Z transformation

Den transformation ation Z er en matematisk værktøj til automatisk og signalbehandling , som svarer diskrete af Laplace-transformationen . Den forvandler en reel tidsdomænesignal til et signal repræsenteret af en kompleks serie og kaldte omdanne ed Z .

Det bruges blandt andet til beregning af digitale filtre med uendelig impulsrespons og i automatisk tilstand til at modellere dynamiske systemer på en diskret måde.

Definition

Dens matematiske definition er som følger: transformation i Z er en applikation, der transformerer en sekvens s (defineret på heltal) til en funktion S af en kompleks variabel med navnet z , således at

S(z)=Z{s(ikke)}=∑ikke=-∞+∞s(ikke)z-ikke,z∈{z∈VS|∑ikke=-∞+∞s(ikke)z-ikkevs.oikkeverge}{\ displaystyle S (z) = {\ mathcal {Z}} \ {s (n) \} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} s (n) z ^ {- n} , \ quad z \ in \ left \ lbrace z \ in \ mathbb {C} {\ Big |} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} s (n) z ^ {- n} \ quad \ mathrm {converge} \ right \ rbrace}

Variablen n repræsenterer generelt diskretiseret tid , den komplekse variabel z er kun et matematisk væsen. Når vi arbejder på s ( n ), siger vi, at vi er i tidsdomænet , når vi arbejder på S ( z ) kaldes domænet frekvens analogt med Fourier-transformationen.

Ja , vi taler om et årsags signal. Omvendt, ja , vi taler om et antikausal signal. ∀ikke<0, s(ikke)=0{\ displaystyle \ forall n <0, \ s (n) = 0}∀ikke>0, s(ikke)=0{\ displaystyle \ forall n> 0, \ s (n) = 0}

Til kausale signaler kan vi også bruge den monolaterale Z- transformation  :

Z+{s(ikke)}=∑ikke=0+∞s(ikke)z-ikke{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} _ {+} \ left \ {s \ left (n \ right) \ right \} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} s \ left (n \ højre) z ^ {- n}}

Eksistensen af ​​transformationen i Z

Domænet for konvergens er den delmængde af i hvilken serie konvergerer. Med andre ord er konvergensdomænet for transformationen til sekvensen sættet: VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
z{\ displaystyle z}(x(ikke))ikke∈Z{\ displaystyle (x (n)) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}

{z∈VS|∑ikke=-∞∞x(ikke)z-ikkeexjegste}{\ displaystyle \ left \ {z \ in \ mathbb {C} {\ Big |} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} \ quad \ mathrm { eksisterer} \ right \}}

Delsættet , hvori denne serie absolut konvergerer , kaldes konvergensens krone . Ved at stille sig kommer han:VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}z=ρejegθ {\ displaystyle z = \ rho e ^ {i \ theta} ~}

|S(z)|=|∑ikke=-∞∞x(ikke)z-ikke|⩽∑ikke=-∞∞|x(ikke)|ρ-ikke=limIKKE,M→∞SIKKE,M(ρ),{\ displaystyle | S (z) | = \ left | \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} \ right | \ leqslant \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | x (n) \ right | \ rho ^ {- n} = \ lim _ {N, M \ rightarrow \ infty} S_ {N, M} \ left (\ rho \ ret),} med SIKKE,M(ρ)=∑ikke=-IKKEM|x(ikke)|ρ-ikke.{\ displaystyle S_ {N, M} \ left (\ rho \ right) = \ sum _ {n = -N} ^ {M} \ left \ vert x (n) \ right \ vert \ rho ^ {- n} .}

Domænet for absolut konvergens af er derfor en krone S(z){\ displaystyle S (z)}

VSvs.={z∈VS:ρ1≺|z|≺ρ2}{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c} = \ left \ {z \ in \ mathbb {C}: \ rho _ {1} \ prec \ left \ vert z \ right \ vert \ prec \ rho _ {2} \ right \}}

hvor betegner hver gang eller og hvor uligheden (bred eller streng) (hhv. ) er den nødvendig og tilstrækkelig betingelse, så har en endelig grænse, når (hhv. ) tenderer mod . Eksplicit, ≺{\ displaystyle \ prec}<{\ displaystyle <}≤{\ displaystyle \ leq}|z|≻ρ1{\ displaystyle \ left \ vert z \ right \ vert \ succ \ rho _ {1}}|z|≺ρ2{\ displaystyle \ left \ vert z \ right \ vert \ prec \ rho _ {2}}SIKKE,M(ρ){\ displaystyle S_ {N, M} \ left (\ rho \ right)}M{\ displaystyle M}IKKE{\ displaystyle N}+∞{\ displaystyle + \ infty}

ρ1=lim supikke→+∞|x(ikke)|ikke,ρ2=lim infikke→+∞1|x(-ikke)|ikke.{\ displaystyle \ rho _ {1} = \ limsup _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ sqrt [{n}] {\ left \ vert x (n) \ right \ vert}}, \ quad \ rho _ {2} = \ liminf _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ frac {1} {\ sqrt [{n}] {\ left \ vert x (-n) \ right \ vert}}}.}

I resten af ​​artiklen antages konvergenskronen at være ikke-fri, og transformationerne i Z er kun gyldige . VSvs.{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}z∈VSvs.{\ displaystyle z \ i {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}

Z-transformationsegenskaber

Vi viser nedenstående egenskaber:

Lineæritet

Z-transformationen af ​​en lineær kombination af to signaler er den lineære kombination af Z-transformationerne for hvert signal.

