvis kant er en ensrettet kurve , dvs. i det væsentlige ikke- fraktal . Målene for komprimatoren og dens kant er naturligvis forskellige: i eksemplet er målingen af ​​kompakten et område , mens dens kantkurve er en længde.

En isoperimetrisk sætning karakteriserer kompakterne, der har den størst mulige mål for et mål for deres faste grænse. I det euklidiske plan ved hjælp af Lebesgues mål indikerer en isoperimetrisk sætning, at en sådan kompakt er en disk. I dimension 3, stadig med euklidisk geometri , angiver en anden version af sætningen, at det er en kugle . Mere generelt i et euklidisk rum af dimension n , forsynet med Lebesguemålet, er den optimale opnås ved en bold, hvilket giver følgende isoperimetriske ulighed , hvis K er en kompakt og B den enhed bold  :

(Flyvningen∂K)ikke(FlyvningenK)ikke-1≥(Flyvningen∂B)ikke(FlyvningenB)ikke-1.{\ displaystyle {\ frac {({\ text {Vol}} \, \ partial K) ^ {n}} {({\ text {Vol}} \, K) ^ {n-1}}} \ geq { \ frac {({\ text {Vol}} \, \ delvis B) ^ {n}} {({\ text {Vol}} \, B) ^ {n-1}}}.}

Isoperimetriske sætninger er ofte vanskelige at etablere. Selv en simpel sag, som den for det euklidiske fly, der leveres med Lebesgue-foranstaltningen, er relativt teknisk at demonstrere . En af bevismetoderne, der er kendt siden Hurwitzs demonstration i 1901, er at bruge et analyseresultat fra Fourier- seriteorien  : Wirtingers ulighed . Resultatet forbliver delvis, fordi det kun beskæftiger sig med overflader, hvis grænse er en klasse C 1- kurve .

Isoperimetriske sætninger er i øjeblikket genstand for intens forskning i matematik , især inden for funktionel analyse og sandsynlighedsteori på grund af deres tætte sammenhæng med fænomenet målekoncentration .

Fragmenter af historien

Første frugter

Viden om isoperimetriske sætninger er gammel, næsten 3.000 år gammel. Det vigtigste resultat af den tid er arbejdet i Zenodorus II th  århundrede  f.Kr.. J.-C. , som viser et resultat, som man nu vil udtrykke som følger: hvis der findes en polygon med n sider af maksimal overflade ved en given omkreds, så er den regelmæssig . Denne del af historien behandles i artiklen "  Isoperimetri  ". Undersøgelser af isoperimetriske sætninger, der stammer fra antikken, er udelukkende baseret på geometrien i trekanten . Disse ret grundlæggende metoder tillader os ikke at gå meget længere. For eksempel er det uden for rækkevidde at demonstrere eksistensen af en løsning. Det var først i næsten 2000 år, at studiet af dette spørgsmål blev beriget ved hjælp af teoretiske bidrag af en anden art.

Jacques Bernoulli ( 1654 - 1705 ) studerer spørgsmålet for at besvare spørgsmål om statisk mekanik og er mere præcist interesseret i den form, som en bjælke skal have for at tilbyde den størst mulige modstand . Opløsningen af ​​et sådant spørgsmål fører til en isoperimetrisk sætning, halvcirklen er undertiden den form, der giver den bedste modstand. Hvis Bernoulli ikke når frem til et endeligt resultat, bruger han nye værktøjer, der er resultatet af differentialregningen . Ægteskabet mellem geometri og analyse har en stor fremtid, selvom en isoperimetrisk sætning endnu ikke er tilgængelig.

Den XIX th  århundrede er, at et stort fremskridt. Det første gennembrud er frugten af Jakob Steiner ( 1796 - 1863 ) . Det viser, at hvis der findes en løsning, er den nødvendigvis unik, og det er disken . Til dette udviklede han et værktøj, nu kaldet Steiner symmetrization og stadig bruges til at etablere isoperimetri sætninger. Hans hovedidee er at bemærke, at hvis vi klipper en løsning ved hjælp af en linje i to dele af lige områder, er det muligt at konstruere en ny optimal overflade ved at duplikere begge parter. Dens demonstration er præsenteret i artiklen "  Isoperimetri  ".

Variationsregning

For at opnå et komplet bevis, i det mindste i dimension 2, overvindes stadig ikke en større vanskelighed, beviset for eksistensen af ​​en løsning. De første svar kommer fra den proces, der er indledt af Bernoulli. En yderligere, noget underlig antagelse antages: overfladegrænsen er glat . Den mærkelige skyldes det faktum, at en krusning på overfladen har en tendens til at øge omkredsen mere end området. Jo mere uregelmæssig kantkurven er, jo længere er den fra den optimale, men jo vanskeligere bliver beviset. Karl Weierstrass ( 1815 - 1897 ) formaliserede beregningen af ​​variationer og etablerede grundlaget for funktionel analyse. Denne tilgang består i at studere ikke en bestemt kurve, men et sæt kurver, der varierer, for eksempel ved hjælp af en parameter. Ved at variere disse kurver viser vi, at cirklen er det optimale søgte. I det mindste for dimension 2, når først eksistensen af ​​et optimalt er blevet etableret for overfladerne ved den regulære grænse, er det ikke længere for vanskeligt at vise den generelle sætning, vi ved faktisk, hvordan man tilnærmer en kontinuerlig lukket kurve med en anden kontinuerligt differentierbar.

Generalisering til højere dimensioner er naturlig. For det første antager vi eksistensen af ​​en løsning på sætningen, og vi viser, at denne løsning nødvendigvis er en sfære med dimension n . Begrundelsen er meget fysisk, det er den, der bestemmer formen på en sæbeboble. Balancen i boblen er resultatet af to kræfter, der annullerer hinanden: trykket på grund af luft fanget i boblen og overfladespændingen på overfladen. En hurtig variationberegning viser, at kuglens gennemsnitlige krumning nødvendigvis er konstant. I 1900 ved vi, at den eneste strengt konvekse kompakt med konstant middel krumning er en sfære. Endnu en gang er det den vanskelige del at bevise eksistensen af ​​en løsning. En første demonstration i dimension 3 er HA Schwarz 'arbejde i 1884.

Konveks geometri

Hvis fremgangsmåden baseret på variationskalkulation lykkes, er generalisering til højere dimensioner ikke let. En anden tilgang, der stammer fra algebraisk talteori, er i sidste ende mere lovende. Hermann Minkowski ( 1864 - 1909 ) udviklede en geometrisk tilgang, der fik ham til at undersøge antallet af heltal koordinatpunkter indeholdt i visse konvekse , et problem tæt på isoperimetri. Funktionen, der associeres med en kompakt konveks af ℝ n , kardinalen i dens skæringspunkt med netværket ℤ n er et mål. Den sætning af Minkowski , der forløber fra denne logik, tillader ELUCIDATE elegant strukturen ideelle klasse gruppe . En ny geometrisk struktur undersøges; i stedet for at overveje en euklidisk geometri af dimension n , studerer Minkowski et sæt, hvis punkter er konvekse kompakter. Dette sæt er forsynet med en tilføjelse .

