Arbejde af en styrke

Det arbejde en kraft er den energi, der leveres af denne kraft når dens angrebspunkt bevæger (objektet undergår kraften flytter eller deformeres). Det er ansvarligt for variationen af ​​den kinetiske energi i systemet, der gennemgår denne kraft. Hvis for eksempel en cykel skubbes, er arbejdet med skubbet den energi, der produceres af dette skub. Denne forestilling med dette navn blev introduceret af Gaspard-Gustave Coriolis .

Arbejde udtrykkes i joule (J) i det internationale system . Det bemærkes generelt eller W (begyndelsen på arbejdet , det engelske ord for "arbejde"). T{\ displaystyle {\ mathcal {T}}}

Definition

For en lille retlinet forskydning af kraftens påføringspunkt er kraftens elementære arbejde pr. Definition: du→{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {u}}}F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}

δW=F→⋅du→{\ displaystyle \ delta W = {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {u}}}.

Arbejdet med en kraft til en endelig forskydning er derfor lig med cirkulationen af denne kraft langs stien til kraftens påføringspunkt: VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}

W=∫VSF→⋅du→{\ displaystyle W = \ int _ {\ mathcal {C}} {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {u}}}.

En konstant kraft, der påføres en genstand, der kører en retlinet sti, giver arbejde W  : F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}

W=F→⋅u→=‖F→‖×‖u→‖×cos⁡(F→,u→){\ displaystyle W = {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {u}} = \ | {\ vec {F}} \ | \ times \ | {\ vec {u}} \ | \ times \ cos ({\ vec {F}}, {\ vec {u}})}.

Ved at opdele i to komponenter: den ene er parallel med og den anden vinkelret, bemærker man, at den vinkelrette komponent ikke fungerer, og at kun den parallelle komponent fungerer ved anvendelse af en egenskab ved det skalære produkt . F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}

Hvis bane er cirkulær (for eksempel i det tilfælde, hvor punktet for påføring af en kraft er i rotation omkring en akse ), så det elementære arbejde resulterende moment er værd , hvor er det øjeblik af kraft for , den vinkel gennemkøres af faststof i løbet af en kort varighed d t og en enhedsvektor orientere rotationsaksen. (Δ){\ displaystyle (\ Delta) \,}δW=M→⋅u→Δdθ{\ displaystyle \ delta W = {\ vec {M}} \ cdot {\ vec {u}} _ {\ Delta} \ mathrm {d} \ theta}M→{\ displaystyle {\ vec {M}}}(Δ){\ displaystyle (\ Delta) \,}dθ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ theta}u→Δ{\ displaystyle {\ vec {u}} _ {\ Delta}}

Definition fra magt

Den elementære forskydning over et tidsinterval er pr. Definition , hvor repræsenterer forskydningshastigheden for kraftens påføringspunkt. Kraftens elementære arbejde kan derfor defineres på en ækvivalent måde startende fra den øjeblikkelige kraft (i watt) af denne kraft: dt{\ displaystyle dt}du→=v→dt{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {u}} = {\ vec {v}} \, \ mathrm {d} t}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}F→{\ displaystyle {\ vec {F}}} P(t){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (t)}

δW=P(t)dt=F→⋅v→dt{\ displaystyle \ delta W = {\ mathcal {P}} (t) \, \ mathrm {d} t = {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {v}} \, \ mathrm {d} t }.

Arbejdet med en kraft over en endelig varighed er derefter lig med integralet af kraftens øjeblikkelige kraft i løbet af denne varighed.

Konkrete sager

Overvej en konstant kraft, der påføres et objekt, der bevæger sig på en retlinet sti (Der er ingen andre kræfter, der virker på objektet). Et antal specifikke tilfælde illustrerer forestillingen om en styrkes arbejde: F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}

• hvis kraften er parallel med forskydningen og orienteret i samme retning, er arbejdet, der leveres af kraften positivt: ifølge kinetisk energi sætning har kraften øget systemets kinetiske energi, den bevæger sig derfor hurtigere. En sådan styrke kaldes undertiden en drivkraft  ;F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}W=F→⋅u→{\ displaystyle W = {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {u}}}
• hvis , er kraftens arbejde positivt. Styrken siges at være motiv . Vi kan mere simpelt sige, at hvis kraften er motiv, favoriserer den forskydningen (hastigheden stiger);0∘<(F→,u→)<90∘{\ displaystyle 0 ^ {\ circ} <({\ vec {F}}, {\ vec {u}}) <90 ^ {\ circ}}F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}

