Matematikhistorie

Den matematikkens historie spænder over flere årtusinder og spændvidder mange dele af verden fra Kina til Mellemamerika . Indtil XVII th  århundrede , udvikling af viden matematik sker hovedsagelig i siloer i forskellige dele af verden . Fra XIX th og især i XX th  århundrede , den overflod af forskning og globalisering af viden fører til en temmelig skære denne historie er baseret på matematiske områder .

Forhistorie

Den knogle af Ishango går tilbage over 20.000 år er generelt citeret for at være den tidligste tegn på viden om prime primtal og multiplikation, men denne fortolkning er fortsat genstand for diskussion. Det siges, at de megalitter i Egypten i V th årtusinde f.Kr. eller England i III th årtusinde ville inkorporere geometriske ideer såsom cirkler , de ellipser og pythagoræiske tal . I 2.600 før vores æra vidner egyptiske konstruktioner om en empirisk og teknisk viden om geometri, uden at det dog er muligt at bekræfte, at disse konstruktioner blev udtænkt ved den metodiske brug af matematik.

Disse spørgsmål har ført til et forskningsfelt kaldet etnomatematik , der ligger ved grænsen mellem antropologi, etnologi og matematik, og som blandt andet har til formål at forstå den progressive udvikling af matematik i de første civilisationer fra objekter, instrumenter, malerier, og andre dokumenter fundet.

Fra Sumer til Babylon

Begyndelsen af ​​skrivningen tilskrives generelt Sumer i bassinet i Tigris og Eufrat eller Mesopotamien . Denne skrivning, kendt som kileskrift , stammer fra behovet for at organisere kunstvanding og handel. Sammen med fødslen af ​​skrivning blev den første utilitaristiske matematik (økonomi, overfladeberegninger) født. Det første numeriske system vises: det seksagesimale system . I næsten to tusind år vil matematik udvikle sig i regionen Sumer, Akkad og derefter Babylon . Tabletterne fra denne periode består af digitale tabeller og brugsanvisninger. Således ved Nippur (hundrede km fra Bagdad ), blev opdaget i XIX th  århundrede skole tabletter fra perioden palæo-babyloniske (2000 f.Kr.).. Så vi ved, at de kendte de fire operationer, men har deltaget i mere komplekse beregninger med meget høj præcision, såsom algoritmer for ekstraktion af kvadratrødder , terningsrødder , opløsningen af kvadratiske ligninger . Da de foretog divisionerne ved at multiplicere med det omvendte, spillede de inverse tabeller en stor rolle. Vi fandt nogle med inverser for tal med seks kønssimale cifre, hvilket indikerer en meget høj præcision. Der er også fundet tabletter, hvor der vises lister over heltal kvadrater, lister over terninger og en liste, der ofte fortolkes som Pythagoras tredobler, hvilket tyder på, at de kendte egenskaberne til rigtige trekanter mere end 1000 år før Pythagoras. Der er også fundet tabletter, der beskriver algoritmer til løsning af komplekse problemer.

De var i stand til at bruge lineære interpolationer til beregninger af mellemværdier, der ikke er vist i deres tabeller. Den rigeste periode for disse matematik er tidspunktet for Hammurabi ( XVIII th  århundrede  f.Kr.. ). Omkring 1000 f.Kr. J. - C., man observerer en udvikling af beregningen mod matematisk astronomi .

Egypten

De bedste kilder til matematiske viden i det gamle Egypten er det Rhind Papyrus ( Second Intermediate Periode , XX th  århundrede), der udvikler mange geometri problemer og Moskva Matematisk Papyrus (1850 f.Kr.. ) Og rulle læder. Til disse dokumenter tilføjes tre andre papyri og to trætabletter; manglen på dokumenter tillader ikke bevis for denne viden. Egypterne brugte matematik primært til beregning af lønninger, styring af afgrøder, beregning af areal og volumen og i deres kunstvandings- og byggearbejde (se egyptiske videnskaber ). De brugte et ekstra nummerskrivningssystem ( egyptisk tal ). De var fortrolige med alle fire operationer, var fortrolige med brøkregning (kun baseret på inverser af naturlige tal) og var i stand til at løse første grads ligninger ved hjælp af den falske positionsmetode . De brugte en fraktioneret tilnærmelse af π . Ligningerne er ikke nedskrevet, men de understøtter de givne forklaringer.

Kina

Den ældste vigtigste kilde til vores viden om kinesiske matematik kommer fra manuskriptet Jiǔzhāng suanshu eller De ni kapitler om den matematiske kunst , dateret jeg st  århundrede , men sandsynligvis ældste gruppering resultater. Vi opdager, at kineserne havde udviklet deres egne beregnings- og demonstrationsmetoder: aritmetik , fraktioner , udtrækning af firkantede og kubiske rødder , metode til beregning af diskens areal , pyramidevolumen og metode til drejning af Gauss . Deres udvikling af beregningsmæssige algoritmer er bemærkelsesværdigt moderne. Men på knogler af får og okser finder vi også graveringer, der viser, at de brugte et decimalsystem ( kinesisk tal ). De er også oprindelsen af kulramme, der hjælper dem med at beregne. Kinesisk matematik før vores æra er primært orienteret mod utilitaristiske beregninger. De udvikler rent mellem jeg st og VII th  århundrede e.Kr.. AD og mellem X- th og XIII th  århundrede .

Præ-colombianske civilisationer

Den maya civilisation strækker sig fra 2600 f.Kr.. AD indtil 1500 AD. AD med en top i den klassiske periode af III th  århundrede den IX th  århundrede . Matematik er hovedsageligt numerisk og vender sig mod kalenderberegning og astronomi. Mayaerne bruge en basis tyve positionelle nummereringssystem ( Mayan nummerering ). Maya kilder stammer hovedsageligt codex (skrevet omkring XIII th  århundrede ). Men langt størstedelen af ​​disse blev ødelagt af inkvisitionen, og kun fire kodekser ( Dresden , Paris , Madrid og Grolier ) er tilbage i dag , hvoraf den sidste kan være en forfalskning.

Inka-civilisationen (1400-1530) udviklede et positioneringsnummereringssystem i base 10 (svarende til det, der anvendes i dag). De vidste ikke, hvordan de skulle skrive, og de brugte quipus til at "skrive" statsstatistikker. En quipu er en reb, hvis reb har tre typer knuder, der symboliserer henholdsvis enheden, de ti og hundrede. Et arrangement af knuder på en streng giver et tal mellem 1 og 999; tilføjelsen af ​​strenge, der tillader at gå til tusind, til million osv.

Indien

Den civilisation af Indus-dalen udviklet et væsentligt praktisk anvendelse af matematik: decimal system af mål og vægt og regelmæssighed af proportioner i fremstillingen af mursten. De ældste skrevne kilder vedrørende indisk matematik er Śulba-Sūtras (fra 800 f.Kr. til 200 f.Kr. ). Disse er religiøse tekster skrevet på sanskrit, der regulerer størrelsen på offeralterne. Den matematik, der præsenteres der, er i det væsentlige geometrisk og uden demonstration. Det vides ikke, om dette er den eneste matematiske aktivitet på dette tidspunkt eller kun sporene af en mere generel aktivitet. Indianerne kendte sætningen til Pythagoras , vidste, hvordan man på en nøjagtig måde konstruerede kvadratet af et rektangel (konstruktion af et kvadrat i det samme område) og på en omtrentlig måde det for cirklen. Vi ser også brøkdelte tilnærmelser af π og kvadratroden af ​​to vises . Mod slutningen af ​​denne periode ser vi de ni cifre i decimalsystemet sættes på plads .

Så skal du vente tiden Jain ( V th  århundrede e.Kr.. ) For at se fødslen af nye matematiske tekster. Matematikerne fra denne tid begynder en refleksion over uendelighed , udvikler beregninger på tal med formen x 1/2 n, som de kalder første kvadratrod, anden kvadratrod, tredje kvadratrod. Fra denne periode dateres Aryabhata (499), opkaldt efter dens forfatter, skrevet på sanskrit og vers og afhandlinger om astronomi og matematik af Brahmagupta (598-670). I den første er der volumen- og arealberegninger, sinusberegninger, der giver værdien af ​​halvakkordet understøttet af en bue, serien af heltal, kvadrater af heltal, terninger af heltal. Meget af denne matematik er orienteret mod astronomi. Men der er også beregninger af gæld og kvitteringer, hvor vi ser de første regler for addition og subtraktion på negative tal . Men det er Brahmagupta, at vi skylder driftsreglerne på nul som tal og tegnreglen.

Det gamle Grækenland

I modsætning til egyptisk og mesopotamisk matematik kendt fra bemærkelsesværdigt velbevarede gamle papyri- eller lerplader, er græsk matematik ikke kommet ned til os takket være arkæologiske beviser. Vi kender dem takket være kopier, oversættelser og kommentarer fra deres efterfølgere.

Den store nyhed ved græsk matematik er, at den forlader nytteområdet for at komme ind i abstraktionens. Matematik bliver en gren af filosofien . Fra det filosofiske argument opstår den matematiske argumentation. Det er ikke længere nok at ansøge, det er nødvendigt at bevise og overbevise: dette er fødslen til demonstrationen . Det andet aspekt af denne nye matematik vedrører deres genstand for at studere. I stedet for at arbejde på metoder, studerer matematik objekter, ufuldkomne repræsentationer af perfekte objekter, arbejder vi ikke på en cirkel, men på ideen om en cirkel.

De store figurer i denne nye matematik er Thales ( -625 - -547 ), Pythagoras ( -580 - -490 ) og Pythagoras skole , Hippokrates ( -470 - -410 ) og Chios skole , Eudoxus fra Cnidus ( -408 - -355 ) og skolen til Cnidus , Theaetetus i Athen ( -415 - -369 ) derefter Euclid .

Det er sandsynligt, at denne græske matematikskole var påvirket af mesopotamiske og egyptiske bidrag. Således ville Thales have rejst til Egypten, og han kunne have bragt viden om geometri tilbage til Grækenland. Han arbejdede på ligebenede trekanter og trekanter indskrevet i en cirkel .

Ifølge den pythagoreanske skole er "alt tal". De to foretrukne studieretninger er aritmetik og geometri . Søgen efter perfekte objekter førte til, at grækerne oprindeligt kun accepterede de rationelle tal, der blev materialiseret ved forestillingen om målbare længder  : to længder er værdifulde, hvis der er en enhed, hvor disse to længder er hele. Manglen på dette valg materialiseret ved irrationaliteten af kvadratroden af ​​to får dem til kun at acceptere tal, der er konstruerbare med en lineal og et kompas. De kommer derefter op mod de tre problemer, der vil krydse historien: kvadrering af cirklen , trisektion af vinklen og duplikering af terningen . I aritmetik satte de op for begrebet lige , ulige , perfekt og figurativt tal .

Denne idealisering af tal og bekymringen om at relatere dem til geometriske overvejelser er sandsynligvis knyttet til det ret upraktiske græske talesystem : hvis systemet er decimal, er det additivt og egner sig derfor ikke let til numeriske beregninger. I geometri studerer de regelmæssige polygoner med en forkærlighed for den almindelige femkant .

Hippokrates fra Chios, der søger at løse det problem, der er oprettet af Pythagoras, opdager firkantet af lunulerne og perfektionerer demonstrationsprincippet ved at introducere forestillingen om tilsvarende problemer.