Z{på1x1(ikke)+på2x2(ikke)}=på1Z{x1(ikke)}+på2Z{x2(ikke)} {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {a_ {1} x_ {1} (n) + a_ {2} x_ {2} (n) \} = a_ {1} {\ mathcal {Z}} \ {x_ {1} (n) \} + a_ {2} {\ mathcal {Z}} \ {x_ {2} (n) \} \}Tidsforskydning

Tidsforskydningen af k- prøver af et signal resulterer i multiplikation af Z-transformationen af ​​signalet med z −k .

Z{x(ikke-k)}=z-kZ{x(ikke)}. {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {x (nk) \} = z ^ {- k} {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \}. ~}Fremskreden

Når vi bruger den monolaterale Z-transformation (se ovenfor), får vi det

Z+{x(ikke+k)}=zk[Z+{x(ikke)}-∑j=0k-1x(j)z-j]{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} _ {+} \ left \ {x \ left (n + k \ right) \ right \} = z ^ {k} \ left [{\ mathcal {Z}} _ { +} \ venstre \ {x \ venstre (n \ højre) \ højre \} - \ sum _ {j = 0} ^ {k-1} x \ venstre (j \ højre) z ^ {- j} \ højre] }Konvolution

Z-transformationen af ​​et kollisionsprodukt er produktet af Z-transformationerne

Z{x∗y}=Z{x}Z{y} {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {x * y \} = {\ mathcal {Z}} \ {x \} {\ mathcal {Z}} \ {y \} \}

hvor . (x∗y)(ikke)=∑k=-∞+∞x(ikke-k)y(k){\ displaystyle \ left (x * y \ right) \ left (n \ right) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ left (nk \ right) y \ left (k \ ret)}

Ja,

Z({x∗y})(z)=∑ikke=-∞+∞{x⋆y}(ikke)z-ikke=∑ikke=-∞+∞∑k=-∞+∞x(ikke-k)y(k)z-(ikke-k)z-k=∑m=-∞+∞∑k=-∞+∞x(m)y(k)z-mz-k=(∑m=-∞+∞x(m)z-m)(∑k=-∞+∞y(k)z-k){\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} Z \ venstre (\ venstre \ {x * y \ højre \} \ højre) \ venstre (z \ højre) & = & \ sum \ grænser _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ left \ {x \ star y \ right \} \ left (n \ right) z ^ {- n} \\ & = & \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ sum \ limits _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ left (nk \ right) y \ left (k \ right) z ^ {- (nk)} z ^ {-k} \\ & = & \ sum \ limits _ {m = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ sum \ limits _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ left (m \ højre) y \ venstre (k \ højre) z ^ {- m} z ^ {- k} \\ & = & \ venstre (\ sum \ grænser _ {m = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ venstre (m \ højre) z ^ {- m} \ højre) \ venstre (\ sum \ grænser _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} y \ venstre (k \ højre) z ^ {- k } \ right) \ end {array}}}Multiplikation med en eksponentiel Z{påikkex(ikke)}=x(zpå){\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {a ^ {n} x (n) \} = X \ left ({\ frac {z} {a}} \ right)}med transformation i Z fra det følgendex(z){\ displaystyle X (z)}x(ikke){\ displaystyle x (n)} Multiplikation med udviklingsvariablen

Generelt:

Z{ikkekx(ikke)}=(-zddz)kZ{x(ikke)} {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {n ^ {k} x (n) \} = \ left (-z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ højre ) ^ {k} {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \} \}

hvor betyder, at vi anvender k gange på operatøren(-zddz)kZ{x(ikke)}{\ displaystyle \ textstyle \ left (-z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ right) ^ {k} {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \ }}Z{x(ikke)}{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \}}-zddz{\ displaystyle \ textstyle -z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}}}

Hvis vi skriver denne formel i rang k = 1, får vi afledningsformlen  :

Z{ikkex(ikke)}=-zddzx(z) {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {nx (n) \} = - z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} X (z) \}

Initial værdi sætning

Lad være et kausal signal og dets transformation i Z. Derefter: x(ikke){\ displaystyle x (n) \,}x(z){\ displaystyle X (z) \,}

x(0)=limikke→0x(ikke)=limz→+∞x(z){\ displaystyle x (0) = \ lim _ {n \ til 0} x (n) = \ lim _ {z \ to + \ infty} X (z)}

Endelig værdi sætning

Overvej et kausal signal og dets transformation i Z. Så når den venstre grænse eksisterer, kan vi skrive: x(ikke){\ displaystyle x (n) \,}x(z){\ displaystyle X (z) \,}

limikke→+∞x(ikke)=limz→1,|z|>1(z-1)x(z){\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} x (n) = \ lim _ {z \ rightarrow 1, \ left \ vert z \ right \ vert> 1} (z-1) X (z)} Demonstration

Den oprindelige værdi sætning har et indlysende bevis: det er tilstrækkeligt at indstille og erstatte y med 0 i udtrykket for . y=z-1{\ displaystyle y = z ^ {- 1}}x(y-1){\ displaystyle X (y ^ {- 1})}

For den endelige værdisætning skal du bemærke, at det faktum, der eksisterer, indebærer, at sekvensen er afgrænset, og at konvergensradiusen på er mindre end eller lig med 1. Vi har limikke→+∞x(ikke){\ displaystyle \ lim \ nolimits _ {n \ rightarrow + \ infty} x (n)}(x(ikke)){\ displaystyle (x (n))}ρ1{\ displaystyle \ rho _ {1}}x(z){\ displaystyle X (z)}

