Radon-Nikodym-Lebesgue sætning

Den sætning Radon - Nikodym - Lebesgue er et teorem af analyse , en gren af matematikken , som består af calculus og beslægtede områder.

Definitioner

Definitioner - Lad $ν være$ et positivt mål på og lad $ρ$ , $ρ være$ positive eller komplekse mål (en) på . $(X, {\ mathcal A})$ $(X, {\ mathcal A})$

Vi siger, at $ρ$ er absolut kontinuerlig i forhold til $ν$ , og vi betegner med $ρ ≪ ν$ , hvis vi for alle sådanne, at $ν$ $($ $A$ $) = 0$ , også har $ρ$ $($ $A$ $) = 0$ . $A \ i {\ mathcal A}$
Vi siger, at $ρ$ er båret af (eller koncentreret på $E$ ) hvis der for alle vi har $ρ$ $($ $A$ $) =$ $ρ$ $($ $A$ $\cap$ $E$ $)$ . (Dette svarer til antagelsen: for alle $ρ$ $($ $A$ $\$ $E$ $) = 0.$ ) ${\ displaystyle E \ in {\ mathcal {A}}}$ $A \ i {\ mathcal A}$ ${\ displaystyle A \ i {\ mathcal {A}},}$
Vi siger, at $ρ$ og $ρ$ er gensidigt ental (eller fremmed ), og vi betegner med $ρ ⊥$ $ρ$ , hvis der findes sådan, at $ρ$ bæres af $E,$ og $ρ$ bæres af $E$ $c$ . ${\ displaystyle E \ in {\ mathcal {A}}}$

Radon-Nikodym-Lebesgue sætning

Radon-Nikodym-Lebesgue teorem er et resultat af måling teori , men en demonstration involverer Hilbertrum blev givet af matematikeren John von Neumann i det tidlige XX th århundrede. Den lyder som følger:

Radon-Nikodym-Lebesgue sætning - Lad $ν være$ et positivt σ-endeligt mål på og $μ$ et positivt σ-endeligt (resp. Real, resp. Complex) mål på . $(X, {\ mathcal A})$ $(X, {\ mathcal A})$

Der findes et unikt par ( μ 1 , μ 2 ) af σ-endelige positive mål (resp. Real, resp. Complex) såsom:
- ${\ displaystyle \ mu = \ mu _ {1} + \ mu _ {2},}$
- ${\ displaystyle \ mu _ {1} \ ll \ nu,}$
- ${\ displaystyle \ mu _ {2} \ perp \ nu.}$

Denne nedbrydning kaldes Lebesgue-nedbrydning (en) af

μ

med hensyn til

v

Der findes en unik (med lighed $ν$ - næsten overalt ) positiv målbar funktion $h$ (hhv. $Ν$ -integrerbar reel, hhv. $Ν$ -integrerbar kompleks) sådan at vi for alle har: $A \ i {\ mathcal A}$ ${\ displaystyle \ mu _ {1} (A) = \ int _ {A} h ~ \ mathrm {d} \ nu = \ int _ {X} 1_ {A} h ~ \ mathrm {d} \ nu.}$ Denne funktion $h$ kaldes Radon-Nikodym-derivatet af $μ$ med hensyn til $v$ .

Tæthed af en foranstaltning

Definition - Lad $ν være$ et positivt σ-endeligt mål på og lad $ρ være$ et positivt σ-endeligt (resp. Real, resp. Kompleks) mål på Vi siger, at $ρ$ har en densitet $h$ med hensyn til $ν,$ hvis $h$ er en positiv målbar funktion (resp. $ν$ -real integrable, resp. $ν$ -integrerbart kompleks), således at vi for alle har: $(X, {\ mathcal A})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}).}$ $A \ i {\ mathcal A}$

{\ displaystyle \ rho (A) = \ int _ {A} h ~ \ mathrm {d} \ nu = \ int _ {X} 1_ {A} \, h ~ \ mathrm {d} \ nu.}

Vi bemærker det

{\ displaystyle h = {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} \ nu}}.}

Som en konsekvens af Radon-Nikodym sætningen har vi følgende egenskab:

Proposition - Lad $ν være$ et positivt σ-endeligt mål på og $μ$ et positivt σ-endeligt mål (resp. Real, resp. Complex) på Der er ækvivalens mellem: $(X, {\ mathcal A})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}).}$

${\ displaystyle \ mu \ ll \ nu,}$
$μ$ har en densitet i forhold til $ν$ .

Demonstration

Hvis det så klart er en nedbrydning af $μ, der$ tilfredsstiller Radon-Nikodym-sætningen, har $μ$ i kraft af den sidste del af sætningen $μ$ en tæthed i forhold til $v$ . Omvendt, lad $h$ betegne tætheden af $μ$ med hensyn til $v$ . Ja ${\ displaystyle \ mu \ l \ nu}$ ${\ displaystyle \ mu = \ mu +0}$

{\ displaystyle \ nu (A) = \ int _ {X} 1_ {A} ~ \ mathrm {d} \ nu = 0,}

så er nul $ν-$ næsten overalt. Det følger, at det er nul $ν -$ næsten overalt også, så $1_ {A}$ ${\ displaystyle 1_ {A} \, h}$

{\ displaystyle \ mu (A) = \ int _ {X} 1_ {A} \, h ~ \ mathrm {d} \ nu = 0.}

Den σ-endelighed hypotese er vigtigt: i forhold til optælling foranstaltning , en foranstaltning er altid absolut kontinuerlig men Lebesgue er på ℝ (for eksempel) ikke har nogen tæthed.