Eudoxus af Cnidus arbejder på teorien om proportioner og accepterer således at manipulere forhold mellem irrationelle tal. Han er sandsynligvis begyndelsen på formaliseringen af udtømningsmetoden til beregning ved successive tilnærmelser til arealer og volumener.

Théétète arbejder på regelmæssig polyhedra .

Den vigtigste syntese af græsk matematik kommer fra elementerne i euklid . Geometriske objekter skal defineres: de er ikke længere ufuldkomne objekter, men den perfekte ide om objekter. I sine Elements lancerer Euclid den første formalisering af matematisk tanke. Det definerer geometriske objekter (linjer, cirkler, vinkler), det definerer rum ved en række aksiomer, det demonstrerer ved implikation de egenskaber, der følger af det, og danner den formelle forbindelse mellem antal og længde. Denne bog vil forblive i det europæiske universitet matematik pensum indtil XIX th  århundrede .

Efter Euclid kaster andre store navne lys på græsk matematik. Archimedes, der perfektionerede metoderne til Eudoxus og Apollonius af Perga, hvis afhandling om koniske betragtes som en klassiker af græsk geometri.

I slutningen af ​​antikken er matematik repræsenteret af Alexandria- skolen .

Diophantus vil studere de såkaldte Diophantine-ligninger og vil blive kaldt " algebraens far  ".

Islamisk civilisation

I perioden fra 800 til 1500 e.Kr. AD , det er i de regioner, der erobres af muslimerne, at matematik udvikler sig mest. Det arabiske sprog bliver det erobrede landes officielle sprog. En stor indsats for samlinger og kommentarer af tekster foretages. På den ene side på græsk matematik, på den anden side på indisk og kinesisk matematik, som deres kommercielle relationer giver dem mulighed for at kende, vil muslimske matematikere væsentligt berige matematik og udvikle embryoet til, hvad der bliver algebra , sprede det indiske decimalsystem med tal forkert kaldet arabertal og udvikle beregningsmetoder algoritmer . Blandt de mange muslimske matematikere kan vi nævne den persiske Al-Khwarizmi og hans arbejde al-jabr . Vi er vidne til en vigtig udvikling inden for astronomi og trigonometri .

Vest

I middelalderen

Mens matematik stagnere og endda tilbageskridt i Vesten på tidspunktet for de højmiddelalderen ( V E  -  X th  århundrede), de oplever et løft fra X th  århundrede Gerbert af Aurillac (938-1003) (Monk Benediktiner der ville blive pave under navnet Sylvester II ), der efter et ophold i klostret Vic i Catalonien indførte arabiske tal. Musikens rolle var vigtig i middelalderen for udvidelse af nummerfeltet. Det var i middelalderen, at anvendelsen af ​​algebra til handel bragte den nuværende brug af irrationelle tal mod øst, en anvendelse, som derefter blev sendt til Europa. Det var også i middelalderen, men i Europa, at der for første gang blev accepteret negative løsninger i problemer.

Under den europæiske renæssance

Fra XII th  århundrede 's virksomhed i Italien en oversættelse af arabiske tekster og dermed genopdagelsen af græske tekster. Toledo , et tidligere kulturcenter i det muslimske Spanien , blev efter Reconquista et af de vigtigste oversættelsescentre takket være arbejdet fra intellektuelle som Gérard de Cremona og Adélard de Bath .

Det økonomiske og kommercielle boom, som Europa oplevede på det tidspunkt, med åbningen af ​​nye handelsruter især til det muslimske øst, gjorde det også muligt for kommercielle kredse at gøre sig bekendt med de teknikker, der blev transmitteret af araberne. Således bidrog Leonardo fra Pisa med sin Liber abaci i 1202 i høj grad til genopdagelsen af ​​matematik i Europa. Sideløbende med udviklingen af videnskab, fokuserer matematisk aktivitet i Tyskland, Italien og Polen i XIV th  århundrede og XV th  århundrede . Vi er vidne til en vigtig udvikling af den italienske skole med Scipione del Ferro , Tartaglia , Cardan , Ferrari , Bombelli , skole primært fokuseret på at løse ligninger. Denne tendens er stærkt knyttet til udviklingen i italienske byer af undervisning i matematik, ikke længere med et rent teoretisk formål, som det kunne være i Quadrivium, men til praktiske formål, især for købmænd. Denne undervisning er diffunderet i botteghe d 'abbaco eller "skolerne i abacuses", hvor maestri underviser i aritmetiske, geometri og beregningsmetoder til fremtidige købmænd gennem rekreative problemer, kendt takket være adskillige "afhandlinger af abbaque". At disse mestre forlod os.

Det fulgte Scipione del Ferros arbejde, taget op af Tartaglia, og udgivet af Cardan i ligningen af ​​grad 3, at komplekse tal blev introduceret. De finder en første formalisering i Rafaele Bombelli. Ferrari løser ligningerne i den fjerde grad.

Indtil slutningen af det XVI th  århundrede , problemløsning, dog stadig retorik. Den algebraiske beregning vises i 1591 med offentliggørelsen af Isagoge af Francois Vieta med introduktionen af ​​specifikke notationer for konstanter og variabler (arbejde populariseret og beriget af Harriot , Fermat og Descartes vil ændre fuldstændigt algebraisk arbejde i Europa).

Den XVII th  århundrede

Matematik fokuserer på fysiske og tekniske aspekter. Oprettet uafhængigt af Isaac Newton og Gottfried Wilhelm Leibniz , bringer calculus matematik ind i analysen ( afledt , integreret , differentialligning ).

I oktober 1623 , Galileo offentliggjort et værk om kometer, Il saggiatore , hvori han erklærede mathematization af fysik:

"Filosofi er skrevet i denne enorme bog, som altid holdes åben for vores øjne, jeg mener universet, men vi kan ikke forstå det, hvis vi ikke først anvender os til at forstå sproget og at kende de tegn, som det er skrevet i. Det er skrevet på det matematiske sprog, og dets tegn er trekanter, cirkler og andre geometriske figurer uden de midler, det er menneskeligt umuligt at forstå et ord. "

Ud over heliocentrisme opstår der med Galileo en stor mental revolution, som er matematiseringen af ​​naturen, det vil sige ideen om, at sproget i naturbogen er matematikens sprog .

I 1637 , i Afhandling om metode , Descartes udtrykte sin smag for matematik under sine studier ved Collège de la Flèche, og annoncerede deres fremtidige udvikling:

”Jeg kunne godt lide matematik frem for alt på grund af deres årsags sikkerhed og åbenhed: men jeg bemærkede endnu ikke deres reelle brug; og da jeg tænkte, at de kun blev brugt til den mekaniske kunst, blev jeg forbløffet over, at deres fundament var så fast og så solidt, at der ikke var bygget noget mere ophøjet på dem. "

Den XVIII th  århundrede

Universet matematik i det tidlige XVIII th  århundrede er domineret af tallet Leonhard Euler og hans bidrag både på funktioner talteori, mens Joseph Louis Lagrange lyser i anden halvdel af dette århundrede.

Det foregående århundrede havde set etableringen af ​​den uendelige beregning, der banede vejen for udviklingen af ​​et nyt matematisk felt: algebraisk analyse, hvor der ud over klassiske algebraiske operationer tilføjes to nye operationer, differentiering og integration. ( Introductio in analysin infinitorum - Euler, 1748). Infinitesimal calculus udvikler sig og anvendes på fysiske domæner ( mekanik , himmelmekanik , optik , vibrerende strenge ) såvel som på geometriske domæner (undersøgelse af kurver og overflader). Leonhard Euler forsøger i Calculi differentialis (1755) og Institutiones calculi integralis (1770) at udvikle reglerne for brug af uendeligt lille og udvikler metoder til integration og opløsning af differentialligninger. Jean le Rond d'Alembert derefter Joseph-Louis Lagrange fulgte trop. I 1797, Sylvestre François Lacroix udgiver traktaten calculus , som er en syntese af det analytiske arbejde XVIII th  århundrede. Bernoulli- familien bidrager til udviklingen af ​​løsningen af differentialligninger .

Funktionen bliver et studieobjekt i sig selv. Det bruges i optimeringsproblemer. Vi udvikler det i hele eller asymptotiske serier ( Taylor , Stirling , Euler, Maclaurin , Lagrange), men uden at bekymre os om deres konvergens. Leonhard Euler udvikler en klassificering af funktioner. Vi prøver at anvende dem på negative realer eller på komplekser.

Den grundlæggende sætning af algebra (eksistensen af ​​muligvis komplekse rødder til ethvert polynom), der har været i form af en formodning i to århundreder, fremsættes i brugen af nedbrydning af fraktioner i enkle elementer, der er nødvendige for den integrale beregning. Efterfølgende forsøger Euler (1749), Chevalier de Foncenex (1759) og Lagrange (1771) algebraiske beviser, men møder den transcendente del af problemet (hvilket som helst polynom med ulige grad over ℝ har en reel rod), som kræver brug af sætningen af ​​mellemliggende værdier. D'Alemberts demonstration, offentliggjort i 1746 i akademiet i Berlin, er den mest komplette, men præsenterer stadig nogle huller og uklarheder. Gauss i 1799, der kritiserer d'Alembert på disse punkter, er ikke fritaget for de samme beskyldninger. På et tidspunkt er vi nødt til at bringe et stærkt analytisk resultat, som århundredet aldrig har set. Derudover er hindringen placeret i spørgsmålet om forgreningspunkter: vi finder her et spørgsmål, der allerede er diskuteret under kontroversen om logaritmerne om negative tal, som Euler vil beslutte. Den anden og tredje demo Gauss lider ikke disse bebrejdelser, men det er ikke længere det XVIII th  århundrede ...

I aritmetik beviser Euler Fermats lille sætning og giver en version udvidet til sammensatte numre (1736-1760). Det annullerer Fermats formodning om primaliteten af ​​tal i formen 2 2 n + 1 ( Fermat-nummer ). Han er interesseret i fordelingen af ​​primtal og beviser, at serien med inverser af primtal er divergerende. Den formodninger af Bachet (helst antal er summen af fire kvadrater ovenfor) demonstreres ved Lagrange i 1770. Det var også i 1771 Lagrange demonstrere sætningen Wilson (hvis p er et primtal, den deler ( p - 1) + 1). Han udvikler nedbrydningsteknikken i fortsatte fraktioner og demonstrerer uendelighed af løsninger til Pell-Fermat ligningen . Legendre offentliggjorde i 1798 sin Theory of Numbers, som samlede et stort antal aritmetiske resultater. Den lov kvadratisk gensidighed conjectured af Euler og Legendre vil ikke blive demonstreret indtil det følgende århundrede.

I løbet af dette århundrede fortsatte matematikere med at være interesseret i ligningernes algebraiske løsninger. Det første systematiske essay om løsning af algebraiske ligninger var Tschirnhauss arbejde i 1683. Euler selv, i to essays, gik ikke ud over sin forgænger, og i 1762 introducerede Étienne Bézout forestillingen om roden til l 'enhed. Mellem 1770 og 1772 kan vi nævne tre store og mere originale erindringer: Waring , Alexandre-Théophile Vandermonde (1771) om opløsningen af ​​radikaler i ligningerne x n - 1 = 0 ( cyklotomligning ), som er en forløber i brugen af ​​permutationer af rødderne og Lagrange (1770), der samler alle de allerede forsøgte opløsningsmetoder, men vil introducere opløsningerne fra Lagrange og demonstrere sætningen på et sprog, hvor begrebet gruppe endnu ikke eksisterer af Lagrange: rækkefølgen af ​​en undergruppe af en endelig gruppe opdeler gruppens rækkefølge. Disse sidste to matematikere fremhæver vigtigheden af ​​rødder og deres permutationer, men det var først i det følgende århundrede, at begrebet en gruppe permutationer blev født .