(z-1)x(z)=limikke→∞Sikke(z){\ displaystyle (z-1) X \ left (z \ right) = \ lim \ limits _ {n \ rightarrow \ infty} S_ {n} \ left (z \ right)}

med

Sikke(z)=x(0)z+∑jeg=1ikke(x(jeg)-x(jeg-1))z-jeg{\ displaystyle S_ {n} \ venstre (z \ højre) = x (0) z + \ sum \ grænser _ {i = 1} ^ {n} \ venstre (x (i) -x (i-1) \ højre) z ^ {- i}}

og denne sekvens af funktioner er ensartet konvergerende i det fri . Punkt 1 hører til vedhæftningen af U og for , konvergerer til . Ifølge ”dobbeltgrænsesætningen” har vi derfor U={z∈VS:|z|>1}{\ displaystyle U = \ venstre \ {z \ i \ mathbb {C}: \ venstre \ vert z \ højre \ vert> 1 \ højre \}}z→1{\ displaystyle z \ rightarrow 1}Sikke(z){\ displaystyle S_ {n} \ venstre (z \ højre)}x(ikke){\ displaystyle x (n)}

limz→1,|z|>1limikke→∞Sikke(z)=limikke→∞(limz→1,|z|>1Sikke(z))=limikke→∞x(ikke).{\ displaystyle \ lim \ limits _ {z \ rightarrow 1, \ left \ vert z \ right \ vert> 1} \ lim \ limits _ {n \ rightarrow \ infty} S_ {n} \ left (z \ right) = \ lim \ grænser _ {n \ højrepil \ infty} \ venstre (\ lim \ grænser _ {z \ højrepil 1, \ venstre \ vert z \ højre \ vert> 1} S_ {n} \ venstre (z \ højre) \ højre) = \ lim \ limit _ {n \ rightarrow \ infty} x \ left (n \ right).}

Omvendt Z-transformation

Den inverse Z-transformation er givet ved:

x(ikke)=Z-1{x(z)}=12πjeg∮VSx(z)zikke-1dz {\ displaystyle x (n) = {\ mathcal {Z}} ^ {- 1} \ {X (z) \} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ anint _ {C} X ( z) z ^ {n-1} \ mathrm {d} z \}

hvor er en lukket sti rejst i retning mod uret og helt tilhører domænet for konvergens. VS{\ displaystyle C}

I praksis udføres denne beregning ofte ved hjælp af restsætningen, og formlen bliver i tilfælde af et kausalt signal:

x(ikke)=∑zk=so^lesdezikke-1x(z)Res⁡{zikke-1x(z)}z=zk{\ displaystyle x (n) = \ sum _ {z_ {k} = {\ rm {p {\ hat {o}} les \; de \;}} z ^ {n-1} X (z)} \ operatornavn {Res} \ {z ^ {n-1} X (z) \} _ {z = z_ {k}} \,}

Andre reverseringsmetoder Andre inversionsmetoder at gå fra til er: læsning baglæns fra tabellen over sædvanlige transformationer; anvendelsen af ​​reglerne for skift, for lineære kombinationer, for opløsningsprodukt. I desperation kan man altid prøve at gå videre ved identifikation ved at give z k +1 numeriske værdier og ved at kigge efter koefficienterne x (0) til x (k), som er løsninger på et system med k + 1 lineære ligninger til k + 1 ukendte. Eller prøv at finde en Taylor- eller Maclaurin-udvidelse af funktionen, der skal vendes. En særlig gunstig sag opstår, når funktionen er en rationel brøkdel . Faktisk når :, P og Q er to polynomer i 1 / z, kan opdelingen udføres til den ønskede grad af præcision, og de numeriske værdier for koefficienterne opnås direkte , n varierende fra 0 til m. I dette tilfælde vedtages notationen mere i dette tilfælde . Årsagen er, at overføringsfunktionen for diskrete eller samplede systemer er skrevet h (n), og dens transformation i Z ofte præsenteres i denne form for kvotient mellem en output (i z) og en input (i z) . Et konkret eksempel for at illustrere denne tilgang:x(z){\ displaystyle X (z)}x(ikke){\ displaystyle x (n)} x(z){\ displaystyle X (z)}x(z)=P(z)Q(z){\ displaystyle X (z) = {\ frac {P (z)} {Q (z)}}}x(ikke){\ displaystyle x (n)}H(z)=IKKEUM(z)/DEIKKEOM(z) {\ displaystyle H (z) = {NUM (z)} / {DENOM (z)} \}H(z)=IKKEUM(z)/DEIKKEOM(z) {\ displaystyle H (z) = {NUM (z)} / {DENOM (z)} \}   Kvotient af polynomer i z, numerisk tilnærmelse.

Opmærksomhed, denne metode er rent numerisk, den giver ikke det analytiske udtryk for den inverse serie. I dette eksempel er H (z) forholdet mellem to polynomer i 1 / z. Tælleren ser ud som at multiplicere med 2 nævneren forskudt med 1 periode, men vi vælger noget unøjagtige numeriske værdier for at undgå en perfekt kvotient svarende til 2 / z.

