Funktionsunderstøttelse

Den støtte af en funktion eller en ansøgning er den del af dens definition sæt , hvor den nyttige oplysninger om denne funktion er koncentreret . For en numerisk funktion er det den del af domænet, hvor det ikke er nul, og for en homeomorfisme eller en permutation , den del af domænet, hvor det ikke er uforanderligt.

Understøttelse af en funktion

Definition

Lad være en funktion med komplekse værdier, defineret i et topologisk rum . $f$ $x$

Definition : Man kalder understøttelse af , bemærket , vedhæftningen af det sæt af punkter, hvor funktionen ikke annulleres. $f$ $\ operatorname {supp} (f)$

\ operatorname {supp} (f): = \ overline {\ {x \ i X \ mid f (x) \ neq 0 \}}

Det er en del lukket i X .

Kompakt supportfunktion

Kontinuerlige funktioner med kompakt understøttelse har egenskaber, der ofte er nyttige.

Den funktioner C ∞ med kompakt støtte anvendes til at konstruere regularizing sekvenser . Disse gør det muligt via et sammenløbsprodukt at tilnærme en funktion givet af en række regelmæssige funktioner.
Lad være et åbent af . Funktionerne med kompakt støtte er tætte i rummet til . Vi kan derfor tænke på at bevise rumets egenskaber ved hjælp af et densitetsargument: vi beviser først egenskaben på funktioner med kompakt understøtning, og derefter går vi til grænsen. $\ Omega$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $C ^ {{\ infty}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {L} ^ {p} (\ Omega)}$ $1 \ leqslant p <\ infty$ ${\ displaystyle \ mathrm {L} ^ {p}}$ $C ^ {{\ infty}}$
Rummet for kompakt understøttede funktioner over et åbent af er betegnet . Men nogle forfattere bruger andre notationer som eller . Faktisk er distributionerne defineret som værende elementerne i den topologiske dual of , forsynet med en passende topologi. $C ^ {{\ infty}}$ $\ Omega$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega)}$ ${\ mathcal D} (\ Omega)$ ${\ displaystyle C_ {0} ^ {\ infty} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega)}$
På et metrisk rum, de digitale kontinuerte funktioner med kompakt støtte er ensartet kontinuerlig . Dette er Heines sætning .

Væsentlig understøttelse af en målbar funktion

Vi ønsker at definere den væsentlige understøttelse af en målbar funktion på en sådan måde, at den kun afhænger af ækvivalensklassen af funktioner, der svarer til næsten overalt, det vil sige bortset fra et sæt af mål nul . $f$ $f$

Definition

Lad være en åben for og en målbar funktion. $\ Omega$ $\ mathbb {R} ^ {N}$ ${\ displaystyle f: \ Omega \ to \ mathbb {C}}$

Forslag : Vi betragter det åbne som konstitueret af de punkter i det område, hvoraf pp . Så videre . $\ omega$ $\ Omega$ $f = 0$ $f = 0 ~ pp$ $\ omega$

Demonstration

Lad være en tællelig åben base af . For alt er der en åben af denne base, såsom på . Ved σ-additivitet af foranstaltningen , on . ${\ displaystyle \ left (\ omega _ {n} \ right)}$ $\ Omega$ ${\ displaystyle x \ in \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega _ {n_ {x}}}$ $f = 0 ~ pp$ ${\ displaystyle \ omega _ {n_ {x}}}$ $f = 0 ~ pp$ ${\ displaystyle \ cup _ {x \ in \ omega} \ omega _ {n_ {x}} = \ omega}$

Definition : Nøglen støtte er: . $f$ ${\ displaystyle \ operatorname {supp} _ {\ mathrm {ess}} (f): = {\ Omega \ setminus \ omega}}$

Bemærk : hvis den er takket være ovenstående forslag, ser vi, at og derfor er den væsentlige understøttelse af en målbar funktion uafhængig af den valgte repræsentant. ${\ displaystyle g = f ~ pp}$ $\ Omega$ ${\ displaystyle \ operatorname {supp} _ {\ mathrm {ess}} (g) = \ operatorname {supp} _ {\ mathrm {ess}} (f)}$

Eksempler

I tilfælde af en kontinuerlig funktion kontrolleres det let, at den væsentlige støtte falder sammen med understøtningen ( se ovenfor ).
Dette er ikke længere nødvendigvis tilfældet, hvis det ikke er kontinuerligt. $f$ Overvej for eksempel Dirichlet-funktionen , dvs. den karakteristiske funktion af sættet af rationelle . Dens støtte er, men dens væsentlige støtte er tom. Faktisk, da målingen i er nul . ${\ displaystyle 1 _ {\ mathbb {Q}}}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ ${\ displaystyle 1 _ {\ mathbb {Q}} = 0 ~ pp}$

Støtte til et sammenblandingsprodukt

De mest almindelige eksempler på sæt af målelige funktioner er $L$ $p$ rum . Mere præcist, alle elementer i et rum $L s$ er næsten overalt ligestilling klasser af målbare funktioner.

Proposition : Lad og med . Så ${\ displaystyle f \ in \ mathrm {L} ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle g \ in \ mathrm {L} ^ {q} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle 1 \ leq {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} \ leq 2}$

{\ displaystyle \ operatorname {supp} (f * g) \ subset {\ overline {\ operatorname {supp} (f) + \ operatorname {supp} (g)}}}

Bemærkninger :

Det kompakte understøtningsfunktion med to funktioner er kompakt support.
Generelt, hvis kun et af medierne er kompakt, er det ikke kompakt. $f * g$

Støtte til en foranstaltning

Understøttelsen af et borelisk mål (positivt) på et topologisk rum er pr. Definition skæringspunktet mellem alle de lukkede med fuldt mål (det vil sige hvis komplement er nul mål). Visse forfattere supplerer denne definition med en yderligere tilstand, der er beregnet til at undgå nogle patologiske eksempler.