Felix Hausdorff ( 1868 - 1942 ) finder en naturlig afstand til et noget større rum, kompakterne. Den topologi forbundet med denne afstand er velegnet. Volumen- og arealfunktionerne, der associeres med en kompakt konveks, er dens mål og mål for dens kant, kontinuerlige. Det er det samme for summen af ​​Minkowski. Endelig er rummet komplet såvel som delmængden af ​​den konvekse, og polytoperne danner et tæt sæt der .

I dimension 2 giver undersøgelsen af ​​Minkowski-summen af ​​kuglen med radius t og centrum nulvektoren med en kompakt konveks det polynomiske udtryk a + pt + π t 2 , hvor a angiver arealet af den konvekse og p dens anvendelsesområde. For at bevise isoperimetriske sætning i dimension 2 udgør viser, at p 2 er større end 4π en , hvilket svarer til at sige, at den foregående polynomium udtryk indrømmer reelle rødder, som Minkowski gør. Tommy Bonnesen  (de) går videre: i 1921 viser han, at hvis r er radius af en indskrevet cirkel og R radius af en omskrevet cirkel , har vi følgende stigning:

s2-4πpå≥π2(R2-r2).{\ displaystyle p ^ {2} -4 \ pi a \ geq \ pi ^ {2} (R ^ {2} -r ^ {2}).}

Med andre ord kan lighed kun finde sted, hvis den konvekse er en disk. Femten år senere bruger W. Fenchel , dengang A. Aleksandrov , denne tilgang, generaliseret til højere dimensioner, til at fastlægge den generelle isoperimetriske sætning til euklidiske geometrier og Lebesgues mål.

Euklidisk plan

Gennem hele afsnittet angiver S en konveks lukket overflade af et euklidisk plan, hvis område, bemærket a , er endeligt og strengt positivt; omkredsen er også og bemærkes s .

I det euklidiske plan har den isoperimetriske sætning følgende form:

Overfladen S har et areal, der er mindre end en disk med perimeter p . Ligestilling mellem områder forekommer kun, hvis S er en disk.

Denne sætning udtrykkes ofte i en ækvivalent form, kaldet "  isoperimetrisk ulighed ":

s2-4πpå≥0.{\ displaystyle p ^ {2} -4 \ pi a \ geq 0.}

Ingen antagelse er nødvendig med hensyn til overfladens natur. Men hvis det ikke er tilstrækkeligt regelmæssigt, er omkredsen ikke endelig, har uligheden ingen interesse.

Elementære geometriske demonstrationer

I dimension 2 har vi en egenskab, der i høj grad forenkler ting:

Hvis en overflade S ikke er konveks, men har et endeligt areal og omkreds, er der en overflade med strengt mindre omkreds og strengt større areal.

Intuitivt er denne sætning relativt indlysende. Hvis S er ikke konveks, den konvekse hylster har et strengt større område og en mindre omkreds end strengt S . Af denne grund er det relevant kun at fokusere på konvekse overflader. Da arealet og omkredsen af ​​en konveks, hvis de findes, er det samme som dens vedhæftning, begrænser man sig ikke til lukkede konvekse på ingen måde generaliteten af ​​de fundne løsninger. Endelig, da enhver overflade af begrænset omkreds er afgrænset, hvis den er lukket, er den nødvendigvis kompakt (jf. Artiklen “  Topologi af et vektorrum med en begrænset dimension  ”).

Artiklen "  Isoperimetri  " etablerer yderligere to resultater ved hjælp af geometrien i trekanten:

• Hvis en polygon med n hjørner har et maksimalt areal for en given omkreds, er denne polygon regelmæssig .
• Hvis en overflade har et maksimalt areal for en given omkreds, er denne overflade den for en disk.

Den sværere del at etablere er eksistensen af ​​sådanne overflader.

Beregning af variationer

En første måde at forenkle spørgsmålet på er at antage, at grænsen er tilstrækkelig regelmæssig. I 1904 , Hurwitz tilbudt en særlig elegant demonstration, som var baseret på Wirtinger ulighed  :

Er en lukket kurve defineret af en funktion f ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) periodisk, kontinuerligt differentiable afgrænser en overflade S . Den følgende stigning er bekræftet, ligestilling finder kun sted, hvis kurven definerer en cirkel.

s2≥4πpå.{\ displaystyle p ^ {2} \ geq 4 \ pi a.}

Prisen, der skal betales for elegance og enkelhed, er løsningens delvise karakter. Eksistensen af ​​en optimal løsning er godt demonstreret, men kun hvis grænsen er glat . Men grænsen kan være vilkårlig. Hvis det ikke er færdigt, er formlen åbenbart sand, men har ringe interesse.

Demonstration

• Wirtinger ulighed:

Lad f være en 2π-periodisk funktion med nul middelværdi af klasse C 1 stykke og kontinuerligt. Så

‖f‖2=12π∫02π(f(t))2dt≤‖f′‖2=12π∫02π(f′(t))2dt.{\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} (f (t)) ^ {2} {\ rm {d}} t \ leq \ | f '\ | ^ {2} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} (f' (t)) ^ {2} {\ rm {d}} t.}

Desuden, hvis ║ f ║ = ║ f ' ║, så er f en sinusformet funktion

∃på,b∈Rf(x)=påcos⁡(x)+bsynd⁡(x).{\ displaystyle \ findes a, b \ i \ mathbb {R} \ quad f (x) = a \ cos (x) + b \ sin (x).}

Vi finder et bevis i artiklen "  Wirtinger ulighed  ".

• Ingen overflade, hvis kant er en lukket kurve af klasse C 1 pr. Stykker, har et område, der er strengt større end skiven med samme omkreds:

Da f definerer en lukket kurve, det vil sige en sløjfe, kan vi betragte denne kurve som en periodisk funktion, der krydser sløjfen et uendeligt antal gange. Lad T være denne periode. Da en oversættelse er en isometri , ændrer den hverken omkredsen p eller arealet a af overfladen afgrænset af f . Vi kan derfor antage, at tyngdepunktet på overfladen S er centrum for det anvendte ortonormale koordinatsystem.

Lad os først bestemme omkredsen p . Det er lig med integrationen af ​​hastighedsnormen over en periode; vi får formlen:

s=∫0T(dxdt)2+(dydt)2dt.{\ displaystyle p = \ int _ {0} ^ {T} {\ sqrt {\ left ({\ frac {{\ rm {d}} x} {{\ rm {d}} t}} \ right) ^ {2} + \ venstre ({\ frac {{\ rm {d}} y} {{\ rm {d}} t}} \ højre) ^ {2}}} {\ rm {d}} t.}

Hvis man som parameter vælger den krumlinjære abscisse s , det vil sige, at buen krydses med ensartet hastighed p / 2π, er værdien T lig med 2π med denne nye parameterisering.