• Tælleren til kraften 11 er et udtryk for formen: IKKEUM(z)=ikkeum0+ikkeum1(1/z)1+ikkeum2(1/z)2+⋯+ikkeum11(1/z)11{\ displaystyle \ textstyle \ scriptstyle NUM (z) = num_ {0} + num_ {1} (1 / z) ^ {1} + num_ {2} (1 / z) ^ {2} + \ cdots + num_ { 11} (1 / z) ^ {11}} IKKEUM(z)=0+0(1/z)1+2,3⋅(1/z)2+4,22⋅(1/z)3+6,2⋅(1/z)4+8,21⋅(1/z)5+10,2⋅(1/z)6+12,2⋅(1/z)7+12,22⋅(1/z)8+12,4⋅(1/z)9+12,4⋅(1/z)10+12,4⋅(1/z)11.{\ displaystyle NUM (z) = 0 + 0 (1 / z) ^ {1} +2.3 \ cdot (1 / z) ^ {2} +4.22 \ cdot (1 / z) ^ {3} +6.2 \ cdot (1 / z) ^ {4} +8,21 \ cdot (1 / z) ^ {5} +10,2 \ cdot (1 / z) ^ {6} +12,2 \ cdot (1 / z) ^ {7} +12,22 \ cdot (1 / z) ^ {8} +12.4 \ cdot (1 / z) ^ {9} +12.4 \ cdot (1 / z) ^ {10} +12.4 \ cdot (1 / z) ^ {11} .}
• Nævneren til kraften 10 er: DEIKKEOM(z)=0+1,1⋅(1/z)1+2,1⋅(1/z)2+3,1⋅(1/z)3+4,1⋅(1/z)4+5,1⋅(1/z)5+6,1⋅(1/z)6+6,1⋅(1/z)7+6,2⋅(1/z)8+6,2⋅(1/z)9+6,2⋅(1/z)10.{\ displaystyle DENOM (z) = 0 + 1.1 \ cdot (1 / z) ^ {1} +2.1 \ cdot (1 / z) ^ {2} +3.1 \ cdot (1 / z) ^ {3} +4 , 1 \ cdot (1 / z) ^ {4} +5,1 \ cdot (1 / z) ^ {5} +6,1 \ cdot (1 / z) ^ {6} + 6.1 \ cdot (1 / z) ^ {7} +6.2 \ cdot (1 / z) ^ {8} +6.2 \ cdot (1 / z) ^ {9} +6.2 \ cdot (1 / z) ^ {10}.}
• Her falder polynomernes opdeling ikke "rigtigt", vi er tilfredse med en tilnærmelse af kvotienten Q (z) af formen op til kraften 10:
  ∑ikke≥0qikke(1/z)ikke{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} q_ {n} (1 / z) ^ {n}}
  

Q(z)=0+2,090909⋅(1/z)1-0,155372⋅(1/z)2+0,040421⋅(1/z)3+0,0309047⋅(1/z)4-0,015368⋅(1/z)5+0,007694⋅(1/z)6+0,101526⋅(1/z)7-0,176646⋅(1/z)8+0,061258⋅(1/z)9+0,015904⋅(1/z)10.{\ displaystyle {\ begin {matrix} Q (z) & = 0 + 2,090909 \ cdot (1 / z) ^ {1} -0,155372 \ cdot (1 / z) ^ {2} +0,040421 \ cdot (1 / z) ^ {3} +0.0309047 \ cdot (1 / z) ^ {4} -0.015368 \ cdot (1 / z) ^ {5} \\ & + 0.007694 \ cdot (1 / z) ^ {6} +0.101526 \ cdot (1 / z) ^ {7} -0.176646 \ cdot (1 / z) ^ {8} +0.061258 \ cdot (1 / z) ^ {9} +0.015904 \ cdot (1 / z ) ^ {10}. \ Afslut {matrix}}}

• Resten R (z) af denne ufuldstændige opdeling er:

R(z)=0+0⋅(1/z)1+0⋅(1/z)2+0⋅(1/z)3+0⋅(1/z)4+0⋅(1/z)5+0⋅(1/z)6+0⋅(1/z)7+0⋅(1/z)8+0⋅(1/z)9+0⋅(1/z)10+0⋅(1/z)11+0,550806⋅(1/z)12-0,413006⋅(1/z)13-0,063683⋅(1/z)14+0,040876⋅(1/z)15-0,052647⋅(1/z)16-0,011071⋅(1/z)17+0,616793⋅(1/z)18-0,478404⋅(1/z)19-0,098602(1/z)20.{\ displaystyle {\ begin {matrix} R (z) & = 0 + 0 \ cdot (1 / z) ^ {1} +0 \ cdot (1 / z) ^ {2} +0 \ cdot (1 / z ) ^ {3} +0 \ cdot (1 / z) ^ {4} +0 \ cdot (1 / z) ^ {5} +0 \ cdot (1 / z) ^ {6} \\ & + 0 \ cdot (1 / z) ^ {7} +0 \ cdot (1 / z) ^ {8} +0 \ cdot (1 / z) ^ {9} +0 \ cdot (1 / z) ^ {10} + 0 \ cdot (1 / z) ^ {11} +0.550806 \ cdot (1 / z) ^ {12} \\ & - 0.413006 \ cdot (1 / z) ^ {13} -0.063683 \ cdot (1 / z) ^ {14} +0.040876 \ cdot (1 / z) ^ {15} -0.052647 \ cdot (1 / z) ^ {16} \\ & - 0.011071 \ cdot (1 / z) ^ {17} +0.616793 \ cdot (1 / z) ^ {18} -0.478404 \ cdot (1 / z) ^ {19} -0.098602 (1 / z) ^ {20}. \ End {matrix}}}

Vi kan kontrollere på et regneark eller for hånd, at disse polynomer opfylder definitionen af euklidisk division : H (z) = NUM ​​(z) / DENOM (z) = Q (z) + R (z) / DENOM (z) . Vi antager, at resten er ubetydelig i forhold til koefficienterne for kvotienten. Diagrammerne for disse forskellige polynomer kan visualiseres på et regneark som følger.

