Lokalt konveks plads
I matematik er et lokalt konveks rum et topologisk vektorrum, hvis topologi kan defineres ved hjælp af en familie af semi-normer . Det er en generalisering af forestillingen om normeret rum .
Definition
Et topologisk vektorrum E siges at være lokalt konveks, hvis det opfylder en af følgende to ækvivalente egenskaber:
- der er en familie af semi-standarder, således at topologien for E er initial for applikationssættet ;P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}{x↦s(x-y)∣y∈E,s∈P}{\ displaystyle \ {x \ mapsto p (xy) \ mid y \ i E, p \ i {\ mathcal {P}} \}}
- nulvektoren har en base af kvarterer dannet af konvekse .
I dette tilfælde kan familien af semi-standarder altid vælges filtrering .
Demonstration af ækvivalensen af de to definitioner
- (1) ⇒ (2)
Enhver semi-norm p på E er faktisk en konveks funktion, og derfor er sæt af x af E, der tilfredsstiller p ( x ) < R , konveks for enhver R > 0 .
- (2) ⇒ (1)
Lad T topologi E , antages der skal kontrolleres (2), og T ' at, grovere, defineret af familien af alle seminorms på E kontinuerlige for T .
Det er et spørgsmål om at bevise det omvendt, T ⊂ T ' . Det er tilstrækkeligt for dette at vise, at ethvert T- kvarter V på 0 indeholder en T ' -kvarter på 0.
Nu for en sådan V , ved kontinuitet af kortet (λ, v ) ↦ λ v , findes der en reel α> 0 og et T- kvarter W på 0, som kan antages at være konveks fra (2), således at|λ|<a{\ displaystyle | \ lambda | <\ alpha} og v∈W⇒λv∈V.{\ displaystyle v \ i W \; \ Rightarrow \ lambda v \ i V.}V indeholder derefter det sæt Ω defineret afΩ=⋃|λ|<aλW.{\ displaystyle \ Omega = \ bigcup _ {| \ lambda | <\ alpha} \ lambda W.}Desuden er Ω et område på 0 (derfor absorberende ), konveks og afbalanceret . dens sporvidde er således en semi-standard kontinuerlig E , bolden af centrum 0 og radius 1 / 2 er således en T ' -voisinage 0. Eller denne bold er inkluderet i Ω, så i V .
Eksempler
Modeksempler
Adskillelseskriterium
Sætning - For at et lokalt konvekst rum defineret af en familie af semi-normer skal adskilles , er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at der for enhver ikke-nul vektor findes en semi-norm sådan, at .
E{\ displaystyle E}(sjeg)jeg∈jeg{\ displaystyle (p_ {i}) _ {i \ i I}}v∈E{\ displaystyle v \ i E}sjeg{\ displaystyle p_ {i}}sjeg(v)≠0{\ displaystyle p_ {i} (v) \ neq 0}
Faktisk adskilles et topologisk vektorrum, hvis og kun hvis skæringspunktet mellem kvartererne 0 reduceres til singleton {0}, med andre ord hvis og kun hvis der for en ikke-nul vektor v findes et kvarter på 0 ikke indeholdende v .
Kontinuitet af en funktion
Lad være to lokalt konvekse rum, hvis topologier henholdsvis er defineret af familier af semi-normer (angiveligt filtrering) og (enhver), og f en anvendelse af det første rum i det andet. Følgende forslag er resultatet af definitionerne.
(E,P),(F,Q){\ displaystyle (E, {\ mathcal {P}}), (F, {\ mathcal {Q}})}P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}Q{\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}
Forslag -
∀q∈Q∀ϵ>0∃s∈P∃a>0∀w∈Es(w-v)<a⇒q(f(w)-f(v))<ϵ {\ displaystyle \ forall q \ i {\ mathcal {Q}} \ quad \ forall \ epsilon> 0 \ quad \ eksisterer p \ i {\ mathcal {P}} \ quad \ eksisterer \ alpha> 0 \ quad \ forall w \ i E \ quad p (wv) <\ alpha \ quad \ Rightarrow \ quad q (f (w) -f (v)) <\ epsilon \}.
∀q∈Q∀ϵ>0∃s∈P∃a>0∀v∈E∀w∈Es(w-v)<a⇒q(f(w)-f(v))<ϵ {\ displaystyle \ forall q \ i {\ mathcal {Q}} \ quad \ forall \ epsilon> 0 \ quad \ findes p \ i {\ mathcal {P}} \ quad \ eksisterer \ alpha> 0 \ quad \ forall v \ i E \ quad \ forall w \ i E \ quad p (wv) <\ alpha \ quad \ Rightarrow \ quad q (f (w) -f (v)) <\ epsilon \}.