Analytisk geometri udvikler sig og strækker sig fra studiet af kurver til overfladerne. Euler studerer den generelle kvadratiske ligning med tre variabler og præsenterer en klassificering af løsninger. Alexis Clairaut studerer venstre kurver (1729). Gabriel Cramer offentliggjorde i 1750 en afhandling om algebraiske kurver . Den store figur af det 18. århundredes geometri forbliver Gaspard Monge  : han udviklede differentieret geometri med studiet af tangenter og skabte en ny disciplin: beskrivende geometri . Leonhard Euler udvikler trigonometrisk beregning, sætter formlerne til beregning af sfærisk geometri og erstatter cirkulære funktioner i det generelle sæt funktioner, udvikler dem i hele serier eller i uendelige produkter og opdager et forhold mellem cirkulære funktioner og dem.

I århundredet optrådte nogle logikteoretikere. Leonhard Euler udvikler en metode til figureret repræsentation af syllogistiske deduktioner (Euler-diagram), Jean-Henri Lambert arbejder på logikken i relationer.

Det er også århundredet, der angriber de første eksempler på, hvad der bliver teorien om grafer. Euler løser i 1736 problemet med de syv Königsberg-broer og i 1766 angiver sætningen om Eulerian-kredsløb: en tilsluttet graf tillader en Eulerian-kæde, hvis og kun hvis antallet af dens hjørner af ulige grad er 0 eller 2. Det er ' angreb rytterproblemet i 1759, men offentliggjorde ikke noget før i 1766. Dette er et specielt tilfælde af Hamilton-grafer. Rytterproblemet har været kendt i meget lang tid. Omkring 840 gav al-Adli ar-Rumi en løsning. Den kashmiriske digter Rudrata talte også om det i sin Kavyalankara .

Men århundredet er også frugtbart i formodninger, der vil forblive gåder i mere end et århundrede: problemet med Goldbach , problemet med Waring ...

I århundredet arbejdede Legendre også i årevis på de elliptiske integraler. Desværre for ham, selvom han er beundring af Euler i dette område, ville løsningen af ​​spørgsmålet undslippe ham til fordel for Abel.

Den XVIII th  århundrede er, at den Encyclopedia , hvor Jean le Rond d'Alembert lavet en opgørelse over matematik i dette århundrede.

Japan

I Edo-perioden (1603 - 1868) udviklede en matematik i Japan sig uden indflydelse fra vestlig matematik, men inspireret af kinesisk matematik, der arbejdede på problemer med geometrisk essens. Geometriske gåder placeres og løses på trætavler kaldet Sangaku .

For eksempel opfandt matematikeren Kowa Seki omkring 1680 metoden til konvergensacceleration kaldet Delta-2 og tilskrev Alexander Aitken, der genopdagede den i 1926 og populariserede den.

XIX th  århundrede

Den matematiske historie det XIX th  århundrede er rig. For rig til, at alle værkerne i dette århundrede bliver dækket af et essay af rimelig størrelse. Vi bør derfor fra denne del kun forvente de fremtrædende punkter i dette århundredes arbejde.

Den XIX th  århundrede begyndte at dukke flere nye teorier og opfyldelsen af det udførte arbejde i det forrige århundrede. Århundret er domineret af spørgsmålet om strenghed. Dette manifesterer sig i analyse med Cauchy og summeringen af ​​serien. Det vises igen om geometri. Det ophører ikke med at manifestere sig i funktionsteori og især på basis af differentieret og integreret beregning til det punkt at se fuldstændigt forsvinde disse uendeligt små, som alligevel havde gjort det forrige århundredes lykke. Men endnu mere markerer århundredet afslutningen på matematisk amatørisme: indtil da var matematik hovedsageligt et par individs arbejde, der var tilstrækkeligt heldige til enten at studere sig selv eller at opretholde et par genier. I det XIX th  århundrede , det hele ender: Matematikere bliver funktionærer fagfolk. Antallet af disse fagfolk fortsætter med at vokse, og med dette antal får matematik en betydning, der aldrig er nået, som om hele samfundet endelig blev opmærksom på det formidable værktøj. Applikationerne, der er spiret i det foregående århundrede, udvikler sig hurtigt på alle områder, hvilket tyder på, at videnskaben kan gøre hvad som helst. Desuden er visse succeser der for at vidne om det. Har vi ikke kun opdaget en ny planet ved beregning? Har vi ikke forklaret oprettelsen af ​​solsystemet? Fysikfeltet, en eksperimentel videnskab par excellence, er fuldstændig invaderet af matematik: varme, elektricitet, magnetisme, væskemekanik, materialemodstand og elasticitet, kemisk kinetik er til gengæld matematisk i det punkt, at det gode gamle kabinet af nysgerrighed i XVIII E  århundredes afslutning erstattes af en tavle. Og det videnskabelige felt udvides igen og igen. Bestemt, siges det, at næsten hverdagskost af XVIII th  århundrede, at matematik er snart afsluttet, og at det vil "lukke minen," i stedet begynder at drømme maskine Leibniz, der ville opfylde alle spørgsmål. Vi går endda så langt som at kvantificere tilfældighed eller usikkerhed, bare for at berolige os selv. Cournot ønsker at anvende beregningen af ​​sandsynligheder i retlige sager for at nå frem til denne forbløffende og hvor betryggende konklusion, at der er mindre end to procent af retslige fejl! Matematik kryber ind i materiens intime struktur: adskillige teorier om lys og begyndelsen til Lorentz's relativitetsteori, som fuldender Maxwells elektromagnetiske teori. Tendensen til stringens, påbegyndt i det tidlige XIX th  århundrede, vil se sin afslutning i begyndelsen af det XX th  århundrede ved afhøring af mange på forhånd.

• Joseph-Louis Lagrange

• Augustin Louis Cauchy

• Carl Friedrich Gauss

• Bernhard Riemann

• Pierre-Simon de Laplace

• William Rowan Hamilton

• Gottlob Frege

Matematik tidsskrifter

• Det eksisterede fra slutningen af XVII th  århundrede få akademier, der blev offentliggjort deres arbejde og årlige oversigter. Derudover havde nogle få aviser blomstret, såsom Acta Eruditorum redigeret af Otto Mencke i Leipzig eller Petersborg-kommentarerne berømt af Euler. Men disse tidsskrifter eller anmeldelser var ikke specialiserede i matematik og indeholdt afhandlinger om filosofi, historie, botanik såvel som matematik. I begyndelsen af XIX E vises tidsskrifter, der specialiserer sig i offentliggørelse af matematik. Redaktionen af disse tidsskrifter er Ferussac (for den generelle og Universal Bulletin for Meddelelser og videnskabelig News ), Gergonne (for Annals of Pure and Applied Mathematics ), Crelle (for Journal für die Reine und Angewandte Mathematik ), Liouville (for Journal for Ren og Anvendt Matematik ) for at give kun fire før 1840. De snart vil blive efterfulgt af en lang række andre tidsskrifter, der hver noget berømte universitet kan lide at finansiere, såsom som Mittag-Leffler s Acta Mathematica i 1882.

Mekanisk

• Newtons mekanik driver sin revolution. Brug Maupertuis' (variationsregning) princippet om mindst mulig indsats , Lagrange hedder første ordens betingelser for optimalitet at Euler findes i alle almenhed og dermed finder ligninger mekanik, der bærer hans navn. Derefter udtrykker Hamilton i Lagrange's fodspor de samme ligninger i en tilsvarende form. De bærer også hans navn. Den nye teori om Riemann-rum vil gøre det muligt at generalisere dem bekvemt.
• Delaunay laver i en ekstraordinær beregning en uovertruffen teori om månen. Faye udtrykte sig således ved sin begravelse (1872): "Enormt arbejde, som den mest kompetente anså for umulig for ham, og hvor vi beundrer både enkelheden i metoden og kraften i applikationen". Han besluttede at gøre det math til 7 th  ordre, hvor hans forgængere (Clairauts, Poisson, Lubbock ...) havde stoppet den 5 th .
• Le Verrier anvender Newtons teori på uregelmæssighederne i Uranus, som Herschel lige har opdaget , formoder, at der findes en stadig ukendt planet ( Neptun ), hvis position og masse han bestemmer ved at beregne forstyrrelser.
• Bevægelsen af ​​et fast stof omkring et fast punkt indrømmer tre algebraiske primære integraler og en sidste multiplikator svarende til 1. Problemet med formel integration ved kvadratur af bevægelse kræver en fjerde primærintegral. Dette var blevet opdaget i et bestemt tilfælde af Euler. Spørgsmålet er taget op af Lagrange, Poisson og Poinsot . Lagrange og Poisson opdager et nyt tilfælde, hvor denne fjerde integral er algebraisk.
• De to sager, nu klassiske, af Euler-Poinsot-bevægelsen og Lagrange-Poisson-bevægelsen blev afsluttet i 1888 af en ny sag opdaget af Sofia Kovalevskaïa . Poincaré havde vist, at der ikke kunne være et nyt tilfælde, hvis inerti ellipsoiden vedrørende suspensionen ikke er revolution.
• Mach angiver et princip, der vil være centralt i motivationen til Einsteins relativitet.
• På trods af dets succeser vil mekanikere have svært ved at finde i uddannelsen et sted, som matematik ikke ønsker at afstå fra, og Flaubert vil være i stand til at præsentere som en modtaget idé om, at det er en "lavere del af matematik" .

Matematisk fysik

Euler, hvis arbejde er begyndt at blive offentliggjort (planlagt over halvtreds år!), Havde allerede tacklet mange områder: akustik, optik, materialemodstand, fluidmekanik, elasticitet, men disse områder var stadig ved at komme frem. Det er Fourier , hvis første afhandling afvises af Academy of Sciences i Paris, der er den første til at angribe teorien om varme ved hjælp af, hvad der bliver Fourier-serien . Omkring samme tid, i 1820'erne, beskæftiger Fresnel sig med optik såvel som Bessel, der vil introducere Bessels funktioner . Væskemekanik, som næsten var på det tidspunkt, Euler og d'Alembert efterlod , scenen med perfekte væsker, gjorde fremskridt med Henri Navier og George Gabriel Stokes, der angreb ukomprimerbare og derefter komprimerbare væsker og introducerede viskositet. Elektricitet debuterede under indflydelse af Gauss, Ohm , Biot , Savart og Ampère, men det er frem for alt Maxwells geni, der vil omfatte teorien i en af ​​århundredets smukkeste teorier., Elektromagnetisk teori, der hævder at forene alle værkerne om elektricitet, optik og magnetisme. I materiel modstand er fremskridt mere beskedent. Vi kan især nævne Barré de Saint-Venant , Yvon Villarceau , Aimé-Henry Résal og hans søn Jean Résal, men det var først i det følgende århundrede, at elasticiteten gjorde afgørende fremskridt, især da mange ejendomme stadig er ukendte. Konkret og endnu mere armeret beton. Mod slutningen af ​​århundredet ved vi nok om det til, at nogle kan påbegynde monumentale stålpræstationer, såsom Eiffel .