Af nysgerrighed kan vi vise impulssvaret for tilnærmelsen Q (z) af H (z). På samme måde kan vi vise indeksresponset for Q (z) til et Heaviside-trin.

Hvis vi var tilfredse med en mindre præcis tilnærmelse af H (z) af kvotienten Q (z) af formen

∑ikke≥0qikke(1/z)ikke{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} q_ {n} (1 / z) ^ {n}} op til kraften på 5 for eksempel: Q(z)=0+2,090909⋅(1/z)1-0,155372⋅(1/z)2+0,040421⋅(1/z)3+0,0309047⋅(1/z)4-0,015368⋅(1/z)5+0,{\ displaystyle \ textstyle \ scriptstyle Q (z) = 0 + 2,090909 \ cdot (1 / z) ^ {1} -0,155372 \ cdot (1 / z) ^ {2} +0,040421 \ cdot ( 1 / z) ^ {3} +0.0309047 \ cdot (1 / z) ^ {4} -0.015368 \ cdot (1 / z) ^ {5} +0,} vi ville få lidt forskellige responskurver, meget mindre præcise (upræcision ca. 6 gange større). Valget af tilnærmelsesgraden, med andre ord det bedste kompromis mellem beregningernes præcision og tyngde, dikteres af den konkrete undersøgelse af det specifikke problem, vi har at gøre med.   Fremgangsmåde ved tilnærmet identifikation af koefficienterne for X (z). At gå fra til , hvis ingen metode ser ud til at føre, i desperation kan vi altid forsøge at gå videre med identifikation ved at give z k + 1 numeriske værdier og ved at lede efter koefficienterne x (0) til x (k), som er løsninger på et system med k + 1 lineære ligninger med k + 1 ukendte. Eksempel:x(z){\ displaystyle X (z)}x(ikke){\ displaystyle x (n)}   Brug af rationelle fraktioner, eksempel på overføringsfunktionen i Fibonacci-sekvensen.

Den genererende serie af Fibonacci-sekvensen er ∑ikke∈IKKEFikkexikke=x1-x-x2{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ mathcal {F}} _ {n} X ^ {n} = {\ frac {X} {1-XX ^ {2}}}} så dens transformation i Z er

F(z)=zz2-z-1{\ displaystyle F (z) = {\ frac {z} {z ^ {2} -z-1}}

For at finde Binets formel , lad os foretage den omvendte transformation. Metoden til rationelle fraktioner kan prøves. Nævneren har to poler, og som er antallet af guld  : og det modsatte af dens modsatte: . Til nedenstående beregninger bruger vi følgende egenskaber for og  :, og z0{\ displaystyle z_ {0}}z1{\ displaystyle z_ {1}}z0=φ=1+52{\ displaystyle z_ {0} = \ varphi = {1 + {\ sqrt {5}} \ over 2}}z1=1-φ=1-52{\ displaystyle z_ {1} = 1- \ varphi = {1 - {\ sqrt {5}} \ over 2}}z0{\ displaystyle z_ {0}}z1{\ displaystyle z_ {1}}z0-z1=(2⋅z0-1)=5{\ displaystyle z_ {0} -z_ {1} = (2 \ cdot z_ {0} -1) = {\ sqrt {5}}}

(z-z0)⋅(z-z1)=z2-z-1{\ displaystyle (z-z_ {0}) \ cdot (z-z_ {1}) = z ^ {2} -z-1}.

Funktionen opdeles i elementære rationelle fraktioner, som vi omskriver lidt:

F(z)=zz2-z-1=15⋅(z0z-z0-z1z-z1)=15⋅(z0⋅1z-z0-z1⋅1z-z1){\ displaystyle F (z) = {\ frac {z} {z ^ {2} -z-1}} = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ cdot \ left ({\ frac { z_ {0}} {z-z_ {0}}} - {\ frac {z_ {1}} {z-z_ {1}}} \ højre) = {\ frac {1} {\ sqrt {5}} } \ cdot \ left (z_ {0} \ cdot {\ frac {1} {z-z_ {0}}} - z_ {1} \ cdot {\ frac {1} {z-z_ {1}}} \ ret)}.

En brøkdel af typen kan bearbejdes som følger: 1/(z-z0){\ displaystyle 1 / (z-z_ {0})}

1(z-z0)=z(z-z0)⋅1z{\ displaystyle {\ frac {1} {(z-z_ {0})}} = {\ frac {z} {(z-z_ {0})}} \ cdot {\ frac {1} {z}} }

Den første del er transformationen af ​​den sædvanlige eksponentielle formel, den anden del 1 / z er den rene forsinkelse af et hak. Så den omvendte transformation af denne elementære fraktion er ved at anvende reglerne for lineære kombinationer beregner vi den søgte sekvens: z0ikke{\ displaystyle z_ {0} ^ {n}}z0ikke-1{\ displaystyle z_ {0} ^ {n-1}}

Fikke=15(z0⋅z0ikke-1-z1⋅z1ikke-1)=15(z0ikke-z1ikke).{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n} = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ left (z_ {0} \ cdot z_ {0} ^ {n-1} -z_ {1} \ cdot z_ {1} ^ {n-1} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ left (z_ {0} ^ {n} -z_ {1} ^ {n} \ højre).}  

Forholdet til andre transformationer

Laplace-transformation

Sætning  -  Lad x være et signal, der antages at være en uendelig differentierbar funktion, og (med overskrivning betegner en distribution som en funktion)

Δ(t)=∑ikke=-∞∞δ(t-ikkeT){\ displaystyle \ Delta \ left (t \ right) = \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ left (t-nT \ right)}

Dirac-kam (som hører til rummet for tempererede fordelinger ). Det samplede signal , defineret af , er en distribution, der kan skrives som S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}xe=xΔ{\ displaystyle x_ {e} = x \ Delta}

xe(t)=∑ikke=-∞∞x(ikkeT)δ(t-ikkeT)=∑ikke=-∞∞x[ikke]δ(t-ikkeT){\ displaystyle x_ {e} \ left (t \ right) = \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) \ delta \ left (t-nT \ right ) = \ sum \ grænser _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ venstre [n \ højre] \ delta \ venstre (t-nT \ højre)}.