For eksempel (ved at tage og ) er alle semi-normer, der hører til , ensartede kontinuerlige på E (fordi 1- Lipschitzian ). En semi-norm q over E er faktisk ensartet kontinuerlig, hvis og kun hvis den er kontinuerlig ved 0, hvilket svarer til eksistensen af en semi-norm p ∈ og en konstant C > 0 således, at q ≤ Cp . Vi udleder en analog til lineære applikationer:
F=R{\ displaystyle F = \ mathbb {R}}Q=(| |){\ displaystyle {\ mathcal {Q}} = (| \ |)}P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}
Bevægelse - En lineær kortlægning er ensartet kontinuert hvis og kun hvis det er kontinuert ved 0, hvilket resulterer i: .
T:E→F{\ displaystyle T: E \ til F}
∀q∈Q∃s∈P∃VS>0∀v∈Eq(T(v))≤VS s(v) {\ displaystyle \ forall q \ i {\ mathcal {Q}} \ quad \ findes p \ i {\ mathcal {P}} \ quad \ findes C> 0 \ quad \ forall v \ i E \ quad q (T ( v)) \ leq C \ p (v) \}
Metrisability
Sætning - Lad E være et separat lokalt konveks rum , hvis topologi er defineret af en familie af semi-normer. Følgende betingelser er ækvivalente:
P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}
-
E er metrisk .
- Hvert punkt i E har et tælleligt grundlag for kvarterer.
- Topologien for E kan defineres ved en tællbar underfamilie af semi-normer.D⊂P{\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ subset {\ mathcal {P}}}
- Topologien for E kan defineres af en tællelig filtreringsfamilie af semi-normer.
- Topologien for E kan defineres af en afstands- invariant ved oversættelse.
Demonstration
Ækvivalensen mellem 1, 2 og 5 er et specielt tilfælde af Birkhoff-Kakutani-sætningen om topologiske grupper . Lad os vise, at 3 og 4 også svarer til 2.
- 2 ⇒ 3: det vil sige et grundlag for kvarterer på 0. Hver indeholder en kugle af formen , hvor og for en bestemt endelig del . Topologien, der er defineret af den tællbare underfamilie, er naturligvis mindre fin end E , men også finere ved konstruktion.(Vikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (V_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}Vikke{\ displaystyle V_ {n}}Bqikke(0,rikke){\ displaystyle B_ {q_ {n}} (0, r_ {n})}rikke>0{\ displaystyle r_ {n}> 0}qikke=makss∈Dikkes{\ displaystyle q_ {n} = \ max _ {p \ i {\ mathcal {D}} _ {n}} p}Dikke⊂P{\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {n} \ subset {\ mathcal {P}}}D=∪ikke∈IKKEDikke{\ displaystyle {\ mathcal {D}} = \ cup _ {n \ in \ mathbb {N}} D_ {n}}
- 3 ⇒ 4: er en serie af semi-standarder, der definerer E 's topologi . Ved at posere opnår vi en filtreringssekvens af semi-normer, der definerer den samme topologi.(sikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (p_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}qikke=maksk≤ikkesk{\ displaystyle q_ {n} = \ max _ {k \ leq n} p_ {k}}
- 4 ⇒ 2: lad være en filtreringssekvens af semi-normer, der definerer E 's topologi , så har hvert punkt x et tælleligt grundlag for kvarterer, af formen .(qikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (q_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}} V(x,ikke)={y∈E∣qikke(y-x)<2-ikke}{\ displaystyle V (x, n) = \ {y \ i E \ mid q_ {n} (yx) <2 ^ {- n} \}}
Analogerne til p <1 i mellemrummet Lp med p ≥ 1 kan måles med en uforanderlig afstand, men er ikke lokalt konvekse.
For enhver ikke-tømme åbne rummet af funktioner C ∞ med kompakt støtte af i er naturligt tilvejebragt med en lokalt konveks struktur, som kan ikke metrized.
Ω⊂Rikke{\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}D(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega)}Ω{\ displaystyle \ Omega}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Bemærk, at ethvert normerbart topologisk vektorrum er lokalt konveks og metrisk. Men det omvendte er ikke tilfældet: for eksempel Schwartz rum er Fréchet , især lokalt konvekse og metrizable, men nukleare og af uendelig dimension, derfor ikke-normable. Et andet eksempel på en lokalt konveks metrizable men ikke normable rum er R N .
Kolmogorovs normabilitetskriterium (1934) -
- Et lokalt konvekst rum er semi-normerbart, hvis og kun hvis det er lokalt afgrænset, dvs. hvis 0 har et afgrænset kvarter .
- Et topologisk vektorrum er derfor normerbart, hvis og kun hvis det er separat, lokalt konveks og lokalt afgrænset.
Fréchet plads
Et Fréchet-rum er et lokalt konvekst rum, der både er målbart og komplet i form af ensartede rum , eller mere simpelt: et lokalt konveks rum, der er fuldstændig målbart (dvs. hvis topologi er induceret af en fuldstændig afstand).
Noter og referencer
-
For et bevis ikke bruger Birkhoff-Kakutani sætning , se for eksempel Claude Wagschal , topologi og funktionel analyse , Hermann, coll. " Metoder ",1995.
-
(en) Eric Schechter (en) , Analysehåndbog og dens fundamenter , Academic Press ,1997( læs online ) , s. 724.
Relaterede artikler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">