Poynting Vector

Poynting Vector Krydsprodukt af det elektriske felt V med magnetfeltet B. Nøgledata

SI-enheder	watt pr. kvadratmeter ( W m -2 )
Dimension	M · T  -3
Natur	Størrelse Vector intensiv
Sædvanligt symbol	S→{\ displaystyle {\ vec {S}}}, , EllerΠ→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}}}R→{\ displaystyle {\ vec {R}}}IKKE→{\ displaystyle {\ vec {N}}}
Link til andre størrelser	Π→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}}} = 1μ0{\ displaystyle {\ frac {1} {\ mu _ {0}}}} E→{\ displaystyle {\ vec {E}}} ∧{\ displaystyle \ wedge}B→{\ displaystyle {\ vec {B}}} Π→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}}} ⋅ dS→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {d} S}}} =d{\ displaystyle = \ mathrm {d}}Φe{\ displaystyle \ Phi _ {\ mathrm {e}}}

I fysik , det Poynting vektor er den flux tæthed i forbindelse med udbredelse af den elektromagnetiske bølge . Dets retning er udbredelsesretningen. Bemærk , , eller . Π→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}}}S→{\ displaystyle {\ vec {S}}}R→{\ displaystyle {\ vec {R}}}IKKE→{\ displaystyle {\ vec {N}}}

Fluxen af ​​Poynting-vektoren gennem en overflade (lukket eller ej) er lig med den effekt, som bølgen bærer gennem denne overflade. Den modulus af denne vektor er således en effekt pr enhed område , dvs. en densitet flyde af energi  ; det er homogent med en energisk belysning og en energisk exitance  ; og i det internationale system (SI) af enheder udtrykkes det i watt pr. kvadratmeter .

Generelt udtryk for Poynting-vektoren

Lad og være det elektriske felt og magnetfeltet . Bevarelsen af ​​elektromagnetisk energi over en overflade udtrykkes i sin lokale form (ofte kaldet Poyntings sætning ) som en bevaringsligning  : E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}

∂e(t)∂t+∇→⋅Π→(t)=s(t){\ displaystyle {\ frac {\ partial e (t)} {\ partial t}} + {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {\ Pi}} (t) = s (t)}

med tiden, det elektromagnetiske felts volumenergitæthed, strømmen, der kommer ud af overfladenergi, og udtrykket kilde: volumendensiteten af ​​den energi, der er opnået eller mistet. t{\ displaystyle t}e{\ displaystyle e}Π→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}}}s{\ displaystyle s}s>0{\ displaystyle s> 0}

Fra Maxwells ligninger i vakuum udleder vi udtrykket for Poynting-vektoren i vakuum:

Π→(t)=E→(t)∧B→(t)μ0{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}} (t) = {\ frac {{\ vec {E}} (t) \ wedge {\ vec {B}} (t)} {\ mu _ {0}} }}

hvor μ 0 er vakuumets permeabilitet .

I et lineært materiale med magnetisk permeabilitet μ, og hvor man kan forsømme dispersionen og tabene, anbefales det at tage højde for den magnetiske excitation defineret af forholdet . Vi får derefter et mere generelt udtryk for Poynting-vektoren: H→(t){\ displaystyle {\ vec {H}} (t)}B→(t)=μH→(t){\ displaystyle {\ vec {B}} (t) = \ mu \, {\ vec {H}} (t)}

Π→(t)=E→(t)∧H→(t){\ displaystyle {\ vec {\ Pi}} (t) = {\ vec {E}} (t) \ wedge {\ vec {H}} (t)}.

I et tabsgivende dispersivt lineært medium bevares ekspressionen af ​​Poynting-vektoren , men Poynting-sætningen udtrykkes ikke længere med og inkluderer yderligere dissipationsbetingelser. Π→=E→∧H→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}} = {\ vec {E}} \ wedge {\ vec {H}}}e{\ displaystyle e}

Tidsgennemsnit i kompleks notation

I tilfælde af en harmonisk progressiv plan elektromagnetisk bølge har vi

E→=E→0cos⁡(ωt-φ){\ displaystyle {\ vec {E}} = {\ vec {E}} _ {0} \ cos {(\ omega t- \ varphi)}}

og

B→=B→0cos⁡(ωt-ψ){\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {B}} _ {0} \ cos {(\ omega t- \ psi)}}

Man kan således forbinde komplekse størrelser med felterne og ved at posere (med det komplekse antal såsom ): E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}jeg{\ displaystyle i}jeg2=-1{\ displaystyle i ^ {2} = - 1}

E→_=E→_0ejegωt=E→0e-jegφejegωt{\ displaystyle {\ understreget {\ vec {E}}} = {\ understregning {\ vec {E}}} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t} = {\ vec {E }} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {- i \ varphi} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t}}

og

B→_=B→_0ejegωt=B→0e-jegψejegωt{\ displaystyle {\ understreget {\ vec {B}}} = {\ understregning {\ vec {B}}} _ {0} \ mathrm {e} ^ {i \ omega t} = {\ vec {B}} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {- i \ psi} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t}}.