Korrespondensen er en overvejelse af konvergensbåndet til Laplace-transformationen af det samplede signal (forudsat at dette ikke-tomme konvergensbånd er) på konvergenskronen for Z-transformeringen af den generelle udtrykssekvens , og vi har s↦z=esT{\ displaystyle p \ mapsto z = e ^ {pT}} xe(s){\ displaystyle X_ {e} (p)}xe{\ displaystyle x_ {e}}x(z){\ displaystyle X (z)}x[ikke]{\ displaystyle x [n]}

xe(s)=x(z)|z=esT{\ displaystyle X_ {e} \ left (p \ right) = X \ left (z \ right) \ left \ vert _ {z = e ^ {pT}} \ right.}. Demonstration

Enten tilhører konvergensbåndet af . Derefter (med et nyt misbrug af skrivning) tilhører og pr. Definition hvor betegner Fourier-transformationen . Lad hvor er Schwartz-rummet med faldende funktioner (hvoraf er det dobbelte). Vi har (stadig i forkert skrivning) s=a+jegω{\ displaystyle p = \ alpha + i \ omega}xe(s){\ displaystyle X_ {e} (p)}e-atxe(t){\ displaystyle e ^ {- \ alpha t} x_ {e} (t)}S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}xe(s)=F(e-atxe(t))(ω){\ displaystyle X_ {e} \ left (p \ right) = {\ mathcal {F}} \ left (e ^ {- \ alpha t} x_ {e} \ left (t \ right) \ right) \ left ( \ omega \ right)}F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}ϕ∈S{\ displaystyle \ phi \ i {\ mathcal {S}}}S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}

⟨xe(a+jegω),φ(ω)⟩=⟨xe(t)e-at,(Fφ)(t)⟩=⟨∑ikke=-∞∞δ(t-ikkeT)x(t)e-at,(Fφ)(t)⟩=⟨∑ikke=-∞∞x(ikkeT)e-ikkeaTδ(t-ikkeT),(Fφ)(t)⟩=⟨∑ikke=-∞∞x(ikkeT)e-ikkeaT(Fδ(t-ikkeT)),φ(ω)⟩=⟨∑ikke=-∞∞x(ikkeT)e-ikkeaTe-jegωikkeT,φ(ω)⟩=⟨∑ikke=-∞∞x(ikkeT)e-ikke(a+jegω)T,φ(ω)⟩{\ displaystyle {\ begynde {justeret} \ venstre \ langle X_ {e} \ venstre (\ alpha + i \ omega \ højre), \ varphi \ venstre (\ omega \ højre) \ højre \ rangle & = \ venstre \ langle x_ {e} \ left (t \ right) e ^ {- \ alpha t}, ({\ mathcal {F}} \ varphi) \ left (t \ right) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ left (t-nT \ right) x \ left (t \ right) e ^ {- \ alpha t}, ({\ mathcal { F}} \ varphi) \ venstre (t \ højre) \ højre \ rangle \\ & = \ venstre \ langle \ sum \ grænser _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ venstre (nT \ højre) e ^ {- n \ alpha T} \ delta \ left (t-nT \ right), ({\ mathcal {F}} \ varphi) \ left (t \ right) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) e ^ {- n \ alpha T} ({\ mathcal {F}} \ delta \ left (t- nT \ højre)), \ varphi \ venstre (\ omega \ højre) \ højre \ rangle \\ & = \ venstre \ langle \ sum \ grænser _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ højre) e ^ {- n \ alpha T} e ^ {- i \ omega nT}, \ varphi \ venstre (\ omega \ højre) \ højre \ rangle \\ & = \ venstre \ langle \ sum \ grænser _ { n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) e ^ {- n (\ alpha + i \ omega) T}, \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle \ slutning {align}}}

følgelig

xe(s)=x(z)|z=esT{\ displaystyle X_ {e} (p) = X \ venstre (z \ højre) \ venstre \ vert _ {z = e ^ {pT}} \ højre.}.

Ovenstående lighed er gyldige, fordi vi i hver krog af dualitet til venstre har en hærdet fordeling og til højre en faldende funktion; derfor sender substitutionen konvergensbåndet for det samplede signal ind i konvergensringen af . s↦z=esT{\ displaystyle p \ mapsto z = e ^ {pT}}Bvs.{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {c}}xe(s){\ displaystyle X_ {e} (p)}xe{\ displaystyle x_ {e}}VSvs.{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}x(z){\ displaystyle X (z)}