Bestem derefter værdien af ​​området a . Det er defineret af formlen, der udtrykker det på flere forskellige måder:

på=∫S1dxdy=∫VSxdy=∫02πxdydsds.{\ displaystyle a = \ int _ {S} 1 {\ rm {d}} x {\ rm {d}} y = \ int _ {C} x {\ rm {d}} y = \ int _ {0 } ^ {2 \ pi} x {\ frac {{\ rm {d}} y} {{\ rm {d}} s}} {\ rm {d}} s.}

For at realisere dette kan vi enten bruge Stokes ' kraftfulde sætning på kurven C forbundet med funktionen f eller bemærke, at S er konveks. Hvis α er den mindste værdi nået med y ( t ), β den største og γ en værdi mellem de to, er der to punkter i kurven med ordinater γ, som vi kan skrive x 1 (γ) og x 2 (γ ). Funktionerne x 1 og x 2 for [α, β] i ℝ er begge kontinuerlige og svarer til illustrationen i figuren til højre. Ved definition af a er dens værdi lig med summen af ​​områderne i rødt og grønt i figuren:

på=∫aβx1(y)dy+∫aβx2(y)dy.{\ displaystyle a = \ int _ {\ alpha} ^ {\ beta} x_ {1} (y) {\ rm {d}} y + \ int _ {\ alpha} ^ {\ beta} x_ {2} ( y) {\ rm {d}} y.}

Ved at bruge den krumlinjære variabel s i stedet for y bemærker vi, at der er to værdier v 1 og v 2 i intervallet [0, p ] således at:

på=∫v1v2xdydsds+∫v2v1+2πxdydsds=∫02πxdydsds.{\ displaystyle a = \ int _ {v_ {1}} ^ {v_ {2}} x {\ frac {{\ rm {d}} y} {{\ rm {d}} s}} {\ rm { d}} s + \ int _ {v_ {2}} ^ {v_ {1} + {2 \ pi}} x {\ frac {{\ rm {d}} y} {{\ rm {d}} s }} {\ rm {d}} s = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} x {\ frac {{\ rm {d}} y} {{\ rm {d}} s}} {\ rm {d}} s.}

Det er tid til at evaluere p 2 - 4π a  :

s2-4πpå=2π(s22π-2på)=2π∫02π((dxds)2+(dyds)2-2xdyds)ds.{\ displaystyle p ^ {2} -4 \ pi a = 2 \ pi \ left ({\ frac {p ^ {2}} {2 \ pi}} - 2a \ right) = 2 \ pi \ int _ {0 } ^ {2 \ pi} \ left (\ left ({\ frac {{\ rm {d}} x} {{\ rm {d}} s}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {{\ rm {d}} y} {{\ rm {d}} s}} \ højre) ^ {2} -2x {\ frac {{\ rm {d}} y} {{\ rm {d }} s}} \ højre) {\ rm {d}} s.}

Da x opfylder antagelserne om Wirtingers ulighed:

s2-4πpå=2π∫02π((dxds)2-x2+(x-dyds)2)ds≥2π∫02π(x-dyds)2ds≥0.{\ displaystyle p ^ {2} -4 \ pi a = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left (\ left ({\ frac {{\ rm {d}} x} {{ \ rm {d}} s}} \ højre) ^ {2} -x ^ {2} + \ venstre (x - {\ frac {{\ rm {d}} y} {{\ rm {d}} s }} \ højre) ^ {2} \ højre) {\ rm {d}} s \ geq 2 \ pi \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ venstre (x - {\ frac {{\ rm { d}} y} {{\ rm {d}} s}} \ højre) ^ {2} {\ rm {d}} s \ geq 0.}

• Lighed opnås, hvis og kun hvis overfladen er en disk:

For tilfældet med lighed: på den ene side skal der være lighed i Wirtinger-ulighed, hvilket giver udtryk for x ( s ). På den anden side skal denne integral forsvinde, vi skal have y ' ( s ) = x ( s ). Disse to betingelser giver en cirkel med radius 1, parametreret med ensartet hastighed. Og selvfølgelig er alle cirkler løsninger, uanset hvordan de parametreres, fordi deres areal er lig med π r 2 og deres omkreds til 2π r , hvis r angiver radius.

Polygon og Steiner

Historiske demonstrationer har alle et "manglende link". De viser, at en overflade, der ikke har den rigtige egenskab: at være regelmæssig eller at være en disk, ikke er et optimalt. På den anden side viser det ikke, at der findes et sådant optimalt. Når eksistensen af ​​et sådant optimalt er blevet demonstreret, ved vi så, at det er unikt, og vi kender dets geometri. Men demonstrationen af ​​denne eksistens er det element, der blokerer demonstrationerne i så mange århundreder. Det kræver en forståelse af et så dårligt mestret aspekt af geometri: topologi .

De nuværende beviser kommer fra en tilgang, der stadig var ukendt på Steiner-tidspunktet. Den studerede geometri er ikke længere det euklidiske plan, understøttelse af den undersøgte overflade, men et univers, hvor hvert punkt er en overflade. Det er illustreret i figuren til venstre i det særlige tilfælde af trekanter. Den betragtede funktion er den, der med en trekant af omkreds 3 forbinder sit område. Trekanten er repræsenteret af to parametre, c længden af ​​en kant og φ vinklen mellem to kanter inklusive længden c . Hvis vinklen er nul, eller lig med π, er arealet nul, det er det samme, hvis c er lig med 0 eller til 3/2. Den grafiske gengivelse viser, at det maksimale faktisk er nået. I dette særlige tilfælde er toppunktet den trekant, der er beskrevet af parret (1, π / 3).

I tilfælde af polygoner med n hjørner, hvor n er et heltal større end 2, er konfigurationen relativt ligetil. Vi identificerer en polygon med en vektor på ℝ 2 n . Sættet af polygoner bliver en del af et euklidisk vektorrum, denne gang, af dimension 2 n . Den topologi af et euklidisk rum har en passende ejendom. En sætning sikrer, at lukkede og afgrænsede sæt er kompakte. Funktionen, der forbinder sit område med en polygon er kontinuerlig. Enhver kontinuerlig funktion, defineret på en kompakt og med værdier i ℝ når sine grænser. Konfigurationen svarer til figuren til venstre. Dette gør det muligt at etablere det "manglende link":

Der er en polygon med n sider og omkreds p, som har et maksimalt areal.

I det generelle tilfælde tillader en fremgangsmåde svarende til den foregående ikke en konklusion. Ved at begrænse os selv til kompakte konvekse er det område, der interesserer os, faktisk et lukket område, men dimensionen af ​​rummet er her uendelig. Men hvis dimensionen ikke er endelig, viser en Riesz-sætning , at en afgrænset lukket (som den lukkede enhedskugle) muligvis ikke er kompakt. Derudover er perimeterfunktionen ikke længere kontinuerlig, vi kan nærme os mere og mere nøjagtigt en disk med radius 1 af stadig mindre firkanter, tilnærmelsen holder en omkreds lig med 8 uden at nærme sig værdien 2π, selvom den bliver fremragende.

På den anden side er det muligt at nøjagtigt nærme sig grænsen til en kompakt konveks med en polygon med mindre omkreds og et areal, der næsten er lig med den for den konvekse. Denne egenskab og det faktum, at man har etableret den isoperimetriske sætning for polygoner, gør det let at vise, at ingen overflade med perimeter p kan have et areal, der er større end en disk med samme perimeter. Disken er således et af de mest efterspurgte, og arbejdet fra Steiner viser, at dette optimale er unikt.

Enhver overflade S har et areal, der er mindre end det for disken med samme omkreds. Lighed opstår kun, hvis S er en disk.

