Liouville's sætning (kompleks variabel)

I kompleks analyse er Liouville's sætning et resultat, der vedrører heltalfunktioner ( holomorfe funktioner over hele det komplekse plan). Mens der er et stort antal uendeligt differentierbare og afgrænsede funktioner på den rigtige linje, hævder Liouville's sætning, at enhver afgrænset heltalsfunktion er konstant.
Denne sætning skyldes Cauchy. Denne omdirigering er arbejdet med en elev fra Liouville, der lærte om denne sætning i de kurser, som sidstnævnte læste.

Stater

Liouville's sætning erklæres som følger:

Liouvilles sætning - Hvis f er en bestemt funktion, der er holomorf på hele det komplekse plan, så er f konstant, når den er afgrænset.

Denne sætning kan forbedres:

Sætning - Hvis f er en heltalsfunktion med polynomvækst af graden højst k , i den forstand at:

{\ displaystyle \ findes (A, B) \ i (\ mathbb {R} _ {+}) ^ {2}, \ \ forall z \ i \ mathbb {C}, \ quad | f (z) | \ leq A + B | z | ^ {k}}

så er f en polynomfunktion af grad mindre end eller lig med k .

Demonstration

Det foreslåede bevis, relativt kort, er baseret på Cauchy-ulighed . Andre mulige beviser er indirekte baseret på Cauchys integrerede formel .

Første erklæring

En integreret funktion f , der er afgrænset på C . I dette tilfælde findes der en øvre grænse M for f- modulet . Cauchy-uligheden gælder f og enhver disk med center z og radius R ; hun giver :

{\ displaystyle \ forall z \ i \ mathbb {C}, \ quad \ left | f '(z) \ right | \ leq {\ frac {M} {R}}}

Hvis vi retter z og får R til at være uendelig, kommer det:

{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C}, \ quad f '(z) = 0}

Derfor er afledningen af f overalt nul, så f er konstant.

Anden erklæring

Vi antager, at hele funktionen f har polynomvækst. Cauchy-uligheden anvendes igen på disken med center z og radius R :

{\ displaystyle \ forall z \ i \ mathbb {C}, \ quad {\ frac {\ left | f ^ {(k + 1)} (z) \ right |} {(k + 1)!}} \ leq {\ frac {\ sup \ {| f (w) |, | wz | = R \}} {R ^ {k + 1}}} \ leq {\ frac {A + B {\ left (| z | + R \ højre)} ^ {k}} {R ^ {k + 1}}}}

Igen, ved at få R til at være uendelig, kommer det:

{\ displaystyle \ forall z \ i \ mathbb {C}, \ quad f ^ {(k + 1)} (z) = 0}

Ved successive primitiveringer er funktionen f en polynomfunktion i z, og dens grad er mindre end eller lig med k .

Teoremet kan demonstreres ved anvendelse af Cauchys integrale formel for at vise, at det komplekse derivat af f er identisk nul, men det er ikke sådan, som Liouville demonstrerede det; og senere bestred Cauchy forfatterskab af resultatet med Liouville. Historikere Men mener dog, at dette ikke er en manifestation af Stiglers lov : Cauchy kunne let have demonstreret det før Liouville, men gjorde det ikke.

Teoremet forbedres kraftigt af Picards Little Theorem , der siger, at enhver ikke-konstant heltal-funktion tager alle komplekse tal som værdier, bortset fra højst et punkt.

Ansøgninger

D'Alembert-Gauss sætning

D'Alembert-Gauss-sætningen (eller endda algebraens grundlæggende sætning) siger, at ethvert ikke-konstant komplekst polynom indrømmer en rod . Med andre ord er feltet med komplekse tal algebraisk lukket . Denne sætning kan demonstreres ved hjælp af analytiske værktøjer, og især Liouville's sætning nævnt ovenfor, se den detaljerede artikel for beviset.

Riemann-sfærestudie

Med hensyn til Riemann-overflade kan sætningen generaliseres som følger: hvis $M$ er en parabolsk Riemann-overflade (f.eks. Det komplekse plan ), og hvis $N$ er en hyperbolsk overflade (f.eks. En åben disk), så er en hvilken som helst funktion holomorf $f : M \to N$ skal være konstant.

Elliptiske funktioner

Det bruges også til at fastslå, at en elliptisk funktion uden poler nødvendigvis er konstant; dette var hvad Liouville oprindeligt havde oprettet.

Noter og referencer

Boris Chabat , Introduktion til kompleks analyse, bind I funktioner af en variabel , 1990, Éditions Mir , s. 104.
Se f.eks. Beviset i Rudin, s. 254 , noget anderledes.