Gensidigt, lad være rækkefølgen af ​​generelle termer  ; lad os indstille og . Det komplekse tal hører til if, og kun hvis sekvensen af ​​generelle termer hører til rummet for "langsomt voksende sekvenser" (dvs. af sekvenser a for hvilke der findes et heltal som for . Fouriertransformationen af ​​en sådan fortsættelse er - periodisk fordelingx[ikke]{\ displaystyle x \ left [n \ right]}xa[ikke]=x[ikke]e-aikkeT{\ displaystyle x _ {\ alpha} \ left [n \ right] = x \ left [n \ right] e ^ {- \ alpha nT}}s=a+jegω{\ displaystyle p = \ alpha + i \ omega}z=esT{\ displaystyle z = e ^ {pT}}VSvs.{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}xa[ikke]{\ displaystyle x _ {\ alpha} \ left [n \ right]}s′{\ displaystyle \ mathbf {s} ^ {\ prime}}k>0{\ displaystyle k> 0}på[ikke]=O(ikkek){\ displaystyle a \ left [n \ right] = O (n ^ {k})}ikke→∞{\ displaystyle n \ rightarrow \ infty}2π/T{\ displaystyle 2 \ pi / T}

(Fpå)(ω)=∑ikke=-∞∞på[ikke]e-jegikkeωT{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} a) \ left (\ omega \ right) = \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a \ left [n \ right] e ^ { -in \ omega T}}.

Lad os forbinde sekvensen med den definerede fordeling (i misbrug) af på_{\ displaystyle {\ understregning {a}}}

på_(t)=∑ikke=-∞∞på[ikke]δ(t-ikkeT){\ displaystyle {\ understregning {a}} \ venstre (t \ højre) = \ sum \ grænser _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a \ venstre [n \ højre] \ delta \ venstre (t- nT \ højre)}.

Kortet er en monomorfisme i rummet med tempererede fordelinger, og Fourier-transformeringen er en automorfisme af . Vi opnår derefter (stadig i voldelig notation) på↦på_{\ displaystyle a \ mapsto {\ understreget {a}}}s′{\ displaystyle \ mathbf {s} ^ {\ prime}}S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}

(Fpå)(ω)=på_(t)e-jegωt{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} a) \ left (\ omega \ right) = {\ understregning {a}} \ left (t \ right) e ^ {- i \ omega t}}.

Ovenstående viser det

⟨xe(a+jegω),φ(ω)⟩=⟨(Fxa_)(ω),φ(ω)⟩.{\ displaystyle \ left \ langle X_ {e} \ left (\ alpha + i \ omega \ right), \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle = \ left \ langle ({\ mathcal {F} } {\ understregning {x _ {\ alpha}}}) venstre (\ omega \ højre), \ varphi \ venstre (\ omega \ højre) \ højre \ rangle.}

Lad os sammenfatte: hvis , derfor , derfor , derfor (voldelig notation) , derfor . Vi har derfor vist, at korrespondancen er en afvisning af on . z∈VSvs.{\ displaystyle z \ i {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}(xa[ikke])∈s′{\ displaystyle \ left (x _ {\ alpha} \ left [n \ right] \ right) \ in \ mathbf {s} ^ {\ prime}}xa_∈S′{\ displaystyle {\ understregning {x _ {\ alpha}}} \ i {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}Fxa_∈S′{\ displaystyle {\ mathcal {F}} {\ understregning {x _ {\ alpha}}} \ i {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}xe(a+jegω)∈S′{\ displaystyle X_ {e} \ left (\ alpha + i \ omega \ right) \ i {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}s∈Bvs.{\ displaystyle p \ i {\ mathcal {B}} _ {c}}s↦z=esT{\ displaystyle p \ mapsto z = e ^ {pT}}Bvs.{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {c}}VSvs.{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}

Fourier-transformation og diskret Fourier-transformation

Hvis enhedscirklen hører til konvergenskronen , opnås Fourier-transformation af sekvensen ved at tage begrænsningen af ​​Z-transformationen af ​​denne sekvens til enhedscirklen, det vil sige ved at posere . Den Fouriertransformation er i virkeligheden den -periodic funktion (det er -periodic hvis vi sat og tage pulsering som en variabel ). Hvis er en række af reelle tal, kan vi derfor antages at variere i intervallet . VSvs.{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}(x[ikke]) {\ displaystyle (x [n]) \}z=ejegθ{\ displaystyle z = e ^ {i \ theta}}2π{\ displaystyle 2 \ pi}θ↦x(ejegθ){\ displaystyle \ theta \ mapsto X \ left (e ^ {i \ theta} \ right)}2π/T{\ displaystyle 2 \ pi / T}θ=ωT{\ displaystyle \ theta = \ omega T}ω{\ displaystyle \ omega}(x[ikke]) {\ displaystyle (x [n]) \}x(e-jegθ)=x(ejegθ)¯{\ displaystyle X \ left (e ^ {- i \ theta} \ right) = {\ overline {X \ left (e ^ {i \ theta} \ right)}}θ{\ displaystyle \ theta}[0,π[{\ displaystyle \ left [0, \ pi \ right [}

Den Fouriertransformation kan defineres for langsomt voksende sekvenser (det er så en -periodic fordeling ) og Z omdanne fra denne mere generelle Fouriertransformation (se demonstrationen ovenfor). 2π{\ displaystyle 2 \ pi}

Der er også et forhold mellem Z- transformeringen og den diskrete Fourier-transformation (DFT). TFD for et supportsignal opnås ved at evaluere i (med ). {xikke}{\ displaystyle \ left \ {x_ {n} \ right \}}{0,1,...,IKKE-1}{\ displaystyle \ left \ {0,1, ..., N-1 \ right \}}x(z){\ displaystyle X (z)}z=ejeg2πkIKKE{\ displaystyle z = e ^ {i {\ frac {2 \ pi k} {N}}}}k=0,1,...,IKKE-1{\ displaystyle \ qquad k = 0,1, ..., N-1}

