Maxwell stress tensor

Den stress tensor Maxwell (opkaldt til ære for James Clerk Maxwell ) er en tensor af rang 2 anvendes i elektromagnetisme klassiske at udtrykke i det generelle tilfælde de elektromagnetiske kræfter. I den enkleste fysiske situation, der består af en punktladning, der bevæger sig frit i et ensartet magnetfelt, kan den kraft, der udøves på partiklen, let beregnes ved hjælp af Lorentz's kraftlov . I det mest generelle tilfælde, hvor systemet er kendetegnet ved et volumen ladningsfordeling , et volumen strømtætheden , et elektrisk felt og et magnetisk felt , kan man udtrykke et volumen tæthed Lorentz kraft, . Ved at bruge Maxwells ligninger viser vi, at vi kan eliminere strømtætheden og således kun omskrive denne kraftdensitet af kraft som en funktion af de elektriske og magnetiske felter . Dette nye udtryk gør det derefter muligt at definere tensoren for Maxwell- begrænsningerne , som vi vil se nedenfor. $\ rho$ ${\ mathbf {J}}$ ${\ mathbf {E}}$ ${\ mathbf {B}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} = \ rho \ mathbf {E} + \ mathbf {J} \ times \ mathbf {B}}$ ${\ mathbf {J}}$ ${\ mathbf {E}}$ ${\ mathbf {B}}$

I den relativistiske formulering af elektromagnetisme fremtræder Maxwells tensor som den elektromagnetiske komponent i energimomentetensoren . Sidstnævnte beskriver densiteterne og strømningerne af henholdsvis energi og momentum i rumtid .

Motivering

Som vi vil vise nedenfor, kan Lorentz-kraften kun udtrykkes fra E og B ved hjælp af vektoranalyseformler og Maxwells ligninger . Det nye opnåede udtryk er forenklet ved definitionen af Maxwell-stress tensor.

Maxwells ligninger i vakuum udtrykt i SI-enheder

Efternavn	Differentiel form
Maxwell-Gauss ligning	${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}}}$
Maxwell-Thomson ligning	$\ nabla \ cdot {\ mathbf {B}} = 0$
Maxwell - Faraday ligning (lov om induktion )	$\ nabla \ times {\ mathbf {E}} = - {\ frac {\ partial {\ mathbf {B}}} {\ partial t}}$
Maxwell-Ampere ligning	${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {J} + \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} { \ delvis t}} \}$

1. Lad os starte med Lorentz's lov om magt

{\ displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B})}

eller pr. volumenhed

{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ rho \ mathbf {E} + \ mathbf {J} \ times \ mathbf {B}}

2. Bemærk derefter, at ρ og J kan elimineres ved hjælp af forholdet Maxwell-Gauss og Maxwell-Ampere:

{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ epsilon _ {0} \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {E} \ right) \ mathbf {E} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {B} \ right) \ times \ mathbf {B} - \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} \ times \ mathbf {B} \,}

3. Vi bruger definitionen af Poynting-vektoren, som vi beregner drift med hensyn til tid:

{\ displaystyle \ mathbf {R} = \ mathbf {E} \ times \ mathbf {B} / \ mu _ {0}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B}) = {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} \ times \ mathbf {B} + \ mathbf {E} \ times {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t} } \ times \ mathbf {B} - \ mathbf {E} \ times ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {E}) \,}

som gør det muligt at omskrive f i formularen

{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ epsilon _ {0} \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {E} \ right) \ mathbf {E} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {B} \ right) \ times \ mathbf {B} - \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial} { \ partial t}} \ left (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B} \ right) - \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \ times ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {E}),}

vi samler vilkårene i E og B for at opnå

{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ epsilon _ {0} \ left [({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {E}) \ mathbf {E} - \ mathbf {E} \ times ({ \ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {E}) \ right] + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left [- \ mathbf {B} \ times \ left ({\ fed symbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {B} \ right) \ right] - \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B} \ right).}

4. Det ser ud til at "savne" udtrykket (manquer • B ) B induceret af symmetrien mellem E og B , men dette udtryk kan let tilføjes, da det faktisk er nul (Maxwell-Thomson-loven):

{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ epsilon _ {0} \ left [({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {E}) \ mathbf {E} - \ mathbf {E} \ times ({ \ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {E}) \ højre] + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ venstre [({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {B}) \ mathbf {B} - \ mathbf {B} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {B} \ right) \ right] - \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B} \ right).}

Vi eliminerer rotationen ved hjælp af en vektoranalyseidentitet

{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ nabla}} (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {A}) = \ mathbf {A} \ times ({\ boldsymbol {\ nabla }} \ times \ mathbf {A}) + (\ mathbf {A} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {A},}

hvilket i sidste ende fører til:

{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ epsilon _ {0} \ left [({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {E}) \ mathbf {E} + (\ mathbf {E} \ cdot { \ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {E} \ right] + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left [({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {B }) \ mathbf {B} + (\ mathbf {B} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {B} \ right] - {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ nabla }} \ left (\ epsilon _ {0} E ^ {2} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B ^ {2} \ right) - \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B} \ right).}

5. Vi introducerer pr. Definition Maxwell stress tensor

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} \ equiv \ epsilon _ {0} \ left (E_ {i} E_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ delta _ {ij} E ^ {2} \ højre) + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ venstre (B_ {i} B_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ delta _ {ij} B ^ { 2} \ højre),}

og den elektromagnetiske pulstæthed

{\ displaystyle \ mathbf {S} = \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \ times \ mathbf {B}}

hvilket fører til følgende udtryk for kraftens volumetæthed

{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} - {\ frac {\ partial \ mathbf {S}} {\ partial t}}}

Denne sidste relation kan også fortolkes som loven om bevarelse af momentum i klassisk elektrodynamik. Vi bemærker, at vi finder den samme form for bevaringslov i Poyntings sætning, der udtrykker bevarelse af elektromagnetisk energi.

