Masreliez's sætning

Den Masreliez teorem er en rekursiv algoritme meget udbredt i teknologi til estimering robust og Kalman filter udvidet, opkaldt efter dens forfatter, fysiker svensk-amerikanske , C. Johan Masreliez .

Sammenhæng

I inferentiel statistik er en estimator en værdi beregnet på en stikprøve, og hvilken man håber at være et godt skøn over den værdi, som man ville have beregnet på den samlede befolkning. Vi ønsker, at en estimator skal være upartisk, konvergent, effektiv og robust, her med robuste statistikker estimatorer, der ikke er for påvirket af små afvigelser fra modelantagelserne. Den tese af ph.d. Masreliez 1972 traktater "robuste estimat", og det kom med en estimator for en form for midten robust. Estimatoren retfærdiggør altid en maksimal varians for symmetriske sandsynlighedsfordelinger med en kendt procentdel af sandsynlighed i hver "hale" uafhængigt af, hvordan sandsynlighedsloven ellers så ud. Derefter udviklede han dette resultat såvel som den af hans robuste Kalman-type rekursive IIR filter (1975) som "en Gaussisk ufiltrering tilnærmelse med den lineære tilstandsligning og ligningen af 'lige lineær observation' .

Ansøgninger

Masreliez's sætning har siden fået flere anvendelser, for eksempel til at estimere den betingede gennemsnitlige præcision i ikke-Gaussiske observationssituationer. Teoremet bruges også inden for en lang række teknologiske områder ( radar , elektronisk vision, kommunikation ...). Dette er et hovedtema inden for automatisering og signalbehandling . Et eksempel på anvendelse kan være tilvejebringelse, på kontinuerlig basis, af information, såsom positionen eller hastigheden af et objekt fra en række observationer, der vedrører dets position, muligvis inklusive målefejl. En outlier er en observation, der er "langt" fra andre observationer. Tilstedeværelsen af en outlier kan f.eks. Betyde en sag, der ikke er en del af den befolkning, der undersøges, ellers en indtastnings- eller målefejl. Nogle outliers kan let identificeres med et modificeret Masreliez-sætning. Andre er:

Robotik
Automatisk pilot
Direkte neuralt interface
Datatilpasning i meteorologi og oceanografi
Satellitpositioneringssystem , såsom
- Globalt positionerings system

Beregningen

Masreliez's sætning er en rekursiv estimator . Dette betyder, at kun estimatet af den tidligere tilstand og aktuelle målinger er nødvendige for at estimere den aktuelle tilstand. Historiske observationer og skøn er derfor ikke påkrævet.

Objekterne i den matematiske beregning er estimatet (i. Score-funktion ) af gradienten af logaritmen for sandsynlighedsfunktionen : $\ psi$ ${\ displaystyle L (\ theta; X)}$

{\ displaystyle \ psi = {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ log L (\ theta; X) = {\ frac {1} {L (\ theta; X)}} {\ frac { \ partial L (\ theta; X)} {\ partial \ theta}}.}

en funktion af (parameteren, der skal evalueres) e (observationen). $\ theta$ $x$

Til at begynde med er tilstanden af Masreliez's sætning repræsenteret af to variabler:

${\ displaystyle {\ hat {\ textbf {x}}} _ {k | k}}$ , estimatet af tilstanden på tidspunktet k ;
${\ displaystyle {\ textbf {P}} _ {k | k}}$ The error kovariansmatrixen (et mål for præcisionen af den anslåede tilstand).

Teoremet har to forskellige faser: forudsigelse og opdatering . Forudsigelsesfasen bruger den estimerede tilstand fra det foregående øjeblik til at producere et skøn over den aktuelle tilstand. I opdateringstrinnet bruges observationer af den aktuelle tid til at korrigere den forudsagte tilstand for at opnå et mere præcist skøn. Evolutions- og observationsmodeller behøver ikke at være lineære tilstandsfunktioner, men kan i stedet være ( differentierbare ) funktioner.

{\ displaystyle {\ textbf {x}} _ {k} = f ({\ textbf {x}} _ {k-1}, {\ textbf {u}} _ {k}, {\ textbf {w}} _ {k})}

{\ displaystyle {\ textbf {z}} _ {k} = h ({\ textbf {x}} _ {k}, {\ textbf {v}} _ {k})}

Funktionen f kan bruges til at beregne den forudsagte tilstand fra den tidligere estimerede tilstand, og på lignende måde kan funktionen h bruges til at beregne den forudsagte observation af den forudsagte tilstand. Imidlertid kan f og h ikke anvendes direkte til beregning af kovarians: en delvis derivatmatrix, Jacobian , beregnes.