Demonstrationer

• Der er en polygon med n sider og omkreds p, som har et maksimalt areal:

Vi forsyner flyet med et ortonormalt koordinatsystem, og vi betragter kortet, som til en konveks polygon med n hjørner associerer i ℝ 2 n sekvensen af ​​koordinaterne for dets hjørner. Her ℝ betegner sættet med reelle tal og ℝ 2 n det kanoniske vektorrum af dimension 2 n . Gensidigt med ethvert element u på ℝ 2 n forbinder man den konvekse hylster af punkterne, der har som en sekvens af koordinaterne u . Vi får et kort på ℝ 2 n i sættet med polygoner med et antal hjørner mindre end eller lig med n . Denne applikation er ikke injektionsdygtig, men er surjektiv.

Lad φ være den funktion, fra ℝ 2 n til ℝ 2 , som forbinder med en vektor u den barycenter af de n vektorer, som u er sekvensen af koordinater. Funktionen φ er kontinuerlig, det gensidige billede af nulvektoren er en lukket af ℝ 2 n (fordi singleton nulvektoren i sig selv er en lukket af ℝ 2 ), som vi betegner med F 1 . Vi leder kun efter løsninger i dette lukkede rum, som ikke er bindende. Faktisk, hvis en polygon P er en vilkårlig løsning på det isoperimetriske problem, er oversættelsen af P med det modsatte af dets barycenter en løsning i F 1 . Da oversættelsen er en isometrisk , geometriske egenskaber for billedet ved oversættelsen er den samme som for P .

Lad ψ være kortet over ℝ 2 n i ℝ, der associeres med en vektor u omkredsen af ​​polygonen associeret med u . Dette kort er stadig kontinuerlig og gensidig billede af det reelle antal p er stadig et lukket F 2 af ℝ 2 n . Skæringspunktet C af F 1 og F 2 er lukket, fordi skæringspunktet mellem to lukket. Dette sæt er også afgrænset. En vektor er i F 1 , hvis konvekse hylster af 2-dimensionale vektorer indeholder vektoren nul. Segmentet, der går fra nulvektoren til en af ​​vektorerne i dimension 2, har en længde på mindre end halvdelen af ​​omkredsen af ​​den konvekse kuvert. Et element i C har derfor ingen koordinater større end halvdelen af p . Sæt C har de rigtige egenskaber at konkludere. Hvis en løsning på isoperimetriske problem eksisterer, nødvendigvis placeret i mindst én i C . Desuden er C et afgrænset lukket, men i et begrænset dimensionelt vektorrum, som ℝ 2 n , er de afgrænsede lukninger kompakte.

Vi betragter kortet ξ, af ℝ 2 n i ℝ, som til en vektor u forbinder området med dens polygon. Denne applikation er defineret og fortsætter på C compact . Billedet af C med ξ er en kompakt, den øvre grænse for dette sæt nås, fordi hver kompakt af ℝ indeholder sin øvre grænse. Den konvekse konvolut af en vektor u, der har for billedet ξ denne øvre grænse, er en polygon med højst n sider med perimeter p og maksimalt areal. Det er en løsning på det isoperimetriske problem.

• Der er ikke noget overfladeareal større end det for en disk med samme omkreds:

Vi tænker gennem det absurde. Selvom det betyder at udføre en homøthet , antages det, at der findes en overflade S med omkredsen lig med 2π og et areal lig med π + A, hvor A er et strengt positivt reelt tal. Vi antager, at S er konveks, ellers er det altid muligt at vælge sin konvekse kuvert med mindre omkreds og større område.

Vi konstruerer en polygon med en omkreds mindre end 2π og et areal større end π + A / 2. Den foregående demonstration viser, at en sådan polygon ikke findes, hvilket viser, at overfladen S ikke kan eksistere mere og udgør den efterspurgte absurditet. Denne polygon er illustreret i figuren til højre. Lad ε være et strengt positivt reelt tal mindre end 1 og forholdet mellem A / 6π. Lad P til sidst være polygonen, hvis hjørner er punkter på grænsen til S , regelmæssigt fordelt i en afstand ε fra hinanden. Polygonen svarer til figuren dannet af bunden af ​​de røde firkanter. Måske er der en kant af polygonen med en længde mindre end ε, den længst til højre i figuren.

Overvej konvolutten E består af punkterne i en afstand mindre end eller lig med Ea af P . Denne konvolut er foreningen af ​​det indre af polygonet P , i blåt, af de røde firkanter af kanterne med længden ε og af dele af en disk med radius ε, i grønt i figuren. Foreningen af ​​de grønne dele danner en komplet disk. Området a e af konvolutten E er summen af ​​arealerne på disse forskellige overflader. Hvis p p betegner polygonens omkreds, opnår vi:

påe=pås+ssϵ+πϵ2.{\ displaystyle a_ {e} = a_ {p} + p_ {p} \ epsilon + \ pi \ epsilon ^ {2}.}

Polygonets omkreds er ved konstruktion mindre end overfladen S , som er lig med 2π, vi udleder:

påe≤pås+2πϵ+πϵ2=pås+π(2+ϵ)ϵ≤pås+3πϵ≤pås+PÅ2.{\ displaystyle a_ {e} \ leq a_ {p} +2 \ pi \ epsilon + \ pi \ epsilon ^ {2} = a_ {p} + \ pi (2+ \ epsilon) \ epsilon \ leq a_ {p} +3 \ pi \ epsilon \ leq a_ {p} + {\ frac {A} {2}}.}

En lille lemma, vist nedenfor, viser konvolutten E indeholder overfladen S . Arealet af S , dvs. π + A er derfor mindre end arealet af et e  :

π+PÅ≤pås+PÅ2ogpås≥π+PÅ2.{\ displaystyle \ pi + A \ leq a_ {p} + {\ frac {A} {2}} \ quad {\ text {et}} \ quad a_ {p} \ geq \ pi + {\ frac {A} {2}}.}

Vi har faktisk konstrueret en polygon med et område, der er strengt større end π og en omkreds, der er strengt mindre end 2π. Imidlertid har ingen polygon med samme omkreds som en disk et område, der er større end diskens: dette resultat er absurd. Denne absurditet viser, at en overflade S med et område, der er strengt større end en disk med den samme omkreds, ikke kan eksistere.

• Enhver overflade S har et areal, der er mindre end det for disken med samme omkreds. Ligestillingen finder kun sted, hvis overfladen S også er en disk:

Det er kun tilbage at undersøge sagen om lighed. Det foregående bevis viser, at der faktisk er mindst en overflade med det optimale areal for en given omkreds, skiven. Steiners bevis viser, at hvis en sådan overflade eksisterer, er det nødvendigvis en disk.

• Konvolutten E indeholder overfladen S  :

Vi argumenterer med modsigelse og antage eksistensen af et punkt Q af S , som ikke er en del af E . Den illustrative figur er til højre, overfladen E er den på en rød baggrund. S konveksitet afslører en absurditet. Vi bruger en sætning, der indikerer, at der findes en understøttelseslinje for hvert punkt af grænsen for en konveks. Det vil sige en lige linje, der passerer gennem grænsepunktet og adskiller flyet i to halvplaner, hvoraf det ene er lukket. Dette lukkede halvplan indeholder hele den konvekse.