Det tidsmæssige gennemsnit af Poynting-vektoren er så værd:

⟨Π→⟩=12μ0Re(E→_∧B→_⋆){\ displaystyle \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle = {\ frac {1} {2 \, \ mu _ {0}}} \; {\ text {Re}} \ left ({\ understreget { \ vec {E}}} \ wedge {\ understreget {\ vec {B}}} ^ {\ star} \ right)}

hvor betegner konjugatet afB→_⋆{\ displaystyle {\ understreget {\ vec {B}}} ^ {\ star}}B→_{\ displaystyle {\ understreget {\ vec {B}}}}

Forbindelse med energimetoden ved stråleformering

Det tidsmæssige gennemsnit af Poynting-fluxen er relateret til luminansen af en stråle, der formerer sig i retningen . Denne luminans er givet af: L(Ω){\ displaystyle L (\ Omega)}Ω0=Π→||Π→||{\ displaystyle \ Omega _ {0} = {\ frac {\ vec {\ Pi}} {|| {\ vec {\ Pi}} ||}}}

L(Ω)=⟨Π→⟩δ(Ω-Ω0){\ displaystyle L (\ Omega) = \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle \ delta (\ Omega - \ Omega _ {0})}

hvor er Dirac-funktionen . δ{\ displaystyle \ delta}

Vi tjekker, at den første øjeblik af som repræsenterer den fluxtæthed finder Poynting flux: L(Ω){\ displaystyle L (\ Omega)}f→{\ displaystyle {\ vec {f}}}

f→=∫S2ΩL(Ω)dΩ=⟨Π→⟩{\ displaystyle {\ vec {f}} = \ int _ {S ^ {2}} \ Omega L (\ Omega) \ mathrm {d} \ Omega = \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle}

Elektromagnetisk kraft, der passerer gennem en overflade

En konsekvens af Poyntings sætning er, at den elektromagnetiske kraft, der passerer gennem en overflade S , gives af strømmen af Poynting-vektoren gennem denne overflade.

PS=∬SΠ→⋅dS→{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {S} = \ iint _ {S} {\ vec {\ Pi}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}}}

Energi ligning af et elektromagnetisk felt

Lad energien i det elektromagnetiske felt være: Uem{\ displaystyle U_ {em}}

Uem=∭VWemdτ{\ displaystyle U_ {em} = \ iiint _ {V} W_ {em} \ mathrm {d} \ tau}med W energivolumetæthed (mængde energi pr. volumenhed)

Vi definerer mængden af ​​energi, der efterlader et volumen i en periode  : V{\ displaystyle V}dt{\ displaystyle \ mathrm {d} t}

-dUemdt=-ddt∭VWemdτ=-∭V∂Wem∂tdτ{\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} U_ {em}} {\ mathrm {d} t}} = - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ iiint _ {V} W_ {em} \ mathrm {d} \ tau = - \ iiint _ {V} {\ frac {\ partial W_ {em}} {\ partial t}} \ mathrm {d} \ tau}

Lad , være feltets energifluxvektor. Ifølge Green-Ostrogradsky-sætningen ( flow-divergens sætning ) kan vi sige, at strømmen, der forlader volumen V, er: P→{\ displaystyle {\ vec {P}}}

∬ΣP→⋅ikke→ dσ{\ displaystyle \ iint _ {\ Sigma} {\ vec {P}} \ cdot {\ vec {n}} \ \ mathrm {d} \ sigma}med en enhedsvektor, der er normal på overfladen af volumen V, orienteret fra indersiden til ydersiden. ikke→{\ displaystyle {\ vec {n}}}Σ{\ displaystyle \ Sigma}

Volumets energitab kan forklares som følger:

• tab som følge af "friktion" af mobile belastninger (se lokal Ohm-lov, Joule-effekt);
• tab på grund af elektromagnetisk stråling, der forlader lydstyrken.