Talteori

Tre store problemer vil belyse århundredet: loven om kvadratisk gensidighed , fordelingen af ​​primtal og Fermats sidste sætning . Den XIX th  århundrede tilbud betydelige fremskridt på disse tre spørgsmål gennem udvikling af en sand teori om aritmetiske tage navn eller nummer teori og er baseret på abstrakte og avancerede værktøjer.

• Ved fuldstændig at ignorere Eulers arbejde, der blev offentliggjort i 1784 om loven om kvadratisk gensidighed, fandt Legendre (1785) og Gauss (1796) det ved induktion. Gauss ender med at give en lang komplet demonstration af det i sine aritmetiske undersøgelser . Demonstrationen er forenklet i løbet af XIX th  århundrede, for eksempel ved Zeller i 1852, når det kun to sider. Loven om kvadratisk gensidighed er lovet en lys fremtid af forskellige generaliseringer.
• Eisenstein demonstrerer loven om kubisk gensidighed .
• Siden 1798 har Legendre arbejdet med sin teori om tal. Han har netop (i 1808) demonstreret sætningen om sjældenhed af primtal og foreslået en tilnærmet formel for π ( x ) , antallet af primtal mindre end x . Hans forskning fik ham til at genoverveje Eratosthenes sigte. Den formel, han opnår, er det første element i en metode, der får sin fulde betydning i det næste århundrede, sigte-metoden . Efterfølgende i 1830, kort før hans død, lavede han en formodning, ifølge hvilken mellem n 2 og ( n + 1) 2 findes mindst et primtal. Denne formodning forbliver uprøvet.
• Eulers bevis for uendelighed af primtal tal inspirerer Lejeune-Dirichlet, der demonstrerer en Legendre-formodning: der findes en uendelighed af primtal i enhver aritmetisk rækkefølge af formen a + b, hvis a og b er primære for hinanden. Til dette opfinder han forestillingen om aritmetisk karakter og Dirichlet-serien .
• Legendres formodning om fordelingen af ​​primtal tal understøttes af Gauss og er genstand for Tchebychevs arbejde i 1850. Han demonstrerer en indramning af π ( x ) i overensstemmelse med formodningen, og han demonstrerer Bertrands postulat om, at der findes et primtal mellem n og 2 n . Men Legendres formodning blev først demonstreret af 1896 af Hadamard og La Vallée Poussin uafhængigt.
• Det vigtigste resultat er det 1859 Riemann hukommelse som stadig mindet om det XIX th  århundrede oftest citerede. Riemann studerer i denne afhandling “Riemann” -funktionen ζ . Denne funktion introduceret af Euler i hans undersøgelse af Mengoli-problemet udvides til komplekse værdier af s med undtagelse af 1, som er en pol af rest 1 (Dirichlets sætning). Riemann angiver formodningen, kaldet Riemann-hypotesen , om at alle ikke-reelle nuller har en reel del lig med 1/2. Riemanns demonstrationer er for det meste kun sketchy. De demonstreres fuldt ud, bortset fra Riemann-formodningen, af Hadamard og von Mangoldt efter 1892.
• Fermats sidste sætning, som allerede havde besat Euler i det forrige århundrede, er genstand for ny forskning fra Dirichlet og Legendre ( n = 5), Dirichlet ( n = 14), Lamé ( n = 7), demonstration forenklet af Lebesgue. Kummer viser, at Fermats sidste sætning gælder for almindelige primtal i 1849. Der er uregelmæssige primtal i et uendeligt antal.
• Mertens demonstrerer mange resultater på aritmetiske funktioner , især Möbius-funktionen . I 1897 fremsatte han en formodning, der gjorde det muligt at demonstrere Riemann-hypotesen. I sin stærke form vil den blive tilbagevist af Odlyzko og te Riele i 1985. Den svage form forbliver en gåde.

Logik

• George Boole starter i arbejde, der vil føre til boolsk algebra , symbolsk logik og sætteori ved at ønske at demonstrere Guds eksistens . Beregningen af ​​propositioner blev født. Augustus De Morgan angiver de love, der bærer hans navn. Logik kommer bestemt ud af filosofien.
• Frege lægger grundlaget for formel logik og Cantor for sætteori . Ingen af ​​dem forstås af mange matematikere, og de giver anledning til stor bekymring. Spørgsmålet om fundamentet stilles. Det vil kun være delvist løses sent i XX th  århundrede . Paradokser påpeger allerede, som for Burali-Forti , for Russell , for Richard eller for Berry .

Geometri

• Århundredet begynder med opfindelsen af ​​beskrivende geometri af Gaspard Monge .
• Delaunay klassificerede revolutionære overflader med konstant middel krumning, som i dag bærer hans navn: Delaunay overflade.
• Arving til tidligere århundreder, århundredet vil se opløsningen af ​​de store græske problemer benægtende. Den trisection af vinklen med linealen og kompasset er generelt umuligt. Det er det samme for kvadrering af cirklen og duplikering af terningen . Med hensyn til den firkantede cirkel, det XVIII th  århundrede viste, at π er irrationel. Liouville definere transcendental numre i 1844, baner vejen for studiet af den transcendentale hvis to monumenter af XIX th  århundrede forblive teoremer af Hermite (1872) på det transcendentale e og Lindemann (1881) til at af π , hvilket gør det umuligt at kvadratur cirkel med linealen og kompasset. Det er i slutningen af ​​århundredet, at formodningen kommer frem, som det følgende århundrede vil demonstrere i Gelfond-Schneider-sætningen , at a og exp ( a ) ikke kan være samtidig algebraisk.
• Den anden arv vedrører Euclids postulat . Problemet var faktisk næsten løst af Saccheri, men han havde ikke set, at han var tæt på målet. Gauss 'arbejde på overflader får János Bolyai og Nikolaï Lobachevski til at sætte spørgsmålstegn ved postulatet af paralleller. De opfinder derfor en ny geometri, hvor postulatet ikke længere er sandt, en ikke-euklidisk geometri, som Poincaré vil give en model for. Efter dem vil Riemann tilbyde en ny ikke-euklidisk løsning, før sættet danner teorien om Riemann-rum, som vil give det følgende århundrede en ramme for teorien om generaliseret relativitet.
• Ved at generalisere opfattelsen af ​​rum og afstand lykkes det Ludwig Schläfli at bestemme det nøjagtige antal regelmæssige polyhedre i henhold til rumets dimension.
• Felix Klein annoncerer Erlangen-programmet .
• David Hilbert foreslår en komplet aksiomatik af euklidisk geometri ved at forklare axiomer implicit i euklid.

Algebra

• Repræsentationen af ​​komplekser havde optaget mange mennesker: fra Henri Dominique Truel (1786), Caspar Wessel (1797) gennem Jean-Robert Argand (1806), CV Mourey (1828) til Giusto Bellavitis (1832). Hamilton , inspireret af denne repræsentation af komplekser i a + ib, søger at generalisere kroppen af ​​komplekser. Han opdager det ikke-commutative felt af kvaternioner og derefter Cayley opdager oktavioner. Hamilton vil bruge en stor del af sit liv på at foreslå anvendelser af sine kvaternioner.
• Grassmann udviklede i 1844 i Die lineare Ausdehnungslehre en ny vej til matematik og grundlagde, hvad der ville blive teorien om vektorrum .
• Hamilton demonstrerede i 1853, hvad der ville blive Cayley-Hamilton-sætningen for dimension 4 om det omvendte af en kvaternion. Det var Cayley, i 1857, der generaliserede resultatet, men kun demonstrerede det i dimension 2. Frobenius , i 1878, gav den første generelle demonstration.
• Resultaterne af Galois og Kummer viser, at et stort fremskridt inden for algebraisk talteori kræver forståelse af subtile strukturer: ringene til algebraiske heltal, der ligger til grund for algebraiske udvidelser. Det mindst komplekse tilfælde er det med begrænsede og abeliske algebraiske udvidelser. Det virker simpelt, resultatet svarer til de strukturer, som Gauss havde undersøgt i begyndelsen af ​​århundredet for at løse problemerne med antikviteterne med konstruktionen med linealen og kompasset: de cyklotomiske udvidelser forbundet med polynomierne med samme navn. Det tog dog 50 år og tre store navne i algebra at overvinde det i slutningen af ​​århundredet: Kronecker , Weber og Hilbert . Det åbner døren til studiet af generelle abeliske algebraiske udvidelser, det vil sige ufærdige. Hilbert åbner vejen for dette kapitel i matematik, som repræsenterer en af ​​de smukkeste udfordringer i det næste århundrede, teorien om klasselegemer. I det sidste år af århundredet, i 1900, var Richard Dedekind interesseret i en generel teori om sæt, der var knyttet sammen af ​​relationer. Ved at opfinde begrebet dualgroup har han netop taget det første skridt i den generelle teori om strukturer.
• Killing og Elie Cartan begynder undersøgelsen af ​​løgnegrupper og algebraer. Teorien om rodsystemer er født.

Sandsynlighed og statistik

• Legendre i 1805 1811 introducerede Gauss i 1809, om astronomiske problemer, metoden med mindste kvadrater , et sæt metoder, der ville blive grundlæggende i statistikker .
• Pierre-Simon de Laplace bragte analyse ind i sandsynlighedsteorien i sin analytiske sandsynlighedsteori fra 1812, som vil forblive et monument i lang tid. Hans bog giver en første version af den centrale grænsesætning, som derefter kun gælder for en variabel med to tilstande, for eksempel hoveder eller haler, men ikke en 6-sidet matrice. Det var først i 1901, at den første generelle version dukkede op af Liapunov. Det er også i denne afhandling, at Laplace's metode vises til den asymptotiske evaluering af visse integraler.
• Under fremdrift af Quetelet , der i 1841 åbnede det første statistiske kontor, det Højere Statistiske Råd, udviklede statistikker sig og blev et fuldt udbygget matematikfelt, som var baseret på sandsynlighed, men ikke længere var en del af det.
• Moderne sandsynlighedsteori startede først virkelig med begrebet måling og målbare sæt, som Émile Borel introducerede i 1897.

Grafteori

• Teorien, som vi allerede har sagt, blev startet af Euler i sin løsning på problemet med de syv Königsberg-broer . Det får en ny drejning, unik for vores tid, når vi pludselig er interesserede i knudepunkter i begyndelsen af ​​atommodeller.
• Spørgsmålet om kartografi er et gammelt problem, som delvist var blevet løst ved forskellige projiceringsmetoder. I spørgsmålet om den mest respektfulde repræsentation af topografi havde spørgsmålet fået ny interesse af Riemanns konforme kortlægningssætning og de holomorfe funktioner, som vi ved for at bevare vinkler, hvor afledte ikke forekommer. Ikke annullere. Vanen med kartografer, der farvelægger, siger, at forskellige farver havde vist, at fire farver var tilstrækkelige. Denne meget gamle observation førte til, i 1852, at Francis Guthrie angav formodningen om de fire farver . Det tog mere end tyve år for Cayley at interessere sig for det. En advokat, Alfred Kempe , foreslog i 1879 en demonstration ved reduktion, men at Percy John Heawood afviste i 1890 ved en modeksempel, der ugyldiggjorde processen med farvning af Kempe. Imidlertid viste Kempes forsøg, at det kromatiske antal af sfæren højst var 5. Det var først meget senere, at den fire-farvede formodning ville blive demonstreret.