Eller M et punkt i polygonen P . Overveje endesegmentet Q og M . Dette segment krydser polygonens kant, og der er en kant AB, hvis skæringspunkt med segmentet QM ikke er tomt. Dette skæringspunkt kan ikke være et toppunkt. Mens dette er et topmøde, for eksempel A , som A er en grænse punkt i S , det har en ret til støtte, som nødvendigvis svær Q og M som disse to punkter er elementer S . Imidlertid er et kvarter af M indeholdt i polygonets indre, og derfor i det af S indeholder dette kvarter punkter på hver side af linjen, hvilket er umuligt.

Overvej grænsen for den konvekse S mellem A og B , i blå på figuren; den krydser linjen QM . Lad C være skæringspunktet, ved konstruktion af polygonen P , er punktet C i en afstand mindre end ε fra A og er placeret i E , i modsætning til Q, som ikke er et element i E , er disse to punkter derfor forskellige. Punkt C er et grænsepunkt for den konvekse S , det har en understøttelseslinje. Det samme argument som anvendt ovenfor indikerer, at denne line support nødvendigvis svær Q og M . Vi har dog set, at en sådan linje ikke kan være en supportlinje.

Minkowski sum

Man kunne tro, at de to tidligere demonstrationer closent drøfte isoperimetriske problemet med den euklidiske plan E . Det er ikke sådan. Hurwitz's tilgang giver ingen oplysninger, hvis grænsen ikke er tilstrækkelig glat. Den, der er præsenteret i sidste afsnit, generaliserer ikke godt til højere dimensioner. Fra dimension 3 skulle vi ikke længere håbe på at finde regelmæssig konveks polyhedra , også kaldet platoniske faste stoffer, der nærmer sig sfæren med den ønskede præcision. Der er kun 5 sådanne faste stoffer.

Hausdorff og Minkowski udvikler en anden tilgang baseret på en lidt anden geometri. Her betegner udtrykket geometri studiet af et sæt forsynet med en afstand og en kompatibel algebraisk operation. Det betragtede rum er det for ikke-tomme kompakter, afstanden fra Hausdorff og operationen er summen af ​​Minkowski, hvis kompatibilitet med afstanden resulterer i kontinuiteten i operationen. Minkowski-summen P + Q er det sæt af summer, hvis første medlem er et element af P og det andet af Q  :

P+Q={s+q∣s∈Pogq∈Q}.{\ displaystyle P + Q = \ {p + q \ mid p \ i P \; {\ text {og}} \; q \ i Q \}.}

Hvis S betegner en kompakt, ikke-let konveks og tB den lukkede kugle med midten af ​​vektoren nul og radius t , får arealet af summen S + tB følgende form, kendt som Steiner-Minkowski-formlen  :

PÅ(S+tB)=på+st+πt2.{\ displaystyle A (S + t {\ mathcal {B}}) = a + pt + \ pi t ^ {2}.}

Her, en betegner arealet af S og p sin omkreds. Denne sum er illustreret i figuren til venstre i tilfælde af en sekskant . Sum- svarer til sættet af punkter af skud til en afstand mindre end eller lig med t af S . Anvend på den gule sekskant i venstre figur, vi kan nedbryde denne sum i tre regioner. Den første svarer til den oprindelige figur S i gul, den anden til de punkter, der er placeret på et rektangel på siden, en kant af polygonen og med bredden t , svarende til de 6 blå rektangler. Arealet af de blå overflader er lig med pt . Endelig er der med hvert toppunkt tilknyttet en del af disken med radius t , i grønt i figuren. Foreningen af ​​disse dele af disken danner en komplet disk, deraf den sidste betegnelse for formlen. Demonstrationen i det ikke-polygonale tilfælde er givet i den detaljerede artikel.

Området udtrykkes som et polynom af grad 2, dets diskriminant er lig med p 2 - 4π a . Vi anerkender der udtrykket isoperimetrisk ulighed. At bevise sætningen svarer til at sige, at diskriminanten aldrig er negativ, eller at polynomet indrømmer mindst en rod. Dette resultat opnås direkte som en konsekvens af Brunn-Minkowski-uligheden .

Demonstration

Brunn-Minkowski uligheden viser, at:

PÅ(S+tB)≥PÅ(S)+PÅ(tB)ogpå+st+πt2≥på+πt.{\ displaystyle {\ sqrt {A (S + t {\ mathcal {B}})}} \ geq {\ sqrt {A (S)}} + {\ sqrt {A (t {\ mathcal {B}}) }} \ quad {\ text {and}} \ quad {\ sqrt {a + pt + \ pi t ^ {2}}} \ geq {\ sqrt {a}} + {\ sqrt {\ pi}} t. }

I kvadrat bliver denne stigning:

på+st+πt2≥på+πt2+2πpåtogs2≥4πpå.{\ displaystyle a + pt + \ pi t ^ {2} \ geq a + \ pi t ^ {2} +2 {\ sqrt {\ pi a}} t \ quad {\ text {and}} \ quad p ^ {2} \ geq 4 \ pi a.}

Bonnesen ulighed

Ved nærmere undersøgelse foreslår det foregående afsnit faktisk en generaliserbar metode til at vise isoperimetrisk ulighed, men det angiver ikke, hvordan man skal håndtere sagen om lighed. Mere præcist indikerer demonstrationen ikke, at kun cirklen er løsningen, den vanskelige del af demonstrationen, der har blokeret så mange mennesker siden antikken.

Der er faktisk et bevis, der er givet i artiklen "  Isoperimetri  " og baseret på en Steiner-symmetriering . Det er ubelejligt at generalisere i enhver dimension. Bonnesen finder et simpelt udtryk afhængigt af en indskrevet cirkel og en omskrevet. Cirklen siges at være indskrevet i en kompakt S, hvis den er inkluderet i S, og hvis dens radius r er maksimal. En cirkel siges at være omgivet i S, hvis den indeholder S, og hvis dens radius R er minimal. Den Bonnesen ulighed  (en) er udtrykt som følger, hvis et er det område af den kompakte og p sin omkreds:

s2-4πpå≥π2(R-r)2.{\ displaystyle p ^ {2} -4 \ pi a \ geq \ pi ^ {2} (Rr) ^ {2}.}

Dette resultat betyder, at forskellen fra andengrads polynom, som forbinder overfladen S + tB med t , indrømmer to forskellige rødder, hvis en indskrevet cirkel har en radius, der er strengt mindre end en omskrevet cirkel. Med andre ord, for at isoperimetrisk lighed skal finde sted, er det nødvendigt, at de to radier er ens, hvilket kun kan ske for cirklen. Et andet resultat, lidt stærkere, indikerer, at de to værdier - R og - r ligger mellem de to rødder, som vist i figuren til højre. På samme måde udleder vi nødvendigheden af ​​lighed mellem R og r for at nå den optimale.