Vi kan derfor sige, at:

-∭V∂Wem∂tdτ=∭V∇→⋅P→dτ{\ displaystyle - \ iiint _ {V} {\ frac {\ partial W_ {em}} {\ partial t}} \ mathrm {d} \ tau = \ iiint _ {V} {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {P}} \ mathrm {d} \ tau}+ arbejde leveret af marken til materialet

Lad os beregne dette arbejde:

F→e´levs.trjegque=q(E→+v→∧B→){\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ rm {{\ acute {e}} elektrisk}} = q ({\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {B }})}.

For en partikel:

dW→=F→⋅dr→=qE→⋅dr→{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {W}} = {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}} = q {\ vec {E}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}}} (det observeres let, at den magnetiske kraft ikke virker).

Lad os gå videre til strømmen fra marken. Effekten modtaget af en partikel er:

F→⋅v→=qE→⋅v→{\ displaystyle {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {v}} = q \, {\ vec {E}} \ cdot {\ vec {v}}}

Partikeltætheden bemærkes derfor: IKKE{\ displaystyle N}

∂WElevs.trjegque∂t=IKKEqE→⋅v→{\ displaystyle {\ frac {\ partial W_ {Electric}} {\ partial t}} = Nq {\ vec {E}} \ cdot {\ vec {v}}} guld IKKEqv→=j→{\ displaystyle Nq {\ vec {v}} = {\ vec {j}}}

derfor ∂WElevs.trjegque∂t=j→⋅E→{\ displaystyle {\ frac {\ partial W_ {Electric}} {\ partial t}} = {\ vec {j}} \ cdot {\ vec {E}}}

Dette krafttab er lig med energitabet i marken pr. Tidsenhed og volumen, så vi skriver endelig:

-∭V∂Wem∂tdτ=∭V∇→⋅P→dτ+∭Vj→⋅E→dτ{\ displaystyle - \ iiint _ {V} {\ frac {\ partial W_ {em}} {\ partial t}} d \ tau = \ iiint _ {V} {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {P}} \ mathrm {d} \ tau + \ iiint _ {V} {\ vec {j}} \ cdot {\ vec {E}} \ mathrm {d} \ tau}

Så endelig har vi:

-∂Wem∂t=∇→⋅P→+j→⋅E→{\ displaystyle - {\ frac {\ partial W_ {em}} {\ partial t}} = {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {P}} + {\ vec {j}} \ cdot { \ vec {E}}} elektromagnetisk feltenergi ligning

Noter og referencer

1. Dubesset 2000 , sv watt pr. Kvadratmeter, s.  124.
2. Dubesset 2000 , sv irradiance, s.  60.
3. Dubesset 2000 , sv energiudgang, s.  64.
4. Dubesset 2000 , sv- vektor af Poynting, s.  121.
5. (i) John David Jackson, Klassiske elektrodynamik 3. udgave , John Wiley & Sons ,1999, side 259
6. Klassisk elektrodynamik 3. udgave, JD Jackson, side 264 (side 275-277 i den franske udgave)

Se også

Bibliografi

• [Poynting 1884] (da) John Henry Poynting , "  Om overførsel af energi i det elektromagnetiske felt  " , Philos. Trans. R. Soc. , Vol.  175,Dec. 1884, kunst.  nr .  XV , s.  343-361 ( OCLC  6067266495 , DOI  10.1098 / rstl.1884.0016 , JSTOR  109449 , Bibcode  1884RSPT..175..343P , resumé , læs online [PDF] ) - kunst.  modtaget den17. dec 1883 og læs det 10. jan 1884.
• [Dubesset 2000] Michel Dubesset ( pref.  Of Gérard Grau), Manual for International System of Units: leksikon og konverteringer , Paris, Technip, coll.  "Publications of the French Petroleum Institute  ",Sep 2000, 1 st  ed. , 1  vol. , XX -169  s. , syg. , Fig. og tabl. , 15 × 22  cm , br. ( ISBN  2-7108-0762-9 , EAN  9782710807629 , OCLC  300.462.332 , varsel BNF n o  FRBNF37624276 , SUDOC  052.448.177 , online præsentation , læse online ) , sv vektor de Poynting, s.  121.

Relaterede artikler

• Poyntings sætning

eksterne links

• [OI] (in) "  Poynting vector  " ["Poynting vector"] autoritetsregistrering nr .  20110803100341357 af Oxford Index (OI) i databasen Oxford Reference fra Oxford University Press (OUP) .
• Myndighedsposter  :
  • Gemeinsame Normdatei
• Bemærk i en ordbog eller generel encyklopædi  : Encyclopædia Britannica