Virkelig analyse

• Ved slutningen af det XVIII th  århundrede, lave matematik involverer skrive ligheder, til tider lidt tvivlsomt, men det chokerer læseren. Lacroix tøver for eksempel ikke med at skrive1-1+1-1+...=12{\ displaystyle 1-1 + 1-1 + ... = {\ dfrac {1} {2}}}under den eneste begrundelse for Taylor-seriens udvidelse på 1 / (1 + x). Matematikere mener stadig i kort tid, at den uendelige sum af kontinuerlige funktioner er kontinuerlig, og (i længere tid), at enhver kontinuerlig funktion indrømmer et derivat ...
• Det er Cauchy, der lægger en smule orden på alt dette ved at vise, at en numerisk serie kun er kommuterende konvergent , hvis den er absolut konvergent . Men Cauchy, der imidlertid kun er en finger væk fra forestillingen om ensartet konvergens, udtaler en falsk sætning om kontinuitet i en række kontinuerlige funktioner, som Abel modsiger ved et modeksempel af 16. januar 1826.
• Det er stadig Cauchy der nægter at overveje summen af divergerende serie, i modsætning til matematikere XVIII th  århundrede , som Lacroix er en af arvingerne.
• Gudermann brugte i 1838 for første gang forestillingen om ensartet konvergens . I 1847 definerede Stokes og Seidel forestillingen om en serie, der konvergerer så langsomt som vi vil , et begreb svarende til ensartet konvergens. Men deres tænkning er ikke moden. Weierstrass giver en definition af ensartet konvergens i 1841 i en artikel, der først vil blive offentliggjort i 1894. Det er op til Cauchy at give den første klare definition af begrebet (uden ensartet betegnelse) i 1853. Weierstrass vil på sin side efterfølgende give de klassiske sætninger om kontinuitet, afledelighed, integrerbarhed af serier af kontinuerlige funktioner i hans foredrag fra 1861.
• Bolzano viser det første princip, implicit i forfatterne til XVIII th  århundrede, en kontinuerlig funktion, der tager forskellige tegn værdier i et interval annullerer det, der baner vej for topologien af mellemværdisætningen.
• Karl Weierstrass var den første til at give definitionen af ​​grænsen for en funktion, en forestilling lidt vag indtil da med hensyn til “  ε, η  ”. Begrebet en øvre grænse, opfundet af Cauchy, forklares tydeligt af Du Bois-Reymond.
• I 1869 var Charles Méray , professor ved University of Dijon, den første til at give en streng konstruktion af reelle tal ved ækvivalensklasser af Cauchy-sekvenser af rationelle tal. Georg Cantor vil give en analog konstruktion af ℝ. Karl Weierstrass konstruerer ℝ ud fra begrebet "aggregater", mens Richard Dedekind skaber ℝ ud fra tanken om at skære rationalsættet.
• Vi må næsten vente til midten af ​​århundredet, før vi endelig interesserer os for uligheder. Chebyschev er i sin elementære demonstration af Bertrands postulat en af ​​de første til at bruge dem.
• Lidt tidligere demonstrerer Bessel og Parseval ved at beskæftige sig med trigonometriske serier, hvad vi kalder i dag Bessel-Parseval uligheder.
• Den store anvendelse af trigonometriske serier forbliver Fouriers varmeteori , selvom sidstnævnte ikke demonstrerer konvergensen af ​​den serie, han bruger. Det var først i slutningen af ​​århundredet, at spørgsmålet virkelig blev afklaret af Fejér .
• Poincaré deltager i Konkurrencen af ​​Sverige om løsningerne på problemet med de tre organer . I Stockholms erindringsbog (1889) giver han det første eksempel på en kaotisk situation . Det udtrykkes som følger:

"En meget lille sag, som undslipper os, bestemmer en betydelig effekt, som vi ikke undlader at se, og så siger vi, at denne effekt skyldes tilfældigheder." Hvis vi vidste nøjagtigt naturlove og universets situation i det indledende øjeblik, kunne vi nøjagtigt forudsige situationen for det samme univers på et senere tidspunkt ”

• Det var kun med beklagelse, at den divergerende serie blev opgivet i begyndelsen af ​​århundredet under ledelse af Cauchy og med et i det væsentlige strengt mål. Den divergerende serie dukkede op igen i slutningen af ​​århundredet. I nogle tilfælde er det et spørgsmål om at give et beløb til sådanne serier. Cesàros summeringsproces er en af ​​de første. Borel giver sin, mere sofistikerede. Dette vil hurtigt blive en stor genstand for undersøgelse, at XX th  århundrede vil strække sig.

Kompleks analyse

• Teorien om funktioner af kompleks variabel, den store emne af alle XIX th  århundrede , er rodfæstet i arbejdet i Cauchy , skønt glimt af Poisson. Cauchy definerer begrebet stiintegral. Han formår således at angive restsætningen og de vigtigste egenskaber ved "Cauchy" -integralet og især Cauchy-integralformlen .
• Han retfærdiggør således udviklingen i Taylor-serien og finder koefficienternes integrerede formel ved at differentiere under tegnet ∫. Det demonstrerer de "Cauchy" uligheder, der vil blive brugt intenst, især i teorien om differentialligninger.
• Cauchy offentliggjorde efterfølgende en række anvendelser af sin teori i træningsbøger, især til evaluering af reelle integraler, som han ikke tøvede med at generalisere til det, der i dag kaldes hovedværdien. De Cauchy , lidt mindre end et århundrede før Jacques Hadamard havde brug for det i sin opløsning af delvise differentialligninger af de endelige dele af Hadamard  (in), og Laurent Schwartz kom ikke til distributionerne.
• Teorien om analytiske funktioner udvikler sig hurtigt. Cauchy definerer radius af konvergens for en hel serie fra den formel, som Hadamard fuldt ud forklarede i sin afhandling, efter du Bois-Reymonds arbejde, der gav en klar definition af den øvre grænse.
• Dette gør det muligt for Liouville at demonstrere sin sætning og udlede deraf et nyt og elementært bevis for D'Alembert-Gauss sætning, at det havde været så svært at demonstrere i det foregående århundrede.
• Da Cauchy døde, var fakkelen allerede gået til Riemann (sætning om konform anvendelse, Riemanns integral, der erstatter Cauchys opfattelse ...) og Weierstrass, der ville afklare forestillingen om essentiel ental og analytisk forlængelse (skønt Émile Borel senere viste, at nogle af forestillinger om "mester" var forkerte). Cauchys "integrerede" synspunkt fortsættes i den franske skole, mens "seriens" synspunkt, udviklet af Weierstrass, udvikler sig uafhængigt og vil føre til opfattelsen af ​​analytiske funktioner med flere variabler, hvor Riemann forsøger at skabe forbindelsen mellem disse to opfattelser.
• Cauchys teori kommer lige i tide til endelig at løse spørgsmålet om elliptiske integraler, en teori begyndt af Legendre i det forrige århundrede. Det var Abel, der havde ideen om at vende elliptiske integraler og således opdagede de elliptiske funktioner, som vi skyndte os at studere. Den meget smukke teori om elliptiske funktioner er endeligt afsluttet, når vises afhandlingen af Briot og Bouquet , teori om elliptiske funktioner, 2 nd  edition, 1875 og afhandlingen af Georges Henri Halphen i fire bind, afbrudt af ophavsmandens død.
• Det sværeste resultat af teorien forbliver Picards sætning, som tydeliggør Weierstrass 's sætning . Den første demonstration med den modulære funktion blev hurtigt forenklet af Émile Borel i slutningen af ​​århundredet.
• Århundredet var også meget optaget af teorien om differentialligninger og især af teorien om potentiale for harmoniske funktioner. Fuchs studerer singulariteterne af løsninger til lineære almindelige differentialligninger. Émile Picard opdager processen med at integrere differentialligninger ved induktion, hvilket gør det muligt at bevise eksistensen og unikheden af ​​løsninger. Dette vil føre til studiet af integrerede ligninger ( Ivar Fredholm , Vito Volterra ...).
• Selvom det blev initieret af Laplace og brugt sporadisk af andre i løbet af århundredet, udføres opløsningen af ​​differentialligninger af en engelsk elektriker, Oliver Heaviside , uden yderligere begrundelse, idet afledningsoperatøren betragtes som en algebraisk mængde, der er angivet p. Laplace transformation teori blev født. Men det vil kun blive fuldt ud begrundet med arbejdet fra Lerch , Carson , Bromwich , Wagner , Mellin og mange andre i det følgende århundrede. Gabriel Oltramare vil også give en "generaliseringsberegning" baseret på en relateret idé.
• Émile Borel begynder studiet af heltalsfunktioner og definerer begrebet eksponentiel rækkefølge for en hel funktion . Dens mål er at belyse opførslen af ​​modulet til en heltalsfunktion og især at vise forbindelsen mellem det maksimale modul af f på cirklen med radius R og koefficienterne i Taylor-serien af ​​F. Darboux viser, at koefficienterne af Taylor er skrevet i form af singulariteter. Andre, som Méray , Leau , Fabry , Lindelöf , studerer placeringen af entalpunkter på konvergenscirklen eller den analytiske udvidelse af Taylor-serien .
• Poincaré definerer og studerer automorfe funktioner fra hyperbolske geometrier. Han overlader sit navn til en repræsentation ved et halvt plan af hyperbolsk geometri.
• Schwarz og Christoffel opdager den konforme transformation, der bærer deres navne. Det vil blive brugt intensivt det følgende århundrede af computerressourcer (Driscoll for eksempel).
• Apotheosen nås ved beviset for primtalsætningen i 1896 af Hadamard og La Vallée Poussin uafhængigt af hinanden.

Outlook

Men allerede århundredet er gået, og på den internationale matematikmøde, der afholdes i år 1900 i Paris, præsenterer David Hilbert en liste over 23 uafklarede problemer af primær betydning for det følgende århundrede. Disse spørgsmål dækker en stor del af matematik og vil spille en vigtig rolle i matematisk historie XX th  århundrede .

Århundredets bøger

Dette afsnit giver et sæt bøger af største betydning, enten for deres historisk vigtige indhold eller for den syntese, de udgør på et givet felt. Den valgte rækkefølge er alfabetisk efter forfatterens navn.