På hvert øjeblik evalueres Jacobian med de aktuelle estimerede tilstande. Disse matricer kan bruges i ligningen af sætningen. Denne proces lineariserer i det væsentlige den ikke-lineære funktion omkring det aktuelle estimat. Dette giver ligningerne:

Forudsigelse

{\ displaystyle {\ hat {\ textbf {x}}} _ {k | k-1} = f ({\ hat {\ textbf {x}}} _ {k-1 | k-1}, {\ textbf {u}} _ {k}, 0)}

(forudsagt tilstand)

{\ displaystyle {\ textbf {P}} _ {k | k-1} = {\ textbf {F}} _ {k} {\ textbf {P}} _ {k-1 | k-1} {\ textbf {F}} _ {k} ^ {T} + {\ textbf {Q}} _ {k}}

(forudsagt skøn over kovarians)

med

${\ displaystyle {\ textbf {F}} _ {k}}$ : matrix, der forbinder den tidligere tilstand med den aktuelle tilstand $k-1$ $k$
${\ displaystyle {\ textbf {u}} _ {k}}$ : kommandoindgang
${\ displaystyle {\ textbf {P}} _ {k | k-1}}$ : matrix til a priori estimering af fejlens kovarians
${\ displaystyle {\ textbf {Q}} _ {k}}$ : processtøjkovariansmatrix

Opdatering

{\ displaystyle {\ tilde {\ textbf {y}}} _ {k} = {\ textbf {z}} _ {k} -h ({\ hat {\ textbf {x}}} _ {k | k- 1}, 0)}

(innovation)

{\ displaystyle {\ textbf {S}} _ {k} = {\ textbf {H}} _ {k} {\ textbf {P}} _ {k | k-1} {\ textbf {H}} _ { k} ^ {T} + {\ textbf {R}} _ {k}}

(innovationskovarians)

{\ displaystyle {\ textbf {K}} _ {k} = {\ textbf {P}} _ {k | k-1} {\ textbf {H}} _ {k} ^ {T} {\ textbf {S }} _ {k} ^ {- 1}}

( optimal Kalman gevinst )

{\ displaystyle {\ hat {\ textbf {x}}} _ {k | k} = {\ hat {\ textbf {x}}} _ {k | k-1} + {\ textbf {K}} _ { k} {\ tilde {\ textbf {y}}} _ {k}}

(opdateret tilstand)

{\ displaystyle {\ textbf {P}} _ {k | k} = (I - {\ textbf {K}} _ {k} {\ textbf {H}} _ {k}) {\ textbf {P}} _ {k | k-1}}

(opdateret kovarians)

med

${\ displaystyle {\ textbf {z}} _ {k}}$ : observation eller måling af processen på tidspunktet k
${\ displaystyle {\ textbf {H}} _ {k}}$ : matrix, der forbinder staten til målingen ${\ textbf {x}} _ {k}$ ${\ displaystyle {\ textbf {z}} _ {k}}$
${\ textbf {P}} _ {k | k}$ : en posteriori estimationsmatrix for fejlens kovarians
${\ displaystyle {\ textbf {R}} _ {k}}$ : måling af støjkovariansmatrix
${JEG}$ : identitetsmatrix med passende dimensioner

hvor overgangs- og observation matrixer er defineret som følgende Jacobianter :

{\ displaystyle {\ textbf {F}} _ {k} = \ left. {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ textbf {x}}}} \ right | _ {{\ hat {\ textbf { x}}} _ {k-1 | k-1}, {\ textbf {u}} _ {k}}}

{\ displaystyle {\ textbf {H}} _ {k} = \ left. {\ frac {\ partial h} {\ partial {\ textbf {x}}}} \ right | _ {{\ hat {\ textbf { x}}} _ {k | k-1}}}

Konvergensen af denne sætning er på ingen måde garanteret, fordi den er en lokal konvergens.

Noter og referencer

(in) T. Cipra og A. Rubio, "Kalman-filter med et ikke-lineært ikke-Gaussisk observationsforhold" , Trabajos de Estadística , bind. 6, nr . 2, 1991, s. 111-119, DOI : 10.1007 / BF02873526 .
(i) CJ Masreliez, Robust estimering og rekursiv filtrering , ph.d.-afhandling , University of Washington , Seattle , i 1972.
(in) CJ Masreliez, "Omtrentlig ikke-Gaussisk filtrering med lineær tilstand og observationsrelationer", IEEE Trans. Auto. Kontrol , vol. 20, 1975, s. 107-110.
Akademisk søgning ,> 150 relevante citater.
Mehmet Ertu rul Çelebi og Ludwik Kurz, "Robuste lokalt optimale filtre: Kalman og Bayesian estimation theory", Informationsvidenskab , bind 92, nr . 1-4, juli 1996, s. 1-32.
Jo-anne Ting, Evangelos Theodorou og Stefan Schaal, "Et Kalman-filter til robust outlier-detektion", i International Conference on Intelligent Robots and Systems - IROS , 2007, s. 1514-1519.
Henri Pesonen; Robuste estimeringsteknikker til GNSS-positionering , NAV07-The Navigation Conference and Exhibition (2007), London.
(en) Bernhard Spangl et al. , Omtrentlig betinget gennemsnitlig filtrering af typen til statsrumsmodeller, Universität für Bodenkultur, Wien, 2008.

Se også

Relaterede artikler

Bibliografi

(en) Ricardo A. Maronna, R. Douglas Martin og Victor J. Yohai, Robust Statistics - Theory and Methods , Wiley, 2006 ( ISBN 978-0-470-01092-1 ) (side 273-4, 289)
(en) DR Cox og DV Hinkley, Teoretisk statistik , Chapman & Hall, 1974 ( ISBN 0-412-12420-3 )
(en) Mark J. Schervish, Theory of Statistics , New York, Springer, 1995 ( ISBN 0-387-94546-6 ) , afsnit 2.3.1 (score-funktioner)

eksterne links

(in) Brian Ripley , afbalanceret race i robust statistik
(en) Nick Fiellers kursusnotater om statistisk modellering og beregningsmateriale og regression robust.
( fr ) David Olives webstedskursus scorer i robuste statistikker.