Demonstration

• Værdien - r er af negativt billede af polynomet, der med t forbinder overfladearealet S + tB  :

Overveje en ikke tom konveks kompakt S , en indskrevet cirkel med radius r og en omskrevne cirkel C med radius R . Denne situation er illustreret i figuren til venstre, den konvekse kompakt er den lilla firkant, cirklen C er illustreret i blåt og den indskrevne cirkel i grønt. Den anvendte teknik er at overveje den blå zone Z svarende til punkter C som ikke er i S . Overfladen Z + rB måles dobbelt, symbolerne rB betegner her kuglen med radius r og midten af ​​vektoren nul. Denne figur dækker helt S og definerer en disk med radius R + r , vist med gult. Vi udleder en første ligestilling:

PÅ(Z+rB)=π(R+r)2.{\ displaystyle A (Z + r {\ mathcal {B}}) = \ pi (R + r) ^ {2}.}

Overfladen Z skæres derefter i to af en lige linje A, der passerer gennem midten af ​​de to indskrevne og omskrevne cirkler. Den øvre del af Z betegnes Z s , som vist i illustrationen til højre. Minkowski Summen af Z s og rB svarer, i den øvre del til den linje Δ, til en halv skive, med radius R + r . Hvis l 1 og l 2 er længderne af de to skæringspunkter af Z med Δ (se figuren), har skæringspunktet for summen med den nederste del af linjen Δ et areal lig med π r 2 + ( l 1 + l 2 ) r . Vi udleder ligestillingen:

PÅ(Zs+rB)=π2(R+r)2+(l1+l2)r+πr2.{\ displaystyle A (Z_ {s} + r {\ mathcal {B}}) = {\ frac {\ pi} {2}} (R + r) ^ {2} + (l_ {1} + l_ {2 }) r + \ pi r ^ {2}.}

Det er også muligt at evaluere dette område ved hjælp af Steiner-Minkowski-formlen . Da Z s ikke er konveks, er formlen en stigning og ikke en lighed:

PÅ(Zs+rB)=π2(R+r)2+(l1+l2)r+πr2≤PÅ(Zs)+(πR+l1+l2+ss)r+πr2.{\ displaystyle A (Z_ {s} + r {\ mathcal {B}}) = {\ frac {\ pi} {2}} (R + r) ^ {2} + (l_ {1} + l_ {2 }) r + \ pi r ^ {2} \ leq A (Z_ {s}) + (\ pi R + l_ {1} + l_ {2} + p_ {s}) r + \ pi r ^ {2} .}

Her p s betegner længden af den øvre del af grænseområdet S . Vi kan anvende nøjagtig samme ræsonnement på den nederste del af linjen Δ. Ved hjælp af indekset i til at beskrive den nederste del får vi:

PÅ(Zjeg+rB)=π2(R+r)2+(l1+l2)r+πr2≤PÅ(Zjeg)+(πR+l1+l2+sjeg)r+πr2.{\ displaystyle A (Z_ {i} + r {\ mathcal {B}}) = {\ frac {\ pi} {2}} (R + r) ^ {2} + (l_ {1} + l_ {2 }) r + \ pi r ^ {2} \ leq A (Z_ {i}) + (\ pi R + l_ {1} + l_ {2} + p_ {i}) r + \ pi r ^ {2} .}

Ved at tilføje de to stigninger:

π(R+r)2+2(l1+l2)r+2πr2≤PÅ(Z)+2πRr+2πr2+2(l1+l2)r+sr.{\ displaystyle \ pi (R + r) ^ {2} +2 (l_ {1} + l_ {2}) r + 2 \ pi r ^ {2} \ leq A (Z) +2 \ pi Rr + 2 \ pi r ^ {2} +2 (l_ {1} + l_ {2}) r + pr.}

Perimeteren p af S er faktisk summen af p s og p i . Arealet af Z er også lig forskellen i arealet af en disk med radius R med arealet a af S , hvilket giver:

π(R+r)2+2πr2≤πR2-på+2πRr+2πr2+srogpå-sr+πr2≤0.{\ displaystyle \ pi (R + r) ^ {2} +2 \ pi r ^ {2} \ leq \ pi R ^ {2} -a + 2 \ pi Rr + 2 \ pi r ^ {2} + pr \ quad {\ text {and}} \ quad a-pr + \ pi r ^ {2} \ leq 0.}

Den sidste stigning betyder, at - r er af negativt billede af polynomet, der associerer med t området af S + tB .

• Værdien - R har et negativt billede af polynomet, som med t forbinder overfladearealet S + tB  :

Vi anvender nøjagtigt den samme ræsonnement som den forrige, og erstatter koefficienten r med R , radius af den omskrevne cirkel ( er R ikke for stor til at dette er muligt?). Vi får stigningen:

π(2R)2+2πR2≤πR2-på+2πR2+2πR2+sRogpå-sR+πR2≤0,{\ displaystyle \ pi (2R) ^ {2} +2 \ pi R ^ {2} \ leq \ pi R ^ {2} -a + 2 \ pi R ^ {2} +2 \ pi R ^ {2} + pR \ quad {\ text {and}} \ quad a-pR + \ pi R ^ {2} \ leq 0,}

som demonstrerer propositionen.

• Bonnesen-uligheden er bekræftet:

At sige, at - r og - R har et negativt billede af polynomet, er som at sige, at disse værdier er mellem rødderne:

-s+s2-4πpå2π≤-R≤-r≤-s-s2-4πpå2π.{\ displaystyle - {\ frac {p + {\ sqrt {p ^ {2} -4 \ pi a}}} {2 \ pi}} \ leq -R \ leq -r \ leq - {\ frac {p- {\ sqrt {p ^ {2} -4 \ pi a}}} {2 \ pi}}.}

Dette betyder også, at afstanden mellem R og r er mindre end forholdet mellem den diskriminerende og π:

R-r≤s2-4πpåπogs2-4πpå≥π2(R-r)2.{\ displaystyle Rr \ leq {\ frac {\ sqrt {p ^ {2} -4 \ pi a}} {\ pi}} \ quad {\ text {and}} \ quad p ^ {2} -4 \ pi a \ geq \ pi ^ {2} (Rr) ^ {2}.}

• Historisk note:

Den første demonstration af mark-up er Bonnesens arbejde. Den her præsenteret af Hugo Hadwiger viser, at de to stråler er placeret mellem de to rødder.

Øvre dimension

Stater

En sæbeboble er et naturligt svar på den isoperimetriske sætning i dimension 3. Bobles overfladespænding har minimal potentiel energi, hvis dens overflade er. Statisk ligevægt opnås, når overfladearealet er minimalt for at omslutte den mængde luft, der er fanget i sæbemembranen. Kuglen er den eneste overflade, der opnår dette optimale, dermed formen på boblen. I dimension tre har vi følgende sætning:

Lad K være en kompakt af et euklidisk plan med dimension 3, og hvis areal er målbart. Bolden af det samme område som den for grænsen K har et større volumen end K . Hvis v er volumenet af K og s området for dens grænseflade, bekræftes følgende stigning, kendt som “isoperimetrisk ulighed”:

36πv2-s3≤0.{\ displaystyle 36 \ pi v ^ {2} -s ^ {3} \ leq 0.}

Mere generelt, hvis μ betegner Lebesgue-målingen i et euklidisk rum med dimension n , μ n –1 det ækvivalente mål for submanifolds af dimension n - 1, og hvis K er en målbar kompakt med en sådan målbar grænse, så:

μikke-1(∂K)ikke-ikkeikkeμ(K)ikke-1μ(B)≥0.{\ displaystyle \ mu _ {n-1} (\ delvis K) ^ {n} -n ^ {n} \ mu (K) ^ {n-1} \ mu ({\ mathcal {B}}) \ geq 0.}

Her angiver B enhedskuglen. En hurtig beregning gør det muligt at udlede fra denne stigning de isoperimetriske uligheder for n lig med 2 eller 3.