• (de) Paul Bachmann , Zahlentheorie , 5 tom, 1892 Tom 1 Tom 2 Tom 3 Tom 4 Tom 5
• János Bolyai , The Absolute Science of Space , 1868
• Charles Briot og Jean-Claude Bouquet , Teori om elliptiske funktioner , 1875
• Augustin Cauchy , Det Analyse Kursus af Royal Institute of Technology: 1 st  del: Algebraisk Analysis 1821
• Michel Chasles
  • Euclids tre bøger med porismer , 1860
  • Afhandling om overlegen geometri , 1852
  • Afhandling om koniske sektioner, efterfulgt af afhandling om superior geometri , 1865
• Gaston Darboux , lektioner om den generelle teori om overflader og de geometriske anvendelser af den uendelige kalkulator , 4 bind, 1887-1896, bind 2 bind 3 bind 4
• Paul David Gustave du Bois-Reymond , Die Allgemeine Functionentheorie , 1882, Generel funktionsteori , 1887
• Joseph Fourier , Analytical Heatory , 1822
• (de) Gottlob Frege , Die Grundlagen der Arithmetik , 1884, Fundamentet for aritmetik
• Évariste Galois , Matematiske værker , 1846
• (la) Carl Friedrich Gauss , Disquisitiones arithmeticae , 1801, Aritmetisk forskning på wikisource , 1807.
• Goursat, Lessons on the Integration of Second Order Partial Differential Equations , 2 volumes, 1896-1898, Volume 1 Volume 2
• (de) Hermann Günther Grassmann , Die lineare Ausdehnungslehre , 1844, La science de la grandeur omfattende
• Georges Henri Halphen , afhandling om elliptiske funktioner og deres anvendelser , 3 bind, 1886-1891, bind 1 bind 2 bind 3
• (en) William Rowan Hamilton , Forelæsning om kvaternioner , 1853
• (fra) David Hilbert , Grundlagen der Geometrie , 1899, The Fundamentals of Geometry , 1900
• Camille jordan
  • Afhandling om substitutioner og algebraiske ligninger , 1870
  • Analyseforløb for École Polytechnique , 1882-1883, 3 bind. Volumen 1 Volumen 2 Volumen 3
• (de) Felix Klein , Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade ( Forelæsninger om icosahedron og løsninger fra ligningen i femte grad ), 1888
• Joseph-Louis Lagrange , lektioner om funktionsberegning , 1806
• Pierre-Simon de Laplace
  • Afhandling om himmelmekanik , 1798-1825
  • Analytisk sandsynlighedsteori , 1812
• Adrien-Marie Legendre
  • Afhandling om elliptiske funktioner og Eulerianske integraler , 2 bind, 1825-1826
  • Elementer af geometri , et værk, der erstatter Euclids elementer .
  • Talteori , 1830
• Alexandre Liapunov , Generelt problem med stabilitet og bevægelse , 1892-1893
• (af) Nikolai Ivanovich Lobachevsky , Pangeometrie
• James Clerk Maxwell , Afhandling om elektricitet og magnetisme , 2 bind, 1885-1887
• Charles Méray , nye lektioner om uendelig minimal analyse og dens geometriske anvendelser , 1894-1895
• (de) August Ferdinand Möbius , Der barycentrische Calcul , 1827
• Gaspard Monge , beskrivende geometri , år 7 = 1799
• Paul Painlevé , lektioner om den analytiske teori om differentialligninger , 1897
• Émile Picard , Afhandling om analyse , 3 bind, 1892-1896
• Jean-Victor Poncelet , Afhandling om figurers projektive egenskaber , 2 bind, 1822
• Joseph-Alfred Serret , Course of Superior Algebra , 2 bind, 1877
• Jules Garveri og Jules Molk , Elementer af teorien om elliptiske funktioner , 3 bind, 1893-1898
• Félix Tisserand , Afhandling om himmelsk mekanik , 4 bind, 1889-1894
• (de) Heinrich Weber , Lehrbuch der Algebra , 2 bind, 1898-1899

XX th  århundrede

Den XX th  århundrede har været en overordentlig produktiv århundrede matematisk. Tre vigtige sætninger vises: på den ene side Gödel's sætning  ; på den anden side beviset for Shimura-Taniyama-Weil-formodningen, der førte til beviset for Fermats sidste sætning; endelig demonstrationen af Weils formodninger af Pierre Deligne , disse sidste to resulterer i konsekvenser af vigtige innovationer inden for algebraisk geometri på grund af Grothendieck. Nye forskningsfelter blev født eller voksede: de dynamiske systemer efter Poincare 's arbejde , sandsynlighederne , topologien , den differentielle geometri , logikken , den algebraiske geometri , efter Grothendiecks arbejde ...

Det matematiske samfund eksploderer

• Forretningen matematiker har virkelig begyndt at professionalisere slutningen af det XIX th  århundrede . Takket være globaliseringen af ​​viden, fremskridtene inden for transport og derefter elektroniske kommunikationsmidler er matematisk forskning ikke længere lokaliseret i et land eller et kontinent. Siden slutningen af det XIX th  århundrede, utallige konferencer, kongresser, seminarer, stå i et støt tempo eller årligt.
• Bortset fra to kongresser blev afholdt i det XIX th  århundrede blev enogtyve internationale matematik kongres afholdt i XX th  århundrede , næsten hvert fjerde år på trods af de afbrydelser på grund af verdenskrige.
• Computerens fremkomst ændrede matematikernes arbejdsvilkår markant siden 1980'erne.
• Den matematiske udvikling er eksploderet siden 1900. I det XIX th  århundrede , anslås det, at omkring 900 erindringer offentliggøres hvert år. I øjeblikket mere end 15.000. Antallet af matematikere er således steget fra et par hundrede eller tusinder til mere end en og en halv million på mindre end et århundrede .
• Vi forsvarede 292 statlige matematikopgaver mellem 1810 og 1901 i Frankrig. Ved slutningen af det XX th  århundrede , antallet af årlige teser.

Algebra

Leonard Eugene Dickson begynder den systematiske undersøgelse af endelige felter og opnår den første klassificering af kommutative endelige felter . Strukturen af ​​den tilknyttede ring af polynomer er forklaret der. I 1905 demonstrerede han med Joseph Wedderburn , at der ikke er noget, der hedder et ikke-kommuterende endeligt felt.

Mekanisk

• Édouard Husson , i sin afhandling forsvaret i 1906, løser definitivt problemet med de første integraler af klassisk mekanik til bevægelse af et fast stof omkring et fast punkt. Der er kun fire mulige primære integraler, den fjerde vises kun i tre særlige tilfælde, bevægelsen af ​​Euler-Poinsot, den for Lagrange-Poisson og endelig den af ​​Sophie Kowaleski. Fuldstændig integration efter kvadratur er derfor mulig i disse tre tilfælde. Imidlertid viser Goriatchoff, at integration også er mulig i tilfælde af bestemte indledende forhold, og et andet tilfælde er angivet af Nicolaus Kowalevski i 1908.
• Mekanik blev genstand for dybdegående undersøgelser. Poincaré og Einstein udgiver en mekanisme, der kun indeholder newtonsk mekanik ved at få den til at tendere lysets hastighed c mod uendelig. Transformationen af ​​Galileo viger for transformationen af ​​Lorentz. Og en ny generalisering, en gravitationsteori, tager navnet på den generelle relativitetsteori mellem 1909 og 1916 ved hjælp af den seneste udvikling inden for den indre differentiale geometri (forkyndt af Tullio Levi-Civita i 1900).
• Mens Bruns i 1887 havde demonstreret, at enhver ny første integral af tre-kropsproblemet nødvendigvis var en kombination af de ti første integraler, der allerede var kendt, og Poincaré havde vist i 1889 divergensen i serien, der blev brugt som løsning på problemet ( Lindstedt- serien ) og selv den kaotiske karakter af løsninger, Sundman , i 1909, løser problemet med de tre kroppe ved at give en konvergerende analytisk serie til alle tider.
• Generel relativitet gør det muligt at teoretisere universet som helhed, moderne kosmologi blev født. De statiske universer fra Einstein og De Sitter ledsages snart af udviklende universer styret af Friedmans ligninger , hjulpet af forskning fra Hubble og Humason, der netop har opdaget, at en systematisk redshift forråder en udvidelse af universet.
• I 1900 introducerede Max Planck en model, der korrekt tog højde for fænomenet sort krop , en konstant betydning, at udvekslingen af ​​energi mellem lysbølger og stof sker kontinuerligt. Denne konstant gør det muligt at skrive formler, der giver resultater i overensstemmelse med eksperimentelle målinger (for eksempel Bohr-modellen i 1913) uden at nogen forstår dens overensstemmelse med de grundlæggende principper for fysik. I 1924 startede Louis de Broglie , startende fra ideen om identiteten mellem Fermats princip for bølger og Maupertuis 'princip om mindst mulig handling for materielle legemer (Plancks konstante homogenisering af dimensionerne ), forbundet med enhver partikel en bølge Ψ og finder således flere eksperimentelle resultater. De København school fortolker Heisenberg ubestemthedsrelationerne som en invitation til at overveje modulet af den bølge Ψ som en tilstand sandsynlighed (position, hastighed, etc.) af partiklen, bryde med en samlet determinisme som var forbeholdt Newtons mekanik og hvoraf Einstein vil være den trofaste forsvarer i Einstein-Podolski-Rosen paradokset . De grundlæggende forestillinger om fysik (partikel, stof, position, kraft osv.) Mister hurtigt deres intuitive egenskaber, fordi deres egenskaber, beskrevet af matematik, overskrider geometriske visualiseringer. Kvantemekanik bruger intensivt differentialligninger , og fra den anden Dirac- kvantisering kræver det brug og udvikling af operatorteori . Fra 1960'erne blev de fleste af resultaterne fra partikelfysik teoretiseret på basis af løgnegrupper og algebraer . De forskellige forsøg på at forene generel relativitet og kvantefysik er så fiaskoer, at vi fortvivler med at finde denne enhedsteori, der ville forene de to verdener. Den femdimensionelle teori om Kaluza-Klein, teorien om Einstein fra 1931, teorien om dobbeltopløsningen af ​​De Broglie, den kinematiske teori om Milne , Eddington's spekulationer om tallet 137, teorien om Bondi og guld ... bringer hver en ny idé, geometrisk generelt, men som ikke løser problemet med de to mekanikers uforenelighed. Forfattere, især fysikere, kaster sig hovedet ind i en algebraisering af deres teorier, der fører til strengteori, M-teori ... som stadig er langt fra at løse alle de stillede spørgsmål. Den ikke-kommutative geometri , udviklet fra operatorteori, er et andet spor efterfulgt af nogle.

Analyse

• Århundredet begynder med Lebesgues afhandling Integral, længde, område, som virkelig udgør begyndelsen på måle-teorien . Derefter oprettes nye integraler i Lebesgue's fodspor (integraler fra Denjoy, Perron og Henstock ...). Målingsteorien ender med at slutte sig til sandsynlighedsteorien, som blev axiomatiseret i 1933 af Kolmogorov.
• Lebesgue teori fører til studiet af L p rum . Og i fodsporene til Hilbert, Riesz , Banach undersøges differentielle operatører. Dette er muligheden for at skabe teorien om distributioner, hvis præmisser blev givet af Hadamard, der havde introduceret de endelige dele til et problem med hydrodynamik. Således illustrerer Gelfand , Shilov  (en) , Schwartz , Vekoua . Undersøgelsen af ​​regelmæssighedsforholdene for løsningerne af partielle differentialligninger gør det muligt for Sergei Sobolev og hans tilhængere at definere hans funktionsrum og sporsætningerne i henhold til domænets geometriske egenskaber.
• Spektralteorien om lineære operatører, især selvassocierede, der opererer i et Hilbert-rum, blev startet af David Hilbert i seks erindringer, der blev offentliggjort mellem 1904 og 1910. Hermann Weyl fremførte på sin side teorien om ental differentialligninger i den anden bestille. John von Neumann udviklede konceptet med det abstrakte Hilbert-rum mellem 1927 og 1929, en ramme, hvori han begyndte studiet af ubegrænsede selvtilstødende operatører primært med henblik på spirende kvanteteori. Frigyes Riesz og MH Stone udviklede spektralteorien og udvidede den til ubegrænsede normale operatører. Ansøgninger til differentielle operatører og udvidelsen til symmetriske semi-afgrænsede operatører var KO Friedrichs arbejde i 1934 og Kerin i 1947.
• I 1927 klargjorde Artin-Schreiers teori om ordnede felter behovet for et analytisk argument i beviset for algebraens grundlæggende sætning, sætningen D'Alembert-Gauss.
• Forladt siden formalisme Weierstrass, 1850, det uendeligt små til den heroiske periode ( XVII th  århundrede ) tilbage i tjeneste under pulsen Abraham Robinson i 1960, der skaber den ikke-standard analyse . I 1970 tilføjede Nelson til det klassiske Zermelo-Fraenkel axiomatics + axiom of choice (ZFC) et nyt predikat, der gjorde det muligt for ham at fortolke Robinsons ikke-standardanalyse til en lettere teori. Resultaterne demonstreret i den ikke-standardanalyse, der udtrykkes i ZFC alene, er derefter rigtige i ZFC alene.