Et andet udtryk for tensoren

I fysik er Maxwell- tensoren stress-tensoren i det elektromagnetiske felt . Som vi netop har vist, er tensoren skrevet i SI-enheder :

\ sigma_ {ij} = \ epsilon_0 E_i E_j + \ frac {1} {{\ mu _0}} B_i B_j - \ frac {1} {2} \ bigl ({\ epsilon_0 E ^ 2 + \ tfrac {1} { {\ mu _0}} B ^ 2} \ bigr) \ delta _ {ij}

hvor ε 0 er permittivitet vakuum og μ 0 er den magnetiske permeabilitet af vakuum, E er den elektriske felt , B den magnetfeltet og δ ij den Kronecker symbol . I Gaussiske enheder finder vi det tilsvarende udtryk:

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ venstre (E_ {i} E_ {j} + H_ {i} H_ {j} - {\ frac {1} { 2}} (E ^ {2} + H ^ {2}) \ delta _ {ij} \ højre)}

hvor H er den magnetiske excitation .

Et andet udtryk kan opnås ved hjælp af dyadiske tensor notationer :

{\ displaystyle {\ overset {\ leftrightarrow} {\ mathbf {\ sigma}}} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ left [\ mathbf {E} \ otimes \ mathbf {E} + \ mathbf {H} \ otimes \ mathbf {H} - {\ frac {E ^ {2} + H ^ {2}} {2}} \ mathbb {I} \ right]}

hvor ⊗ er det dyadiske produkt , og den dyadiske tensorenhed: ${\ mathbb {I}}$

{\ displaystyle \ mathbb {I} \ equiv \ left ({\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array}} \ højre) = (\ mathbf {\ hat {x}} \ otimes \ mathbf {\ hat {x}} + \ mathbf {\ hat {y}} \ otimes \ mathbf {\ hat {y}} + \ mathbf {\ hat { z}} \ otimes \ mathbf {\ hat {z}})}

Elementet ij i Maxwell tensoren er homogent med en bevægelsesmængde pr. Arealenhed ganget med tiden. repræsenterer komponenten langs retning i af pulsstrømmen, der krydser en overflade normal til retning j (i negativ retning) pr. tidsenhed. ${\ displaystyle \ sigma _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij}}$

Vi kan også sige, at det er homogent til en kraft pr. Arealeenhed (negativt tryk) og fortolkes som den i kraftkomponent udøvede på en enhedsoverflade normal til retningen j . Hvert diagonale element i tensoren giver styrkespænding , der påføres et ortogonalt overfladelement i den betragtede retning. I modsætning til kompressionskraften, der virker i en ideel gas , oplever et overfladeelement en kraft, der ikke nødvendigvis er normal for den overflade. Den tilsvarende forskydningskraft er givet af elementerne uden for tensorens diagonal. ${\ displaystyle \ sigma _ {ij}}$

Specielt tilfælde: magnetfelt alene

Hvis det elektromagnetiske felt er domineret af den magnetiske komponent (hvilket f.eks. Er meget verificeret i tilfælde af elektriske maskiner ), kan vi forenkle udtrykket for tensoren, der bliver i SI-enheder:

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B_ {i} B_ {j} - {\ frac {1} {2 \ mu _ {0}}} B ^ {2} \ delta _ {ij} \,.}

For et system med cylindrisk symmetri, som en elmotors rotor, kan vi yderligere reducere udtrykket til:

{\ displaystyle \ sigma _ {rt} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B_ {r} B_ {t} - {\ frac {1} {2 \ mu _ {0}}} B ^ {2} \ delta _ {rt} \,.}

hvor r er den radiale retning, og t er den orthoradiale retning. Kun den tangentiale komponent drejer motoren. B r er den magnetiske fluxtæthed i radial retning, og B t i orthoradial retning (den magnetiske fluxtæthed er det andet navn af magnetfeltet, når den skal skelnes mellem den magnetiske excitation).

Egne værdier

Egenværdierne for Maxwell-tensoren er givet ved:

{\ displaystyle \ {\ lambda \} = \ left \ {- {\ frac {\ epsilon _ {0} E ^ {2} + B ^ {2} / \ mu _ {0}} {2}}, ~ \ pm {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ epsilon _ {0} E ^ {2} -B ^ {2} / \ mu _ {0}} {2}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ epsilon _ {0}} {\ mu _ {0}}} {\ boldsymbol {E}} \ cdot {\ boldsymbol {B}} \ højre) ^ {2}}} \ højre \}}

Se også

Bibliografi

[Jackson] John David Jackson ( oversat fra engelsk af Christian Jeanmougin), Klassisk elektrodynamik , Paris, Dunod , koll. "Sup Sciences",2001, 880 s. , 17,5 x 25 cm ( ISBN 2-10-004411-7 )