Kerin-Milman sætning

Den Krein-Milman teorem er en sætning, demonstreret af Mark Krein og David Milman i 1940, som generaliserer til visse topologiske vektorrum en geometrisk resultat vedrørende konvekse mængder anført af Hermann Minkowski i finite dimension (og ofte forkert kaldte sig selv ”Krein-Milman sætning ”).

En særlig forenklet form for sætningen er angivet: enhver konveks polygon er den konvekse konvolut af sættet med dens hjørner. Dette gælder også for en konveks polytop .

Begrebet "ekstrem punkt"

Lad være en konveks og et punkt af . Vi siger, at er en extremal punkt af når er stadig konveks. Dette svarer til at sige, at med lighed indebærer . VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}VS{\ displaystyle C}VS∖{vs.}{\ displaystyle C \ setminus \ {c \}}vs.1,vs.2∈VS{\ displaystyle c_ {1}, c_ {2} \ in C}vs.=vs.1+vs.22{\ displaystyle c = {\ frac {c_ {1} + c_ {2}} {2}}}vs.1=vs.2=vs.{\ displaystyle c_ {1} = c_ {2} = c}

Erklæring i begrænset dimension

Teorem  -  Enhver kompakt konveks af et affinalt rum med begrænset dimension er den konvekse kuvert af sættet med dets slutpunkter.

Beviset er ikke meget langt, det væsentlige redskab er sætningen af ​​eksistensen af ​​et støttehyperplan på ethvert punkt af grænsen for en konveks.

Demonstration

Beviset er en gentagelse af dimensionen af den konvekse. Resultatet er tydeligt for en singleton; Lad os nu antage, at resultatet er sandt for alle konvekse dimensioner strengt mindre end et fast heltal , og lad os være en konveks af dimension . k{\ displaystyle k}VS{\ displaystyle C}k{\ displaystyle k}

Selvom det betyder at erstatte det omgivende rum med den affine konvolut af , kan vi antage, at det er et affinalt rum, hvis dimension også er . VS{\ displaystyle C}k{\ displaystyle k}

Lad os nu tage et punkt af og vise, at det er i den konvekse ramme for de ekstreme punkter. For at gøre dette trækker vi en linje, der passerer igennem . Sættet er derefter en konveks af , kompakt af den antagelse om kompakthed, der blev gjort på . Det er derfor af formen , hvor . m{\ displaystyle m}VS{\ displaystyle C}D{\ displaystyle D}m{\ displaystyle m}VS∩D{\ displaystyle C \ cap D}D{\ displaystyle D}VS{\ displaystyle C}[på,b]{\ displaystyle [a, b]}m∈[på,b]{\ displaystyle m \ in [a, b]}

Nu da de er adhærerende til supplement af , de er derfor grænserne punkter i denne konveks. Der er derfor støttehyperplaner og på disse punkter. Lad os introducere den konvekse og . på{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}VS{\ displaystyle C}Hpå{\ displaystyle H_ {a}}Hb{\ displaystyle H_ {b}}VSpå=VS∩Hpå{\ displaystyle C_ {a} = C \ cap H_ {a}}VSb=VS∩Hb{\ displaystyle C_ {b} = C \ cap H_ {b}}

Vi bemærker derefter, at ethvert ekstremt punkt i (rep. ) Stadig er et ekstremt punkt i . Lad os faktisk være et så ekstremt punkt på , derefter og to punkter på . Hvis mindst et af de to punkter og ikke er i betragtning af dette hyperplans adskilte karakter, forbliver hele det åbne segment i et enkelt åbent halvrum afgrænset af og undgår derfor  ; hvis og begge er tændt , er det konveksiteten, som sikrer, at man undgår . I alle tilfælde er segmentet derfor ret hel i og er derfor ekstremt iVSpå{\ displaystyle C_ {a}}VSb{\ displaystyle C_ {b}}VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}VSpå{\ displaystyle C_ {a}}x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}VS∖{vs.}{\ displaystyle C \ setminus \ {c \}}x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}Hpå{\ displaystyle H_ {a}}]x,y[{\ displaystyle] x, y [}Hpå{\ displaystyle H_ {a}}vs.{\ displaystyle c}x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}Hpå{\ displaystyle H_ {a}}VSpå∖{vs.}{\ displaystyle C_ {a} \ setminus \ {c \}}[x,y]{\ displaystyle [x, y]}vs.{\ displaystyle c}[x,y]{\ displaystyle [x, y]}VS∖{vs.}{\ displaystyle C \ setminus \ {c \}}vs.{\ displaystyle c}VS.{\ displaystyle C.}

Desuden, som og er af dimension , er de to konvekse og af dimension strengt mindre end . Vi kan derfor anvende induktionshypotesen på dem. Dette viser, at (resp. ) Er en lineær kombination af slutpunkter på (resp. ), Derfor af slutpunkter på . Så længe det derfor hører til den konvekse konvolut af disse slutpunkter, er det igen, da det er på segmentet . Hpå{\ displaystyle H_ {a}}Hb{\ displaystyle H_ {b}}k-1{\ displaystyle k-1}VSpå{\ displaystyle C_ {a}}VSb{\ displaystyle C_ {b}}k{\ displaystyle k}på{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}VSpå{\ displaystyle C_ {a}}VSb{\ displaystyle C_ {b}}VS{\ displaystyle C}på{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}m{\ displaystyle m}[på,b]{\ displaystyle [a, b]}

Generalisering i uendelig dimension

Sætning  -  Enhver kompakt konveks i et separat lokalt konveks rum er den konveks-lukkede konvolut af sættet med dets slutpunkter.

Den "(delvis) gensidig af Milman" sikrer, at denne repræsentation af en kompakt konveks K som den konvekse lukket hylster af en del af K er, i en vis forstand, optimal: den vedhæftningen af en sådan del indeholder punkterne extremal af K .

Noter og referencer

1. (in) Mr. Kerin og D. Milman , "  extreme On the point of convex sets Regularly  " , Studia Mathematica , bind.  9,1940, s.  133-138
2. (i) David Milman , "  Karakteristik af extremal punkt af konvekse mængder Regelmæssigt  " , Doklady Akad. Nauk SSSR (NS) , bind.  57,1947, s.  119-122.

Jean-Baptiste Hiriart-Urruty og Claude Lemaréchal, Fundamentals of konvex analysis , koll. "Grundlehren Text Editions", Springer, 2001 ( ISBN  3540422056 ) , s. 41-42, 57 og 246

Relateret artikel

Sætning Russo-Dye  (en)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">