Schwartz plads

I matematik er Schwartz-rummet rummet med faldende funktioner (dvs. hurtigt faldende uendeligt differentierbare funktioner såvel som deres afledte af alle ordrer). Det dobbelte af dette rum er rummet for tempererede fordelinger . Pladser og spiller en vigtig rolle i teorien om Fourier-transformationen . ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {S}} ^ {{\ prime}}$ ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {S}} ^ {{\ prime}}$

Definition

En funktion $f$ er en del af rummet, når den kan defineres på ubestemt tid, og hvis $f$ og alle dens derivater hurtigt falder , det vil sige, at deres produkt af enhver polynomfunktion er begrænset til uendelig. De funktioner, der hører til , siges at være faldende . ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}$

For to multiindekser definerer vi normerne efter ${\ displaystyle \ alpha, \ beta}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ alpha, \ beta}}$

{\ displaystyle \ | f \ | _ {\ alpha, \ beta} = \ | x ^ {\ alpha} D ^ {\ beta} f \ | _ {\ infty}}

hvor er rækkefølge afledt af $f$ . Derefter kan Schwartz-rummet beskrives som ${\ displaystyle D ^ {\ beta} f}$ $\ beta$

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}) = \ {f \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ mid \ forall (\ alpha, \ beta) \ \ | f \ | _ {\ alpha, \ beta} <+ \ infty \}}

Hvis der ikke er tvetydighed, kan rummet simpelthen repræsenteres af bogstavet . ${\ mathcal {S}}$

Ejendomme

Topologi

Schwartz-rummet kan forsynes med en topologi, den indledende topologi forbundet med familien af semi-normer , svarende til den, der er forbundet med filtreringsfamilien af semi-normer defineret af: $(\ |. \ | _ {{\ alpha, \ beta}}) _ {{\ alpha, \ beta \ in \ mathbb {N} ^ {N}}}$ $({\ mathcal {N}} _ {p}) _ {{p \ in \ mathbb {N}}}$

{\ mathcal {N}} _ {p} (.) = \ sum _ {{| \ alpha |, | \ beta | \ leq p}} \ |. \ | _ {{\ alpha, \ beta}}, \, p \ i \ mathbb {N}.

Schwartz-rummet er, forsynet med denne topologi, et Fréchet-rum . At være defineret af en tællelig filtreringsfamilie af semi-normer, er det faktisk et lokalt konveks , adskilt , metriserbart rum , og det vises også, at det er komplet .

Den konvergens af en sekvens af defineres derfor som følger. En række af funktioner konvergerer til en hvis og hvis funktion ${\ mathcal {S}}$ ${\ displaystyle (\ phi _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ phi$ $\ phi \ i {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$

\ forall p \ in \ mathbb {N} \ quad \ lim _ {{n \ to \ infty}} {\ mathcal {N}} _ {p} (\ phi _ {n} - \ phi) = 0.

Dens topologiske dualitet er rummet for tempererede fordelinger ${\ mathcal {S}} '$ .

Eksempler

Rummet indeholder pladsen til funktionerne C ∞ med kompakt støtte . Dette rum, også bemærket , er tæt i betydningen af den (stærke) konvergens defineret ovenfor. ${\ mathcal {S}}$ $\ mathcal {D}$ $C_ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$
Det indeholder også andre elementer som funktionerne i produktformen af et polynom og en gaussisk:

x \ mapsto x ^ {\ alpha} e ^ {{- a \ | x \ | ^ {2}}} \ i {\ mathcal {S}}

til ethvert multiindeks α og ethvert ægte .

a> 0

Rummet er en vektor underrum af de forskellige rum $L$ $p$ for $1 \leq$ $p$ $\leq + \infty$ . Det er desuden tæt i hvert af disse sæt undtagen $L$ $\infty$ . ${\ mathcal {S}}$