Sædvanlige Z-transformationer

Nedenfor repræsenterer den enhedsimpuls eller " Kronecker- sekvens  " (lig med 1 for og 0 ellers; det kan også skrives , hvor er Kronecker-symbolet ); på den anden side betegner det enhedstrin (lig med 1 for og til 0 ellers). δ[ikke]{\ displaystyle \ delta [n] \,}ikke=0{\ displaystyle n = 0}δ0ikke{\ displaystyle \ delta _ {0} ^ {n}}δjegj{\ displaystyle \ delta _ {i} ^ {j}}u[ikke]{\ displaystyle u [n] \,}ikke≥0{\ displaystyle n \ geq 0}

Z transformeres

	Signal x(ikke){\ displaystyle x (n)}	Transformeret til Z x(z){\ displaystyle X (z)}	Område af konvergens
1	δ[ikke]{\ displaystyle \ delta [n] \,}	1{\ displaystyle 1 \,}	VS {\ displaystyle \ mathbb {C} \}
2	u[ikke]{\ displaystyle u [n] \,}	11-z-1{\ displaystyle {\ frac {1} {1-z ^ {- 1}}}}	|z|>1{\ displaystyle | z |> 1 \,}
3	ikkeu[ikke]{\ displaystyle nu [n] \,}	z-1(1-z-1)2{\ displaystyle {\ frac {z ^ {- 1}} {(1-z ^ {- 1}) ^ {2}}}}	|z|>1{\ displaystyle | z |> 1 \,}
4	påikkeu[ikke]{\ displaystyle a ^ {n} u [n] \,}	11-påz-1{\ displaystyle {\ frac {1} {1-az ^ {- 1}}}}	|z|>|på|{\ displaystyle | z |> | a | \,}
5	ikkepåikkeu[ikke]{\ displaystyle na ^ {n} u [n] \,}	påz-1(1-påz-1)2{\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1}} {(1-az ^ {- 1}) ^ {2}}}}	|z|>|på|{\ displaystyle | z |> | a | \,}
6	-påikkeu[-ikke-1]{\ displaystyle -a ^ {n} u [-n-1] \,}	11-påz-1{\ displaystyle {\ frac {1} {1-az ^ {- 1}}}}	|z|<|på|{\ displaystyle | z | <| a | \,}
7	-ikkepåikkeu[-ikke-1]{\ displaystyle -na ^ {n} u [-n-1] \,}	påz-1(1-påz-1)2{\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1}} {(1-az ^ {- 1}) ^ {2}}}}	|z|<|på|{\ displaystyle | z | <| a | \,}
8	cos⁡(ω0ikke)u[ikke]{\ displaystyle \ cos (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	1-z-1cos⁡(ω0)1-2z-1cos⁡(ω0)+z-2{\ displaystyle {\ frac {1-z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0})} {1-2z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + z ^ {- 2}}}}	|z|>1{\ displaystyle | z |> 1 \,}
9	synd⁡(ω0ikke)u[ikke]{\ displaystyle \ sin (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	z-1synd⁡(ω0)1-2z-1cos⁡(ω0)+z-2{\ displaystyle {\ frac {z ^ {- 1} \ sin (\ omega _ {0})} {1-2z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + z ^ {- 2} }}}	|z|>1{\ displaystyle | z |> 1 \,}
10	påikkecos⁡(ω0ikke)u[ikke]{\ displaystyle a ^ {n} \ cos (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	1-påz-1cos⁡(ω0)1-2påz-1cos⁡(ω0)+på2z-2{\ displaystyle {\ frac {1-az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0})} {1-2az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + a ^ {2 } z ^ {- 2}}}}	|z|>|på|{\ displaystyle | z |> | a | \,}
11	påikkesynd⁡(ω0ikke)u[ikke]{\ displaystyle a ^ {n} \ sin (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	påz-1synd⁡(ω0)1-2påz-1cos⁡(ω0)+på2z-2{\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1} \ sin (\ omega _ {0})} {1-2az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + a ^ {2} z ^ {- 2}}}}	|z|>|på|{\ displaystyle | z |> | a | \,}

Noter og referencer

Bemærkninger

1. Bourlès 2010 , §12.3.5
2. henhold til Lang 1993 , §II.2
3. Bourlès 2010 , §§12.3.5, 12.4.4; Pallu de la Barrière 1966 , kap. II
4. Bourlès 2010 , §10.2.3
5. Vi vendte om på et tidspunkt i beregningen, og hvad vi kan retfærdiggøre ( Schwartz 1965 , §V.5)F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}∑{\ displaystyle \ sum}
6. Bourlès 2010 , §12.3.2
7. Pallu de la Barrière 1966 , kap. 10, §4, Lemma 9.
8. Bourlès 2010 , §§12.3.3, 12.3.5

Referencer

• Henri Bourlès , Linear Systems , John Wiley & Sons ,2010, 544  s. ( ISBN  978-1-84821-162-9 og 1-84821-162-7 )
• (en) Serge Lang , kompleks analyse (3. udgave) , New York / Berlin / Paris osv., Springer,1993, 458  s. ( ISBN  0-387-97886-0 )
• Robert Pallu de la Barrière , Teoretisk automatik kursus , Dunod,1966
• Laurent Schwartz , Matematiske metoder til fysiske videnskaber , Hermann,1965

Se også

• Digitalt filter
• Laplace transformation # Endelig værdi
• Overførselsfunktion

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">