Sandsynlighedstæthed for en tilfældig vektor

Påmindelse -

Vi kalder sandsynlighedsdensiteten for en tilfældig variabel $X$ med værdier i ℝ d en målbar funktion $f$ , således at for enhver borelisk del $A$ ⊂ ℝ d : ${\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ i A) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ 1_ {A} (u) \, f (u) ~ \ mathrm {d} u = \ int _ {A} \ f (u) ~ \ mathrm {d} u.}$
Den sandsynlighed lov en tilfældig variabel med værdier i ℝ d er sandsynligheden foranstaltning defineres for enhver Borelian del $A$ ⊂ ℝ d , ved: $\ mathbb {P} _X$ $x$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X} (A) = \ mathbb {P} (X \ i A).}$
Hvis d = 1, kaldes $X$ en reel tilfældig variabel , eller var

I betragtning af definitionerne adskiller det sandsynlige sprog sig lidt fra målingsteoriens sprog. Der er ligevægt mellem de tre påstande:

En tilfældig variabel $Z$ med værdi i ℝ d har en sandsynlighedstæthed.
Foranstaltningen har en tæthed i forhold til Lebesgue-foranstaltningen på ℝ d . ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {Z}}$
Foranstaltningen er absolut kontinuerlig med hensyn til Lebesgue-foranstaltningen på d . ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {Z}}$

Det sidste punkt kan omskrives på sandsynligt sprog.

Kriterium - En tilfældig variabel $Z$ med værdier i ℝ d har en sandsynlighedstæthed, hvis og kun hvis vi for hver Borelian $A$ på ℝ d, hvis Lebesgue-mål er nul, har:

{\ mathbb {P}} \ venstre (Z \ i A \ højre) = 0.

Dette kriterium bruges sjældent i praksis for at vise, at $Z$ har en tæthed, men det er på den anden side nyttigt at vise, at visse sandsynligheder er nul. For eksempel, hvis den tilfældige vektor $Z = ( X , Y )$ har densitet, så:

${\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (X = Y \ right) = 0,}$
${\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (X ^ {2} + Y ^ {2} = 1 \ right) = 0,}$

fordi Lebesgue-målingen (med andre ord arealet) af den første bisector (hhv. enhedskredsen) er nul.

Mere generelt er Lebesgue-målingen af grafen for en målbar funktion φ nul, det følger heraf:

${\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (Y = \ varphi (X) \ right) = 0.}$

Ligeledes er der mange eksempler, hvor vi på grund af det faktum, at sættet har et Lebesgue-mål på nul, kan konkludere, at: ${\ displaystyle \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mid \ psi (x, y) = 0 \ right \}}$

${\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ psi (X, Y) = 0 \ right) = 0.}$

Radon-Nikodym-kriteriet kan også bruges til at demonstrere, at en tilfældig vektor ikke har tæthed, for eksempel hvis:

Z = \ venstre (\ cos \ Theta, \ sin \ Theta \ højre),

hvor $Θ$ betegner en tilfældig variabel i henhold til den ensartede lov på $[0, 2π]$ , så har $Z$ ikke en tæthed, fordi:

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (X ^ {2} + Y ^ {2} -1 = 0 \ right) = 1.}

Bemærk - I tilfælde af d = 1 har en tilfældig variabel $Z$ med værdier i a en sandsynlighedstæthed, hvis og kun hvis dens fordelingsfunktion er lokalt absolut kontinuerlig.

Bedømmelse og reference

Se for eksempel Walter Rudin , Real og kompleks analyse [ detaljer af udgaver ] for flere detaljer.

Bibliografi

(en) Leo Egghe, Stop Time Techniques for Analysts and Probabilists , coll. "London Mathematical Society Lecture Note Series",1984, 351 s. ( ISBN 978-0-521-31715-3 , læs online )
(en) Gerald Folland (en) , Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications , John Wiley & Sons ,2013, 2 nd ed. ( læs online )
(en) J. von Neumann, " On rings of operators, III " , Ann. Matematik. , Vol. 41, n o 1,1940, s. 94-161 ( læs online ) (jf. s. 127-130)
Otton Nikodym, " Om en generalisering af integralerne i MJ Radon ", Fund. Mast. , Vol. 15,1930, s. 131-179 ( zbMATH 56.0922.02 , læs online )
(de) J. Radon, “ Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen ” , Sitz. Kais. Akad. Wiss. Wien , matematik. - Naturwiss. Kl. IIa, vol. 122,1913, s. 1295-1438