I euklidisk geometri er en polygon (fra den græske polus , mange og gônia , vinkel ) en flad geometrisk figur dannet af en brudt linje (også kaldet en polygonal linje ) lukket, det vil sige en cyklisk sekvens af på hinanden følgende segmenter .
Segmenterne kaldes kanter eller sider, og enderne af siderne kaldes hjørner eller polygonens hjørner.
En polygon siges at være krydset, hvis mindst to ikke-på hinanden følgende sider krydser hinanden, og simpelt, hvis skæringspunktet mellem to sider er tomt eller reduceret til et toppunkt i to på hinanden følgende sider. Summen af vinklerne på en simpel polygon ( konveks eller ej) afhænger kun af antallet af hjørner.
I tilfælde af enkle polygoner forveksler vi ofte polygonet og dets indre ved at kalde polygonoverfladen afgrænset af den lukkede polygonale linje.
Begrebet polygon er generaliseret:
En polygon består:
En polygon betegnes generelt ved sammenstillingen af bogstaverne, der angiver hjørnerne, i nedenstående rækkefølge.
Betegnelsen af en polygon i al almindelighed er derfor skrevet A 1 A 2 A 3 ··· A n , der består af n vertices og n segmenter [A 1 , A 2 ], [A 2 , A 3 ],…, [ A n –1 , A n ] og [A n , A 1 ].
Hvert toppunkt, der adskiller sig fra sine to naboer, er forbundet med en indre vinkel : det er vinklen mellem de to sider, der ender ved toppunktet.
Den perimeter af en polygon er summen af længderne af dens sider.
Den rækkefølge af en polygon er antallet af dens sider. Det er naturligvis også antallet af dets hjørner eller antallet af dets vinkler.
Linjerne, der bærer siderne af en polygon, kaldes polygonens udvidede sider .
En diagonal af en polygon er et segment, der forbinder to ikke-fortløbende hjørner, det vil sige et segment, der forbinder to hjørner, og som ikke er en side af polygonen.
En polygon med n sider har således diagonaler.
Der er mange måder at klassificere polygoner på: i henhold til deres konveksitet , deres symmetrier , deres vinkler ... Men vi klassificerer dem først efter deres antal sider.
Polygoner kan klassificeres indbyrdes efter deres rækkefølge .
Polygoner i rækkefølge 1 og 2 siges at være degenererede: de svarer henholdsvis til et punkt og til et segment og har derfor især et nul- område .
Den mest basale ikke-degenererede polygon er trekanten .
Dernæst kommer firkantet af rækkefølge 4.
Fra rækkefølge 5 er hvert polygonnavn dannet af en græsk rod svarende til rækkefølgen af polygonen efterfulgt af suffikset -gone .
For at finde vej rundt navngivning af polygoner, skal det huskes, at -kai- betyder "og" på græsk , og at -conta- betyder "ti". For eksempel betyder ordet triacontakaiheptagon tre ( tria- ) tiere ( -conta- ) og ( -kai- ) syv ( -hepta- ) enheder, og svarer derfor til en polygon på syvogtredive sider, "og" fortolkes her ligesom " mere ".
Ud over 12 sider er skikken at tale om en polygon med n sider .
Der er dog adskillige gamle navne til "runde" tal, såsom en polygon med tyve sider (icosa-), hundrede sider (hekto-), tusind sider (chilio-) og ti tusinde sider (myria-).
Polygon betegnelserd'Alembert, Le Blond, L'Encyclopédie, 1. udg. , t. Bind 12,1751( læs på Wikisource ) , s. 941-943
Encyclopedia giver princippet, hvortil nummereringen af antikgræsk skal tilføjes.
De samme principper gælder for polyedre , hvor det er tilstrækkeligt at erstatte suffikset -gone med suffikset -èdre .
En polygon siges at være krydset, hvis mindst to af dens sider krydser hinanden , det vil sige, hvis mindst to af dens ikke-sammenhængende sider krydser hinanden. Dette er tilfældet med ABCDE- femkant overfor.
Enkel polygonEn polygon siges at være enkel, hvis to ikke-på hinanden følgende sider ikke mødes, og to på hinanden følgende sider kun har en af deres hjørner til fælles. En simpel polygon er altid krydset.
Derefter danner den en Jordan-kurve , der afgrænser en afgrænset del af flyet, kaldet dets indre . Det område af en simpel polygon kaldes området af dens indre.
Ikke-konveks polygonEn simpel polygon siges at være ikke-konveks, hvis dens indre ikke er konveks , med andre ord, hvis en af dens diagonaler ikke er helt i dens indre.
For eksempel er ACDBE-enkelt pentagon modsat ikke-konveks, fordi diagonalerne [B, C] og [C, E] ikke er inde i polygonen. Det åbne segment ] B, C [er endda helt udenfor. Eksistensen af en sådan "mund" er en generel egenskab ved enkle ikke-konvekse polygoner.