Gruppeteori

• Gruppeteori optager mange mennesker. Især de sporadiske, endelige grupper, hvis undersøgelse ikke afsluttes før i 1980'erne. Undersøgelsen af ​​løgnegrupper fortsætter, og algebraiseringen af ​​fysik bliver et stort emne.

Topologi

• Poincaré fremhævede i 1904 den formodning, der bærer hans navn  : ”Lad os overveje et enkelt forbundet kompakt manifold V , i 3 dimensioner uden kant. Så er V homomorf til en tredimensionel hypersfære ”. Det vil blive demonstreret i 2003 af Grigori Perelman .

Differentialligninger

• I studiet af differentialligninger opdager Painlevé nye transcendente. Hans undersøgelse fortsættes af Gambier.
• En erindring af Henri Dulac fra 1923 indeholder udsagnet om, at et felt af vektorer X med polynomiske koefficienter i planet højst har et endeligt antal grænsecyklusser (en grænsecyklus er en lukket analytisk integralkurve isoleret fra X ), som vil generere en masse ekstra arbejde, før han blev Dulac's sætning. Som mange "bevist" sætninger blev beviset anfægtet i 1960'erne. Dulacs havde "huller" fremhævet af Ilyashenkos modeksempler. Dulac's sætning blev Dulacs formodning. Derefter blev beviset udfyldt af Jean Écalle, og Dulacs formodning genvandt sin status som et sætning i form: ”For ethvert felt af analytiske vektorer i planet akkumuleres ikke grænsecyklusser. "

Talteori

• Cahens speciale (1894) havde været genstand for megen kritik. Dette var anledningen til yderligere studier i Dirichlet-serien og teorien om L-funktioner, især af Szolem Mandelbrojt .
• Robert Daniel Carmichael opdagede Carmichaels tal i 1909. Det var først i 1994, at Alford, Granville og Pomerance demonstrerede, at der var uendelige tal . Mere præcist viser disse forfattere, at antallet C ( x ) af Carmichael-tal mindre end x reduceres med x 2/7 fra en bestemt rang. Forskellige forfattere har givet stigninger for C ( x ).
• Vi bestræbte os på at forenkle beviserne for primtaltalssætningen ( Landau , Erdős og Selberg ...) og dem for Picards sætning (Borel). Den Riemann zeta-funktion , med det formål at demonstrere Riemann hypotese, er genstand for en stor del af forskningen ved Hardy og Littlewood , Speiser , Bohr , Hadamard ... uden dog mysteriet bliver løst. Titchmarsh skrev i 1951 en afhandling om teorien om Riemanns ζ-funktion, der forbliver en af ​​de mest komplette.
• Den Waring problem er delvist løst ved Hilbert i 1909, som viser, at der findes g ( k ), mens Wieferich  (da) adresser bestemmelse af den mindste g ( k ) for et helt tal k givet. Problemet med at bestemme G ( k ) startes af Hardy og Littlewood, der endda angiver en formodning, der endnu ikke er bevist. Forøgelserne af G ( k ) givet af Vinogradov blev forbedret af Heilbronn (1936), Karatsuba (1985), Wooley (1991). Vi kender værdierne af G ( k ) for k mellem 2 og 20 af værkerne fra Landau, Dickson, Wieferich, Hardy og Littlewood ... Linnik  (en) gav en metode til at løse Warings problem på en rent aritmetisk måde i 1943, ved hjælp af en idé fra Schnirelmann .
• Viggo Brun demonstrerer i 1919 konvergensen af ​​rækken af ​​inverser af to primtal, ved hjælp af en metode fra Erathostène-Legendre sigte, der forbliver som Bruns sigte, og indvier den moderne sigte metode, der hovedsageligt udviklede sig med Selberg.
• En svag form for Goldbachs formodning løses af Vinogradov i 1936 ved at vise, at næsten alle ulige heltal er skrevet som summen af ​​tre primtal.

• André Weil demonstrerer Riemann-hypotesen for lokale zeta-funktioner i 1940 og angiver de formodninger, der bærer hans navn, og som demonstreres i århundredet.

• Pierre Deligne demonstrerer, mod al forventning, Weils formodning om Frobenius-endomorfismens egenværdier i algebraisk geometri.
• Fra 1960'erne forbandt arbejde af Yves Hellegouarch Fermats sidste sætning til aritmetikken for bestemte algebraiske kurver, elliptiske kurver , men det var først i midten af ​​1980'erne, at Kenneth Ribet viste, at demonstrere formodningen om Shimura-Taniyama-Weil (eller modulær formodning) ), som hævder en præcis sammenhæng mellem modulære funktioner og elliptiske kurver, ville involvere Fermats sidste sætning. Efter syv års forskning annoncerede Andrew Wiles i 1993 under en række forelæsninger om elliptiske kurver og deres repræsentationer på en konference i Cambridge demonstrationen af ​​Shimura-Taniyama-Weil-formodningen for en stor familie af elliptiske kurver (hvilket er tilstrækkeligt for Fermats sætning). Et teknisk problem forsinkede udviklingen af ​​beviset i flere måneder, men i slutningen af ​​1994 blev Fermats sidste sætning bevist. Kort efter demonstreres formodningen om Shimura-Taniyama-Weil fuldt ud.

Grafer

• Mange kraftfulde og uventede sætninger demonstreres, såsom generalisering af karakteriseringen af plane grafer , Robertson-Seymour-sætningen .

• Men det er frem for alt fremskridt inden for datalogi, der for eksempel fører til demonstration af firefarvet sætning eller mere anekdotisk at vise, at der er mere end 13.267.364.410.532 løsninger på problemet med cavalier ( Wegener  (de) og Brendan McKay , uafhængigt; Ernesto Mordecki  (en) , en uruguayansk matematiker, i 2001 øgede antallet af løsninger til 1.305,10 35 ).

Kompleks analyse

• Det første virkelige bevis på Riemanns konforme kortlægningssætning (1851) blev givet af Constantine Carathéodory i 1912 ved hjælp af Riemann-overflader . Det bliver hurtigt forenklet af Koebe . Et andet bevis gives i 1922 af Fejér og Riesz, selv forenklet af Ostrowski og Carathéodory.
• Carathéodory fastslår og demonstrerer i 1906 et lemma, som han kalder Schwarz's lemma . Selvom det er meget simpelt, vil dets udsagn vise sig at være ekstraordinært frugtbart, efter at Pick forlængede det i 1916. Mange andre udvidelser, f.eks. Carathéodory (1926) og Nehari  (en) (1947), vil følge. Vi vil se forbindelsen mellem Schwarz's lemma og den underliggende Poincaré-metric .
• Bieberbach , i 1916, vil udsende en formodning, der generaliserer Schwarz's lemma, som først vil blive løst endeligt af Louis de Branges de Bourcia efter næsten 70 års forskning i 1985.
• Efter første verdenskrig faldt det franske matematiske samfund, der havde mistet mange af sine medlemmer, tilbage på sit foretrukne emne: kompleks analyse og teorien om analytiske funktioner, som den var den vigtigste tilskyndende til.
• Teorien om heltalsfunktioner af uendelig rækkefølge er Otto Blumenthals arbejde omkring 1913.
• Betydningen af Jensens formel bekræftes i vækstteorien, der er indledt af Émile Borel.
• Teorien om næsten periodiske funktioner, initieret af Bohr, blev udviklet af forskellige forfattere som Favard, Levitan, Besicovitch og Weyl, før den blev integreret i teorien om lokalt kompakte abeliske grupper udviklet af Von Neumann.
• Ved grænsen mellem teorien om primtal og kompleks analyse, teorien om Riemann zeta-funktionen har udviklet sig siden slutningen af det XIX th  århundrede. Landau-traktaten fra 1909, som samlede tidens kendskab til en sammenhængende teori, gav anledning til ny forskning og forblev en kilde til inspiration indtil Titchmarsh-traktaten fra 1951, der erstattede den. Vinogradovs arbejde, der blev påbegyndt i 1930'erne, førte til skøn over den nulfrie region af Riemann zeta-funktionen, som ikke har været i stand til at forbedre siden 1959. Samtidig undersøges L-funktionerne.

Logik og sætteori

• På spørgsmålet om fundamentet argumenterer matematikere glædeligt, og grene vises under impulsen af Brouwer , Henri Poincaré ... Imidlertid holder størstedelen af ​​det matematiske samfund sig til det valgte aksiom, som Kurt Gödel vil vise i 1938, at alt som det generaliseret kontinuumhypotese , kunne den føjes til aksiomerne i Zermelo-Fraenkel sætteori uden at indføre modsætninger . I virkeligheden er disse to udsagn uafhængige af de andre aksiomer: de er ubeslutsomme udsagn ( Paul Cohen , 1963). Demonstrationer af ikke-modsigelse blomstrer (underlagt set-teoriens ikke-modstridende).

• Det program, som David Hilbert fremmede i 1920'erne, startede forskning i teorien om demonstration . Hilbert ønsker at sikre grundlaget for matematik og især håndtering af uendelige objekter ved tilstrækkeligt elementære beviser for konsistens (ikke modsigelse) af matematiske teorier. Bemærk værket af Herbrand (1930) og Gentzen , der døde for hurtigt, den første i 1931, den anden i 1945.
• I 1931 viser Gödel med sin første ufuldstændighedssætning , at der for enhver ikke-modstridende aksiomatisk aritmetisk teori findes ægte aritmetiske udsagn, som ikke kan bevises i denne teori. Han udleder sin anden ufuldstændighedssætning fra dette: Konsistensen af ​​en aritmetisk teori som Peanos aritmetik eller mere generelt af en teori, der gør det muligt at formalisere aritmetik (såsom sætteori ) kan ikke demonstreres i selve teorien, hvis den er sammenhængende , et resultat, der gør Hilberts program upraktisk, i det mindste i dets oprindelige form.
• Kirke opfinder lambda-beregningen og siger sin afhandling , Turing opfinder den abstrakte maskine, der bærer hans navn, og Kleene specificerer definitionen af rekursive funktioner . Begrebet beregningsfunktion er opfundet. Matiyasevich viser, at der ikke er nogen algoritme, der gør det muligt at sige, om en diofantisk ligning er løselig, hvilket giver et negativt svar på Hilberts tiende problem . Den teori automater og teorien om sprog vises.
• Donald Knuth udgiver sin encyklopædi om kunsten at programmere og skaber en ny disciplin: analyse af algoritmer . Han oprettede også tekstsammensætningssproget TeX , universelt brugt til videnskabelig skrivning.