Schwartz rumoperationer

Rummet er stabilt ved intern tilføjelse og ved afledning, og disse operationer definerer kontinuerlige operatører. ${\ mathcal {S}}$
Rummet er stabilt ved intern multiplikation eller endog ved multiplikation med en hvilken som helst funktion af. Især er det stabil ved multiplikation med en polynomfunktion. For enhver funktion af er operatøren defineret af kontinuerlig i sig selv. ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N}).$ $f$ ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ phi \ mapsto f \ phi$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$

Multiplikatorer af :

{\ mathcal {S}}

Vi definerer multiplikatorrummet som delmængde af funktionerne, hvis alle derivater har polynomvækst, dvs. ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N})$

\ forall \ alpha \ in (\ mathbb {N} ^ {N}) \ quad \ eksisterer C _ {\ alpha}> 0, \ eksisterer N _ {\ alpha} \ i \ mathbb {N} \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {N} \ quad | (\ partial ^ {\ alpha} f) (x) | \ leq C _ {\ alpha} (1+ | x |) ^ {{N _ {\ alfa}}}.

Vi kalder rummet med langsomt voksende funktioner på ubestemt tid. ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})$

Den Fourier transformation inducerer en topologisk automorfi af . Denne automorfisme er givet af ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {F}}$ $\ left ({\ mathcal {F}} f \ right) \ left (\ xi \ right) = \ int _ {{\ mathbb {R} ^ {N}}} f (x) {{\ rm {e} }} ^ {{- 2 {{\ rm {i}}} \ pi \ xi x}} {{\ rm {d}}} x$ hvor den inverse automorfisme er givet af $\ xi x = \ sum _ {{k = 1}} ^ {N} \ xi _ {k} x_ {k}.$ ${\ mathcal {{\ bar {F}}}},$ $\ left ({\ mathcal {{\ bar {F}}}} f \ right) \ left (\ xi \ right) = \ int _ {{\ mathbb {R} ^ {N}}} f (x) { {\ rm {e}}} ^ {{2 {{\ rm {i}}} \ pi \ xi x}} {{\ rm {d}}} x.$ Den Plancherel-Parseval teoremet siger, at hvis vi udstyre den prehilbertian struktur induceret af Fouriertransformationen er en enhed operatør af i sig selv. ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ supset {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$
Schwartz-klassen er absorberende til opløsningsproduktet med ${\ mathcal {E}} '$ : til enhver distribution med kompakt understøtning og Schwartz-funktion, vi har $T \ in {\ mathcal {E}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ phi \ i {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$

T \ ast \ phi \ i {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}).

Mere generelt betegner vi sættet med viklere af det vil sige sættet af fordelinger , som sendes kontinuerligt i Dette sæt er et vektorunderrum af (det vil sige rummet for hærdede fordelinger ), der indeholder fordelingerne med kompakt understøtning og de lokalt integrerede hurtige henfaldsfunktioner. Derfor kalder vi rummet for hurtigt faldende fordelinger. Udstyret med kollisionsproduktet er derudover en associerende , kommutativ og samlet algebra, på hvilken og er enhedsmoduler . ${\ mathcal {O}} _ {c} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$ $T \ in {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ $g \ mapsto g \ ast T$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}).$ ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {O}} _ {c} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {O}} _ {{c}} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$

Noter og referencer

Bemærk

Referencer

(en) Harish-Chandra , “ Diskret serie til semisimple løgngrupper. II. Eksplicit bestemmelse af tegnene ” , Acta Math. , Vol. 116,1966, s. 1-111
L. Schwartz , " Distributionsteori og Fourier-transformation ", Annales de l ' Université de Grenoble , bind. 23, 1947-1948, s. 7-24 ( læs online )
Laurent Schwartz , distributionsteorien , Paris, Hermann,1966, 418 s. ( ISBN 2-7056-5551-4 )
[PDF] F. Golse , fordelinger, Fourier-analyse, delvise differentialligninger , École polytechnique, 2012, kursuddeling