Konveks polygonEn polygon siges at være konveks, hvis den er enkel, og hvis dens indre er konveks . Således er MNOPQR- sekskanten modsat konveks.
De symmetrier en polygon af orden n er isometrier af den euklidiske plan som permutere både sine n knuder og dens n kanter. En sådan affin kort nødvendigvis løser den isobarycenter G af de hjørner kan derfor kun være af to typer:
Sættet med symmetrier af en hvilken som helst planfigur er en undergruppe af gruppen af plane isometrier. Når vi komponerer to af disse symmetrier, eller når vi tager den gensidige sammenkædning af en af dem, er resultatet stadig en symmetri af figuren.
Symmetrierne af en polygon af orden n danner endda en endelig gruppe , som er ens, for en eller anden divisor d af n :
En polygon af rækkefølge n siges at være regelmæssig, hvis den er ligesidig (lige sider) og ligevægt (lige vinkler), eller hvis den er "så symmetrisk som muligt", det vil sige, hvis dens symmetri-gruppe er Dn . Til dette er det tilstrækkeligt for polygonen at have n symmetriakser, ellers: en rotation af orden n . Når vi siger " den regelmæssige polygon af orden n ", er det den " unikke " konvekse polygon i denne familie (vi kan let beregne dens omkreds og dens areal ).De andre siges at være stjerne .
Nogle eksempler og modeksemplerSymmetri-gruppen er dihedral, hvis og kun hvis polygonen har en symmetriakse. Hvis polygonen ikke krydses , passerer en sådan akse nødvendigvis gennem et toppunkt eller midtpunktet på den ene side .
Mere præcist :
I en polygon af orden n , for isobarycenter at være et centrum for symmetri - dvs. for symmetri gruppe C d eller D d at indeholde rotationen af vinklen π - det er nødvendigt og tilstrækkeligt lad d være endnu, så n skal være jævn. De modsatte sider er derefter parallelle og af samme længde.
De ikke krydsede firkanter med central symmetri er parallelogrammerne.
En polygon siges at være ligevægt, når alle dens indre vinkler er ens. I en ækvivalent konveks polygon med n sider måler hver indre vinkel (1 - 2 / n ) × 180 ° (jf. § “Vinkelsummen” nedenfor ).
Nogle eksemplerEn ret trekant har en ret vinkel og to skarpe vinkler .
De konvekse firkanter med mindst to rette vinkler er de retvinklede trapezoider og drager med to rette vinkler (i) (består af to højre trekanter forbundet med deres hypotenus).
Firkanterne med mindst tre rette vinkler er rektanglerne.
En konveks polygon kan ikke have mere end fire rette vinkler.
En polygon siges at være skrivbar, når alle dens hjørner er på den samme cirkel , kaldet en cirkel, der er afgrænset til polygonen . Dens sider er derefter strenge af denne cirkel .
Blandt de skrivbare firkanter er ligebenede trapezoider , antiparallelogrammer og to-retvinklede drager .
Omskrivning af polygon (med en cirkel)En polygon siges at være omskrevet, når alle dens sider er tangent til den samme cirkel, kaldet en cirkel indskrevet i polygonen . Anglofoner og tysktalere har døbt denne type polygon "tangent polygon".
Eksempler på omskrivning af firkanterEn polygon, der er både ubeskrivelig og omskrevet, siges at være bicentrisk (in) . Trekanter og regelmæssige polygoner er bicentriske.
Se også: " Grand Theorem of Poncelet " og " Bicentric quadrilateral (in) ".
Summen af de indre vinkler af en simpel polygon af rækkefølge n afhænger ikke af dens form. Det er værd (i radianer og i grader ):
Faktisk er denne formel, velkendt for n = 3 , generaliseret ved at opdele polygonen i n - 2 trekanter sammenhængende to efter to med en fælles side, hvilket er en diagonal af denne polygon (i det særlige tilfælde af en konveks polygon er det er nok til at overveje alle segmenter, der forbinder et bestemt toppunkt til alle de andre).
En anden måde at demonstrere denne formel på er at bemærke, at (for passende orienterede vinkler ) er summen af de n ydre vinkler lig med 360 °, og de ydre og indre vinkler, der er knyttet til det samme toppunkt, har summen af 180 ° .
To polygoner siges at være ækvivalente, hvis de kan opnås ved rotation eller refleksion fra hinanden.
Således er der ikke-ækvivalente polygoner (fortsættelse A000940 af OEIS ).
Blandt dem er nogle chirale ( chirale polygoner til sider). Antallet af ikke-ækvivalente polygoner pr. Rotation er derfor værd (fortsættelse A000939 af OEIS ).