Vanskeligheder

Visse bevis, der er etableret i dimension 2, generaliseres let til alle dimensioner. Dette er for eksempel tilfældet med Leibnizs formel, der giver udtryk for en determinant. Et resultat ved hjælp af topologi er ofte meget mere komplekst at etablere. Et berømt eksempel er Poincaré-formodningen . Hvis det ækvivalente resultat i dimension 2 er relativt simpelt, viser det sig i dimension 3 at være formidabelt at demonstrere. Uden at nå sådanne tekniske ekstremer er det vanskeligere at bevise den isoperimetriske sætning for et euklidisk rum af enhver dimension end i dimension 2.

En første vanskelighed, der allerede er nævnt, kommer fra det faktum, at der ikke findes en uendelig række konvekse regelmæssige polygoner startende fra dimension 3. Imidlertid er en løsning let forestillelig.

De konvekse geometri er forskellig. Fra dimension 3 har en konveks konvolut af en kompakt ikke nødvendigvis en målegrænse, der er mindre end grænsen for en kompakt. Et modeksempel er givet i dimension 3 af en sort, der ligner det indre rør på en cykel. Dens konvekse konvolut indeholder yderligere to diske, hvis areal kan være mere end halvdelen af ​​sortens areal, som ikke er ved grænsen til den konvekse kuvert.

Endelig er betydningen, der skal gives til udtrykket "grænse", ikke så enkelt fra dimension 3 som i planet. I planet er det let at definere længden af ​​en kurve med Jordans tilgang, vi overvejer den øvre grænse for alle de polygonale linjer, og hjørnerne er ordnet og placeret på kurven (se artiklen "  En bues længde  "). Fra dimension 3 er denne tilgang ikke længere mulig: der er serier af polyedre, hvis punkter alle er på overfladen af ​​en del af en cylinder placeret mellem to parallelle plan, og hvis række af områder divergerer. Et eksempel er givet i figuren til højre. Begrebet volumenform giver mulighed for at definere et ( n - 1) -dimensionalt mål for kompaktens grænse, men det antages dog, at grænsen er tilstrækkelig glat, dvs. at den definerer et manifold med dimension n - 1 i klasse C 2 .

Differentiel sort

Minkowski indhold

For at opnå en generel definition af målingen af ​​kompakten, der er undersøgt i et euklidisk rum E med dimension n , definerer Minkowski begrebet " k -dimensionalt indhold " - her betegner k et heltal mindre end n . Lad D være en kompakt af E , dens k -dimensionelle indhold Mn - k ( D ) er som følger:

Mikke-k(D)=lim inft→0μ(D+tBikke)μ(tBikke-k).{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {nk} (D) = \ liminf _ {t \ to 0} {\ frac {\ mu (D + t {\ mathcal {B}} _ {n})} {\ mu (t {\ mathcal {B}} _ {nk})}}.}

Her betegner B p enhedskuglen i et euklidisk rum med dimension p . Strengt taget skal vi tale om " lavere k- dimensionelt indhold ". Figuren til højre illustrerer konceptet for grænsen for en kompakt. Den øvre del af fraktionen definerer indholdet svarer til volumenet af et rør af sektion en skive med radius t hvis tallet er i dimension 3. Hvis grænsen er en manifold af klasse C 2 , volumenet af røret er lig med dens længde, der multiplicerer diskens areal med radius t , hvis t ikke er for stort. Forholdet, der definerer indholdet, er altid lig med sortens længde

I det mere generelle tilfælde af en kompakt manifold af dimension k og af klasse C 2 udtrykkes rørets volumen som et polynom af grad n - k, hvis udtryk i mindste grad er lig med måling af manifold. Målingen defineres derefter ved hjælp af den kanoniske volumenform . Dette resultat kan let forstås, skæringspunktet mellem røret ved et punkt af manifolden ved affinrummet vinkelret på manifolden på dette punkt er en kugle med dimension n - k og radius t . Som en første tilnærmelse er rørets volumen produktet af måling af denne kugle efter sortens.

Isoperimetrisk ligestilling for bolden

Valget af Minkowskis indhold til at måle grænsen for den betragtede kompakt er relevant. Vi kan indse dette ved at studere den isoperimetriske lighed i tilfælde af en kugle rB med radius r af et euklidisk rum E med dimension n . Dens måling er lig med:

μ(rBikke)=ωikkerikkemedω2s+1=2s+1πs1⋅3⋯(2s+1)ogω2s=πss!.{\ displaystyle \ mu (r {\ mathcal {B}} _ {n}) = \ omega _ {n} r ^ {n} \ quad {\ text {with}} \ quad \ omega _ {2p + 1} = {\ frac {2 ^ {p + 1} \ pi ^ {p}} {1 \ cdot 3 \ cdots (2p + 1)}} \; {\ text {and}} \ quad \ omega _ {2p} = {\ frac {\ pi ^ {p}} {p!}}.}

Hvis overfladen er betegnet med bogstavet S , har vi:

Mikke-1(r∂Bikke)=limt→0μ(r∂Bikke+tBikke)μ(tB1)=limt→0μ((r+t)Bikke-(r-t)Bikke)2t.{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {n-1} (r \ partial {{\ mathcal {B}} _ {n}}) = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {\ mu (r \ partial {{\ mathcal {B}} _ {n}} + t {\ mathcal {B}} _ {n})} {\ mu (t {\ mathcal {B}} _ {1})} } = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {\ mu \ left ((r + t) {{\ mathcal {B}} _ {n}} - (rt) {{\ mathcal {B}} _ {n}} \ højre)} {2t}}.}

Den anden ligestilling indikerer, at røret, der genereres af overfladen S n –1 , består af punkter i kuglen med radius r + t, som ikke er elementer i kuglen r - t . Denne lydstyrke beregnes let:

μ((r+t)Bikke-(r-t)Bikke)=ωikke((r+t)ikke-(r-t)ikke)=ωikke∑jeg=0ikke(ikkejeg)(1-(-1)jeg)rikke-jegtjeg=2ikkeωikkerikke-1t+⋯{\ displaystyle \ mu \ left ((r + t) {{\ mathcal {B}} _ {n}} - (rt) {{\ mathcal {B}} _ {n}} \ right) = \ omega _ {n} \ left ((r + t) ^ {n} - (rt) ^ {n} \ right) = \ omega _ {n} \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ binom {n } {i}} (1 - (- 1) ^ {i}) r ^ {ni} t ^ {i} = 2n \ omega _ {n} r ^ {n-1} t + \ cdots}

Vi kan udlede:

Mikke-1(r∂Bikke)=ikkeωikkerikke-1=ikkeμ(rBikke)rogMikke-1(r∂Bikke)ikke-ikkeikkeωikkeμ(rBikke)ikke-1=0,{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {n-1} (r \ partial {{\ mathcal {B}} _ {n}}) = n \ omega _ {n} r ^ {n-1} = n {\ frac {\ mu (r {\ mathcal {B}} _ {n})} {r}} \ quad {\ text {et}} \ quad M_ {n-1} (r \ partial {{\ mathcal {B}} _ {n}}) ^ {n} -n ^ {n} \ omega _ {n} \ mu (r {\ mathcal {B}} _ {n}) ^ {n-1} = 0,}

hvilket faktisk er isoperimetrisk lighed.

