Dobbelt topologisk

I matematik , og mere præcist i analyse , den topologiske dual er underrum af algebraiske dobbelt består af endeløse lineære former .

Definition

Lad E være et topologisk vektorrum over feltet ℝ eller ℂ.

Den topologiske dobbelte E ' af E er vektors underrum af E * (den algebraiske dobbelt af E ) dannet af kontinuerlige lineære former .

Hvis rummet har en begrænset dimension , falder den topologiske dual sammen med den algebraiske dual, da i dette tilfælde er en hvilken som helst lineær form kontinuerlig.

Men i det generelle tilfælde er inkluderingen af ​​den topologiske dual i den algebraiske dual streng.

Eksempel

Lad D være det virkelige vektorrum af funktioner, der kan afledes fra intervallet [0, 1] i ℝ, udstyret med normen for ensartet konvergens .

‖f‖=supx∈[0,1]|f(x)|.{\ displaystyle \ | f \ | = \ sup _ {x \ i [0,1]} | f (x) |.}

Lad p være den lineære form på D defineret af

s(f)=f′(0).{\ displaystyle p (f) = f '(0).}

Lad også være sekvensen af funktioner af D defineret ved . Det er let at se det (fikke)ikke>0{\ displaystyle (f_ {n}) _ {n> 0}}fikke(x)=x(1-x)ikke{\ displaystyle f_ {n} (x) = x (1-x) ^ {n}}

limikke→∞‖fikke‖=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ | f_ {n} \ | = 0}

(funktionen er positiv og maksimal for x = 1 / ( n + 1)). fikke{\ displaystyle f_ {n}}

Men for alle n, skal det have en tendens til p (0) = 0, hvis p var kontinuerlig. s(fikke)=1{\ displaystyle p (f_ {n}) = 1}s(fikke){\ displaystyle p (f_ {n})}

Dobbelt topologier

I nogle tilfælde kan vi kanonisk definere forskellige topologier på dual.

Lav dobbelt topologi

Til enhver vektor af kan vi matche kortet over i of defineret af . Denne app er en semi-standard på . Den lokalt konvekse rumtopologi defineret af denne familie af semi-normer kaldes den dobbelte svage topologi . Det er den mindst fine topologi, der gør løbende kortlægningerne f↦f ( v ). v{\ displaystyle v}E{\ displaystyle E}sv{\ displaystyle p_ {vb}}E′{\ displaystyle \ scriptstyle E ^ {\ prime}}sv(f)=|f(v)|{\ displaystyle p_ {v} (f) = | f (v) |}sv{\ displaystyle p_ {vb}}E′{\ displaystyle \ scriptstyle E ^ {\ prime}}

Ved byggeri, denne topologi på E ' er adskilt .

Stærk topologi på det dobbelte af et standardiseret rum

Hvis E er et normaliseret vektorrum , kan vi definere en dobbelt norm ║. ║ ' på E' af

‖f‖′=supv∈E,v≠0|f(v)|‖v‖.{\ displaystyle \ | f \ | ^ {\ prime} = \ sup _ {v \ i E, v \ neq 0} {\ frac {| f (v) |} {\ | v \ |}}.}

(Dette er et specielt tilfælde af operatørstandarden .)

E ' er udstyret med denne standard, kaldes den stærke dobbelte af E . Det er et Banach-rum (jf. Proposition 4 i § "Fuldstændighed" i artiklen "Normaliseret vektorrum" ).

Det er vigtigt at bemærke, at selv i en begrænset dimension er de normerede rum E og E ' , som er algebraisk isomorfe, ikke isometriske generelt. For eksempel, på ℝ n , er normerne og er dobbelte i forhold til hinanden, men er ikke isometriske, så snart n ≥ 3. ∑jeg=1ikke|xjeg|{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ grøn x_ {i} \ grøn}sup1≤jeg≤ikke|xjeg|{\ displaystyle \ sup _ {1 \ leq i \ leq n} \ vert x_ {i} \ vert}

Den Banach-Alaoglu-Bourbaki teorem hævder, at den lukkede enhed kugle af den stærke dobbelte af en Banach rum er * -weakly kompakt .