Sandsynligheder

• Begrebet måling udviklet af Émile Borel i 1897 afsluttes af Henri-Léon Lebesgue og hans teori om integration . Denne forestilling om analyse bruges af sandsynligheder til en mere stringent definition af sandsynligheden og blandt andre sandsynlighedstætheden.
• Den første moderne version af den centrale grænsesætning blev givet af Alexandre Liapunov i 1901 og det første bevis på den moderne sætning givet af Paul Lévy i 1910.
• I 1902 introducerede Andrei Markov Markov- kæder for at foretage en generalisering af loven om stort antal til en række afhængige eksperimenter. Disse Markov-kæder kender mange applikationer, blandt andet til modellering af distributionen eller til indeksering af websteder på Google.
• I 1933 kommer sandsynlighedsteorien frem fra et sæt forskellige metoder og eksempler og bliver en reel teori, aksiomatiseret af Kolmogorov .
• Kiyoshi Itō opstiller en teori og et lemma, der bærer hans navn i 1940'erne. Disse giver os mulighed for at forbinde stokastisk beregning og delvise differentialligninger og dermed skabe forbindelsen mellem analyse og sandsynligheder. Matematikeren Wolfgang Döblin havde for sin del skitseret en lignende teori, inden han begik selvmord, da hans bataljon blev besejret i juni 1940. Hans arbejde blev sendt til Videnskabsakademiet i en forseglet kuvert, som først blev åbnet i 2000.

Numerisk analyse

• Richard Courant introducerede endelige elementer i 1940. Denne metode bruges til den numeriske opløsning af partielle differentialligninger. Det får kun virkelig betydning med databehandling og effektive og tilpassede netværksprocesser, som først dukkede op i 1980'erne.
• De Monte-Carlo metoder udviklet under ledelse af John von Neumann og Stanislas Ulam i særdeleshed under Anden Verdenskrig som en del af forskningen om fremstilling af atombomben. De navngives således ved hentydning til tilfældighedsspil, der praktiseres i Monte-Carlo . Disse probabilistiske metoder anvendes til den numeriske opløsning af partielle differentialligninger , stokastiske differentialligninger og flere integrale estimater.

Tilsyneladende paradokser og nysgerrigheder

• Hvis accept af det valgte aksiom gør det muligt at demonstrere eksistensen af ​​baser i vektorrum af uendelig dimension, især Hilbert-rum, har dette også mærkeligere konsekvenser, såsom Banach-Tarski-paradokset  : der eksisterer en opdeling af en perfekt kugle i fem stykker, så vi med stykkerne kan rekonstituere to perfekte kugler med samme diameter som den første.
• Andre nysgerrigheder, såsom Smales sfæriske inversionssætning (som bruger det valgte aksiom), demonstreres.

XXI th  århundrede

Topologi

Den poincaréformodningen blev demonstreret i 2003 af Grigorij Perelman .

Noter og referencer

Bemærkninger

1. Kun arkæologiske data giver oplysninger om deres organisation.

Referencer

1. Benet af Ishango , analyse af O. Keller på bibnum .
2. Arnold Toynbee, menneskehedens store eventyr , kap. 6.
3. Babylonisk ekspedition se dette dokument .
4. YBC 7289- tabletten beviser, at de kendte en omtrentlig værdi af kvadratroden på to til den nærmeste million.
5. Tabletter af Nippur.
6. For eksempel Plimpton 322 tablet .
7. (i) John J. O'Connor og Edmund F. Robertson , "En oversigt over babylonske matematik" i MacTutor History of Mathematics arkivere , University of St. Andrews ( læses online )..
8. (i) Otto E. Neugebauer , de eksakte videnskaber i oldtiden, kap. II (babylonisk matematik) og kap. V (babylonisk astronomi) .
9. Maurice Mashaal , "Matematik" , i Philippe de La Cotardière , Histoire des sciences ,2004[ udgave af udgaven ] , s.  19-104, s.  23 og s.  26 .
10. * Sylvia Couchoud , egyptisk matematik. Forskning i matematisk viden om faraonisk Egypten , Le Léopard d'Or-udgaver, 2004, s.  61-65 . Bogen gengiver hieroglyferne , giver deres oversættelse og fortsætter til en kritisk gennemgang af teksten.
11. Karine Chemla og Guo Shuchun , De ni kapitler: Den matematiske klassiker i det antikke Kina og dens kommentarer [ detaljer i udgaven ]. Fransk oversættelse med detaljerede tilføjelser og en kommenteret udgave af den kinesiske tekst til bogen og dens kommentarer.
12. Marcia Ascher, Matematik andetsteds, Tal, formularer og spil i traditionelle samfund , Éditions du Seuil, 1998.
13. For DR Dicks ville opholdet i Egypten være en myte såvel som tilskrivning af opdagelser i matematik til Thales af biografer, der levede i århundreder efter hans død. DR Dicks, Thales, Classical Quarterly 9, 1959
14. Mashaal 2004 , s.  51.
15. Van Egmond, Warren, Den kommercielle revolution og begyndelsen af ​​vestlig matematik i renæssance Firenze, 1300-1500 , red. University of Michigan UMI Dissertation Services, Ann Arbor, Michigan, USA, 628 s.
16. Galileo ( overs.  C. Chauviré ), Essayeur de Galileo , Les Belles Lettres ,1980( læs online ) , s.  141
17. Fabien Revol , tænker på økologi i den katolske tradition , Labour and Fides, s. 154-155
18. René Descartes, Diskurs om metode , første del
19. A. Dahan-Dalmedico og J. Peiffer , A History of Mathematics: Veje og labyrinter ,1986[ detaljer om udgaver ], s. 199. Også: A. Warusfel, Euler: matematik og liv , Éditions Vuibert, 2009.
20. Kontrovers mellem Leibniz og Jean Bernoulli på logaritmerne negative eller imaginære tal - 1712.
21. DahanPeiffer , s.  251.
22. Jacques Bouveresse , Jean Itard og Émile Sallé, Matematikhistorie [ udgave detaljer ], s. 52.
23. Leonard Euler, Variae observationer circa series infinitas , sætning 7, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, (1744), 160-188, eller Opera Omnia, serie 1 , bind. 14, s. 217-244. Kan downloades fra [1] .
24. DahanPeiffer , s.  112.
25. DahanPeiffer , s.  114.
26. Jacques Bouveresse , Jean Itard og Émile Sallé, Matematikhistorie [ udgave detaljer ], s. 74.
27. Waring, Meditationes algebricae , 1770, s. 203-204.
28. Claude Brezinski. Konvergensacceleration i det 20. århundrede . J. Comput. Appl. Matematik, 122: 1–21, 2000.
29. Charles Delaunay, Teori om månens bevægelse, 1860-1867, [ læs online ] .
30. H. Faye, tale ved begravelsen, 1872.
31. SARC 10. november 1845 1 st juni 1846 31 August 1846.
32. Appell, Rational Mechanics Course , t. 2.
33. Husson, afhandling, 1906.
34. Bruno Belhoste “Dannelsen af ​​et teknokrati. Den polytekniske skole og dens studerende fra revolutionen til det andet imperium ” s. 222. Belin, Collection of Education Collection.
35. Ny matematisk korrespondance, t. 2, 1852.
36. Monge, beskrivende geometri , Paris, Baudouin, An VII (1799).
37. For en demonstration efter Hurwitz se Valiron , Théorie des functions , Masson, Paris, 1942.
38. Berger, geometri .
39. Hilbert, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Programm zum Eintritt in die philosophische Facultät und den Senat der k. Friedrich-Alexander-Universität zu Erlangen , 1872.
40. Citeret af Cauchy og optaget af H. Laurent, Restory Theory , 1865 og af Laisant, Exposition of the equipollences method [of Bellavitis] , 1878.
41. Wessel, Essay on the Analytical Representation of Management , 1797.
42. Argand, Essay om en måde at repræsentere imaginære størrelser i geometriske konstruktioner , 1806.
43. Mourey, Den sande teori om negative mængder og angiveligt imaginære mængder , 1828.
44. (i) John J. O'Connor og Edmund F. Robertson , "Mourey CV" i MacTutor History of Mathematics arkivere , University of St. Andrews ( læses online ).
45. Legendre, Nye metoder til bestemmelse af kometernes kredsløb, Appendiks: om mindste kvadraters metode , Paris, Courcier, 1805.
46. Legendre, metoder til mindste kvadrat , læst 24. februar 1811.
47. Gauss, Theoria motus corporum coelestium i sectionibus conicis solem ambientium , 1809.
48. Brev fra De Morgan til Hamilton, 23. oktober 1852.
49. i forskellige meddelelser fra 1878-1879 til London Mathematical Society og Geographical Society.
50. "Om tre-kropsproblemet og ligningerne af dynamik", Acta Mathematica , bind. 13, 1890, s. 1-270.
51. En rapport af Poisson fra 1813 forklarer en matematisk nysgerrighed af virkelige funktioner ved at omgå den virkelige singularitet i det komplekse plan. Vi er kun et skridt væk fra restsætningen.
52. Estanave, nomenklatur for Matematiske Fag afhandlinger i Frankrig under XIX th  århundrede , Paris, Gauthier-Villars, 1903.
53. (i) DE Dickson Lineære Grupper med en udstilling af Galois Field Theory 1901.
54. Hadamard, lektioner om bølgeforplantning og hydrodynamiske ligninger , Paris, 1903.
55. Dulac, "On limit cycles", Bulletin of the Mathematical Society of France , t. 51, s. 45, 1923.
56. Jean Écalle , Introduktion til analyserbare funktioner og konstruktivt bevis for Dulacs formodning , Hermann, 1992.
57. WR Alford, A. Granville og C. Pomerance, “Der er uendeligt mange Carmichael-numre”, Annals of Mathematics , bind. 140, 1994, s. 703-722.
58. Pierre Deligne, "La conjecture de Weil", Publ. Matematik. IHES , nr. 43, 1974, s. 273-307.
59. Borel, lektioner om teori om vækst , Paris, Gauthier-Villars, 1910.
60. (i) Kurt Gödel , "  sammenhæng i udvalgsaksiomet og af den generelle kontinuumhypotesen,  " , PNAS , vol.  24, nr .  12,1938, s.  556–557 ( DOI  10.1073 / pnas.24.12.556 ).
61. Matiiassevitch, det tiende problem med Hilbert, hans undecidability , Paris, Masson, 1995.
62. N. Drakos (overs. D. Meisel), "  Historien om sandsynlighedsberegningen - moderne teori  " .
63. Bernard Ycart, “  Mellem De Moivre og Laplace  ” .
64. "  Markov- kæde  " , på DicoMaths .

Se også

Bibliografi

• Jean C. Baudet , nyt resumé af matematikens historie , Vuibert , Paris, 2002.
• Jean C. Baudet, Matematikhistorie , Vuibert, Paris, 2014.
• Jean-Paul Colette, Matematikhistorie , Éditions du Renouveau Pedagogique , Montreal, 1973.
• Denis Guedj , Le Théorème du Perroquet , Weidenfeld & Nicolson , 1998.
• Georges Ifrah , universel figurhistorie
• Roshdi Rashed , OF Al-Khwarizmi til Descartes . Undersøgelser af historien om klassisk matematik , Hermann , 2011

Relaterede artikler

• Videnskabshistorie
• Kronologi af algebra
• Analysehistorie
• Historisk funktionel analyse
• MacTutor matematikhistorie arkiv

eksterne links

• Links til matematikens historie (2)
• Matematikhistorie i Béjaia
• I brevet fra Academy of Sciences "History and science of science" (pdf 2.12  Mo ) - nr. 14 / vinter 2004 : Matematik i det antikke Kina
• Cnrs billeder af matematik: Matematikhistorie
• Site oversigt over etymologierne i matematiske begreber
• (da) Matematikhistorien David R. Wilkins, Trinity College, Dublin
• Jean-Marie De Koninck og Bernard R. Hodgson, "  En samling matematikere fra antikken til i dag  " ,2007