Brunn-Minkowski ulighed

Den ulige Brunn-Minkowski gør det nemt at demonstrere isoperimetriske ulighed i tilfælde af en ikke-tom kompakt K . Anvendt på K og tB opnår vi:

μ(K+tB)≥(μ(K)1ikke+ωikke1ikket)ikke≥μ(K)+ikkeμ(K)ikke-1ikkeωikke1ikket.{\ displaystyle \ mu (K + t {\ mathcal {B}}) \ geq \ left (\ mu (K) ^ {\ frac {1} {n}} + \ omega _ {n} ^ {\ frac { 1} {n}} t \ right) ^ {n} \ geq \ mu (K) + n \ mu (K) ^ {\ frac {n-1} {n}} \ omega _ {n} ^ {\ frac {1} {n}} t.}

Med andre ord :

μ(K+tB)-μ(K)t≥ikkeμ(K)ikke-1ikkeωikke1ikke.{\ displaystyle {\ frac {\ mu (K + t {\ mathcal {B}}) - \ mu (K)} {t}} \ geq n \ mu (K) ^ {\ frac {n-1} { n}} \ omega _ {n} ^ {\ frac {1} {n}}.}

Tilstrækkeligt at sige, at udtrykket efterladt indrømmer lavere grænse indhold ( n - 1) -dimensional grænse K . Dette resultat er kendt som Steiner-Minkowski-formlen . Vi opnår:

Mikke-1(∂K)ikke≥ikkeikkeωikkeμ(K)ikke-1,{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {n-1} (\ delvis K) ^ {n} \ geq n ^ {n} \ omega _ {n} \ mu (K) ^ {n-1}, }

hvilket svarer godt til den isoperimetriske ulighed. Der blev ikke antaget antagelser om kompakt K 's beskaffenhed .

Ulighed i Alexandrov-Fenchel

Demonstrationen er både enkel og hurtig, men det unikke ved løsningen mangler. Yderligere hypoteser muliggør en enklere demonstration af denne unikhed. Det generelle tilfælde kan ikke udtrykkes let; for at forstå dette er det tilstrækkeligt at overveje en kugle, hvor man stikker en uendelig fin nål. Der er to tilfælde, hvor den isoperimetriske sætning let udtrykkes. I tilfælde af kompakte konvekse eller i tilfælde af manifolder med klasse C 2- kant demonstreres det unikke ved det optimale ved hjælp af ulighed Alexandrov-Fenchel.

Noter og referencer

1. (i) Thomas Lille Heath , A History of græsk matematik , bd.  2: Fra Aristarchus til Diophantus , Dover ,2013( 1 st  ed. 1921), 608  s. ( ISBN  978-0-486-16265-2 , læs online ).
2. (i) Paul J. Nahin , når mindst er bedst: Hvordan Matematikere Opdaget Mange smarte måder at gøre tingene så Small (gold've Stor) som muligt , PUP ,2007( ISBN  978-0-69113052-1 , læs online ) , s.  47.
3. Nahin 2007 , s.  55-56.
4. Denne bemærkning kommer fra (i) Robert Osserman , "  Den isoperimetriske ulighed  " , Bull. Bitter. Matematik. Soc. , Vol.  84,1978, s.  1182-1238 ( læs online ), s.  1188 .
5. F. Dress , “  Nogle store problemer i matematik,  ” SMF Bulletin , bind.  115, n o  tilføjede: konference "forude Matematik"1987, s.  43.
6. (de) Heinrich Liebmann  (de) , "  Ueber die Verbiegung der geschlossenen Flächen positiver Krümmung  " , Math. Ann. , Vol.  53,1900, s.  81-112 ( læs online ).
7. (De) HA Schwarz , "  Beweis des Satzes, dass die Kugel kleinere Oberfläche besitzt, als jeder andere Körper gleichen Volumens  " , Nachr. Königl. Ges. Wiss. und Georg-Augusts-Univ. , Göttingen ,1884, s.  1-13 ( læs online ).
8. Det meste af informationen i dette afsnit stammer fra Osserman 1978 .
9. (De) H. Minkowski , Gesammelte Abhandlungen , vol.  2, Chelsea,1967( 1 st  ed. 1911) ( ISBN  0828402086 ) , s.  131-229.
10. T. Bonnesen , “  Om en forbedring af den isoperimetriske ulighed i cirklen og beviset for en Minkowski-ulighed  ”, CR Acad. Sci. Paris , vol.  172,1921, s.  1087-1089.
11. W. Fenchel, “Kvadratiske uligheder mellem blandede volumener af konvekse kroppe”, CRAS , bind. 203, 1936 , s.  647-650 .
12. (De) AD Alexandrov, "Neue Ungleichungen für die Mischvolumen konvexer Körper", Dokl. Acad. Sci. USSR , vol. 14, 1937 , s.  155-157 , (en) “  abstrakt  ” .
13. De sidste to afsnit kommer hovedsageligt fra Bernard Teissier , "  Volumes des corps convexes, géométrie et algebre  " , om Jussieu Mathematics Institute (lektion torsdag den 7. oktober 1999, skrevet af C. Reydy).
14. (i) AP Burton og P. Smith , "  isoperimetriske uligheder og områder af fremspring i R n  ' , Acta Math. Hungar. , Vol.  62, n knogle  3-4,1993, s.  395-402 ( DOI  10.1007 / BF01874659 ).
15. Der er f.eks. En demonstration (i) Andrejs Treibergs , "  Inequalities That Imply the Isoperimetric Inequality  " , på University of Utah ,Marts 2002.
16. Treibergs 2002 .
17. Teissier 1999 , s.  5.
18. (De) T. Bonnesen , "  Über eine Verschärfung der isoperimetrischen Ungleichheit des Kreises in der ebene und auf der Kugeloberfläche nebst einer Anwendung auf eine Minkowskische Ungleichheit für konvexe Körper  " , Math. Ann. , Vol.  84,1921, s.  216-227 ( læs online ).
19. (de) H. Hadwiger , Vorlesungen Über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie , Berlin, Springer ,1957.
20. Denne definition findes i Osserman 1978 , s.  1189.
21. Marcel Berger og Bernard Gostiaux , Differentialgeometri: sorter, kurver og overflader [ detaljer i udgaver ], s.  254 .
22. Berger Gostiaux , s.  227.
23. Denne demonstration stammer fra Osserman 1978 , s.  1190.

Se også

Relateret artikel

Pick's sætning

Bibliografi

• Alessio Figalli (red.), Around isoperimetriske uligheder , École Polytechnique-udgaver, 2011
• (en) Yurii D. Burago og Viktor A. Zalgaller  (en) , Geometriske uligheder , Springer, coll.  “  Grund. matematik. Wiss.  "( Nr .  285)1988

• Bonnesen, Problemer med isoperimetre og isepifaner , samling af monografier om funktionsteorien, Paris, Gauthier-Villars, 1929.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">