Under forhold, der er ganske almindeligt opfyldt (topologisk rum med en tællelig base eller især målingens regelmæssighed ), er det et supplement til det største åbne område af måling nul.

Støtte til en distribution

Definition

Lad være et åbent af og en distribution . Vi siger, at er nul på en åben , når for enhver test funktion hvis støtte (som tidligere defineret) er inkluderet i , vi har . $\ Omega$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $T \ in {\ mathcal {D}} '(\ Omega)$ $T$ $U \ delmængde \ Omega$ $\ phi \ i {\ mathcal D} (\ Omega)$ $U$ $\ langle T, \ phi \ rangle = 0$

Definition : Vi kalder support for en distribution på komplementet til den største åbne, som er nul. Vi bemærker det . $T$ $\ Omega$ $T$ $\ operatorname {supp} (T)$

Bemærk : Støtten er veldefineret, for hvis en fordeling er nul på hver af åbningerne i en familie, er den nul på deres forening; dens støtte er derfor et supplement til foreningen af alle de åbninger, hvor den er nul.

Eksempler

Hvis er en kontinuerlig funktion, så er understøttelsen defineret her identisk med de understøttelser, der tidligere blev introduceret til kontinuerlige funktioner. $T$
Hvis er et mål eller et sandsynlighedsmål , er den her definerede support identisk med den, der tidligere er defineret for målene. $T$
Hvis er et multi-indeks , har fordelingen opnået ved at differentiere Dirac-målingen på punktet reduceret understøttelse ved punktet . ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {N} ^ {p}}$ ${\ displaystyle D ^ {\ alpha} \ delta _ {a}}$ $på$ $på$

Enkel støtte til en distribution

Intuitivt kan den enestående understøttelse af en distribution forstås som det sæt af punkter, hvor fordelingen ikke kan identificeres med en funktion. Dette er et andet koncept end hidtil introduceret.

Definition : Vi kalder understøttelse af en distribution i ental , og vi betegner: komplementet til det største åbne, som en funktion er . $T$ $\ operatorname {supp ~ sing} (T)$ $T$ $C ^ {{\ infty}}$

Eksempel : hvor fordelingen er defineret af for enhver funktion . Her angiver den vigtigste værdi af Cauchy . $\ operatorname {supp ~ sing} (vp {\ frac {1} {x}}) = \ left \ {0 \ right \}$ $vp ~ {\ frac {1} {x}}$ ${\ displaystyle vp ~ {\ frac {1} {x}} (\ phi) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {\ left | x \ right |> \ epsilon} { \ frac {\ phi (x)} {x}} \, \ mathrm {d} x}$ ${\ displaystyle \ phi \ i {\ mathcal {D}} (\ Omega)}$ $vp$

Til fordelingen af flere variabler gør den enestående understøttelse det muligt at definere bølgefronter og forstå Huygens 'princip i form af matematisk analyse .

Begrebet entalstøtte forklarer umuligheden af at multiplicere distributioner: groft sagt for at multiplikationen af to distributioner skal være mulig, skal deres entalstøtter være adskilt.

Understøttelse af et vektorfelt

I differentiel geometri er for et felt af vektorer X (ved åbning af eller på en manifold) vedhæftningen af de punkter x , hvor X ( x ) er nul. Feltet X genererer en strøm med en diffeomorfismparameter g t defineret i det mindste lokalt. Flowet er globalt defineret, hvis feltet X har kompakt understøttelse. For t -nul tilstrækkelig lille, bæreren g t er præcis bæreren X . $\ mathbb {R} ^ {n}$

Støtte til en homeomorfisme

I topologi er en homeomorfisme f fra X til X en kontinuerlig sammenhæng og kontinuerlig invers. Dens understøtning er vedhæftningen af det sæt punkter, hvor f ( x ) adskiller sig fra x . Især i differentiel geometri og i dynamiske systemer kan man være interesseret i diffeomorfismer med kompakt understøtning. Ordet diffeomorphism får her betydning og er et specielt tilfælde af homeomorphism.

Støtte til en permutation

I kombinatorisk analyse er understøttelsen af en permutation et supplement til sæt af dens faste punkter. For eksempel nedbrydes enhver permutation på et endeligt sæt på en unik måde som produktet af cyklusser med uensartede understøtninger.

Bemærk : Ved at tilvejebringe det sæt, hvor permutationen fungerer med den diskrete topologi , kan vi betragte permutationen som en homeomorfisme, og derefter falder de to definitioner af støtten sammen.

Understøttelse af en suite

Det sker (især i undersøgelsen af summerbare familier ), at vi er interesserede i familier (af tal, vektorer osv.) Indekseret af utallige sæt; de nyttige begreber (sum af en serie osv.), der kun har betydning for endelige eller tællelige sæt, definerer vi familiens støtte som det sæt af indekser, hvor det ikke er nul.

Reference

Walter Rudin , ægte og kompleks analyse [ detaljer af udgaver ], definition 2.9.

Bibliografi

Haïm Brezis , Funktionsanalyse: teori og anvendelser [ detaljer af udgaver ]
Laurent Schwartz , Distributionsteori , Hermann, 1978
(en) Kōsaku Yosida , Funktionsanalyse , Academic Press, 1968