Vi udleder derefter af Kerin-Milman-sætningen, at hvis enhedskuglen i et Banach-rum E ikke har noget ekstremt punkt (for eksempel hvis E = L 1 ([0, 1]) eller E = c 0 , er sekvensrummet på nul grænse), så er E ikke det dobbelte af noget mellemrum.

Den plads ℓ 1 er den dobbelte af c 0 og mange andre rum, herunder den af konvergerende sekvenser  (en) eller, mere generelt , kontinuerte funktioner på en tælleligt kompakt.

Hvor H er et præ-Hilbert-rum , er der et isometrisk semi-lineært (dvs. ℝ-lineært) kanonisk j af H i H ' : for ethvert element v af H er j ( v ) den kontinuerlige lineære form defineret af:

∀w∈H,j(v)(w)=⟨v,w⟩.{\ displaystyle \ forall w \ i H, j (v) (w) = \ langle v, w \ rangle.}

Takket være Rieszs repræsentationssætning beviser vi en grundlæggende egenskab:

Hvis H er et Hilbert-rum , er injektionen j fra H i H ' surjectiv .

Vi udleder (jf. § “Struktur af det dobbelte” i artiklen “Prehilbertian space” ):

For enhver prehilbertian rum H, injektion j fra H i H 'er billedet tætte .

Mens den rent algebraiske forestilling om bidualet ikke giver nogen tvetydighed, er det helt anderledes for topologiske forestillinger. Ifølge topologien, der er bibeholdt på dualen, kunne sættet af kontinuerlige lineære former på denne dual faktisk være mere eller mindre stort.

Bidual af et Banach-rum og refleksivitet

I tilfælde af et normaliseret vektorrum E , hvad der almindeligvis kaldes bidual, bemærket E '' , er det dobbelte af det stærke dual.

Der er en naturlig anvendelse af E i dets bidual, evalueringsapplikationen

J:E→E″∀x∈E,∀ℓ∈E′,J(x)(ℓ)=ℓ(x){\ displaystyle J: E \ rightarrow E '' \ qquad \ forall x \ i E, \, \ forall \ ell \ in E ', \, J (x) (\ ell) = \ ell (x)}

som udgør en isometrisk injektion ifølge Hahn-Banach-sætningen . Når J er en sammenhæng, siges det , at rummet E er refleksivt .

Eksempler: se "  Egenskaber for mellemrum med sekvenser ℓ p  " og "  Dualitet af mellemrum L p  ".

Goldstines sætning . For ethvert ægte normeret vektorrum E er enhedskuglen af E '' vedhæftningen for topologien σ ( E '' , E ' ) (den svage topologi- * på E' ' ) af billedet af J af kugleenheden E .

Noter og referencer

1. Vi kunne også kalde det polære norm i lyset af udviklingen i artiklen om måling af en konveks . En standard er faktisk en måler, hvis polære måler er ingen ringere end den dobbelte standard.
2. (in) D. Freeman , E. Odell og Th. Schlumprecht , "  Universaliteten af ℓ 1 som et dobbelt rum  " , Matematik. Annalen. , Vol.  351, nr .  1,2011, s.  149-186 ( læs online [PDF] ).
3. (i) Dale E. Alspach , "  A ℓ 1 forudgående qui er ikke isometrisk til et forhold på C (α)  " , arXiv ,1992( læs online ).
4. For en mere systematisk undersøgelse, se Gilles Godefroy , ”  Banach space, existence and uniqueness of certain preduals  ”, Ann. Inst. Fourier , vol.  28,1978, s.  87-105 ( læs online ).
5. I den komplekse tilfælde, to konventioner sameksisterer (se afsnit Shape sesquilinear kompleks ) skalar produkt ⟨ v , w ⟩ lineær med hensyn til v og semi-lineær med hensyn til vægt , som i artikler prehilbert Space og Område med Hilbert , eller omvendt , som her og i artiklen Riesz's repræsentationssætning . Definitionen af ​​applikationen j varierer naturligvis afhængigt af den valgte konvention.
6. N. Bourbaki , Elements of mathematics, book III: General topology [ detail of editions ], kap. 4, § 5, Prop. 5

Se også

Relaterede artikler

• Lineær ikke-kontinuerlig anvendelse  (in)
• Dual af et topologisk vektorrum

Bibliografi

Walter Rudin , ægte og kompleks analyse [ detaljer i udgaver ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">