• hvis kraften er parallel med forskydningen, men orienteret i den modsatte retning, er kraftens arbejde negativt: ifølge kinetisk energisætningen har kraften reduceret systemets kinetiske energi, den bevæger sig derfor langsommere. En sådan styrke kaldes undertiden en modstandsstyrke  ;F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}W=F→⋅u→{\ displaystyle W = {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {u}}}
• hvis , så er arbejdet med magt negativt. Kraften er modstandsdygtig . Vi kan mere simpelt sige, at hvis kraften er modstandsdygtig, modsætter den sig forskydningen (hastigheden falder);90∘<(F→,u→)<180∘{\ displaystyle 90 ^ {\ circ} <({\ vec {F}}, {\ vec {u}}) <180 ^ {\ circ}}
  F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}

• hvis kraften er vinkelret på forskydningen , er kraftens arbejde nul ( W = 0): kraften har ikke ændret systemets kinetiske energi. Vi kan mere simpelt sige, at hvis kraften er vinkelret på forskydningen, ændrer den ikke forskydningen.F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}

Denne sidste sag bør ikke antyde, at en styrke, hvis arbejde er nul, ikke har nogen indvirkning på et system. Således i tilfælde af et fast i ensartet cirkulær bevægelse har centripetalkraften nul arbejde (den ensartede cirkulære bevægelse ændres ikke). Hvis man imidlertid fjerner den centripetale kraft den faste ophøre sin cirkulære bevægelse og bevæge sig i lineær bevægelse, ifølge den 1 st Newtons lov .

De kræfter, hvis arbejde er nul, ændrer ikke faststoffets kinetiske energi. Især ændrer de ikke hastighedsstandarden; dog kan de ændre retning.

Konservative kræfter arbejder

De konservative kræfter er pr. Definition kræfter, hvis arbejde ikke afhænger af den fulgte vej, men kun start- og slutpositioner. I tilfælde af sådanne kræfter er der en tilknyttet potentiel energi, hvis variation er det modsatte af arbejde.

Den vægt er et eksempel på en konservativ kraft, hvis arbejde er modsat variationen af den potentielle energi af tyngdekraften. De mest almindelige modeksempler er friktion , hvis arbejde altid afhænger af den fulde vej.

Overveje et legeme af masse m rejser fra A til B og en markør , aksen idet det antages at være lodret og rettet i den modsatte retning af tyngdekraften  : . I dette tilfælde er vægtens arbejde værd: (O,x→,y→,z→){\ displaystyle \ left (O, {\ vec {x}}, {\ vec {y}}, {\ vec {z}} \ right)}z→{\ displaystyle {\ vec {z}}}g→=-gz→{\ displaystyle {\ vec {g}} = - g \, {\ vec {z}}}

W=∫PÅBP→⋅du→{\ displaystyle W = \ int _ {A} ^ {B} {\ vec {P}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {u}}}.

Hvis vi mener, at vægten er konstant langs stien mellem A og B, har vi:

W=P→⋅PÅB→=mg→⋅PÅB→=-mgz→⋅PÅB→{\ displaystyle W = {\ overrightarrow {P}} \ cdot {\ overrightarrow {AB}} = m \, {\ overrightarrow {g}} \ cdot {\ overrightarrow {AB}} = - mg \, {\ overrightarrow { z}} \ cdot {\ overrightarrow {AB}}}.

Hvis vi betegner koordinaterne for punkt A og dem af B , derefter koordinaterne for vektorerne og er som følger: (xPÅ,yPÅ,zPÅ){\ displaystyle \ left (x_ {A}, y_ {A}, z_ {A} \ right)}(xB,yB,zB){\ displaystyle \ left (x_ {B}, y_ {B}, z_ {B} \ right)}P→{\ textstyle {\ overrightarrow {P}}}PÅB→{\ textstyle {\ overrightarrow {AB}}}

P→=-mgz→{\ displaystyle {\ vec {P}} = - mg \, {\ vec {z}}}PÅB→=(xB-xPÅ)x→+(yB-yPÅ)y→+(zB-zPÅ)z→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} = \ venstre (x_ {B} -x_ {A} \ højre) {\ vec {x}} + \ venstre (y_ {B} -y_ {A} \ højre) { \ vec {y}} + \ venstre (z_ {B} -z_ {A} \ højre) {\ vec {z}}}

og pr. definition af det skalære produkt forenkles vægtenes arbejde som følger:

W=P→⋅PÅB→=-mg(zB-zPÅ){\ displaystyle W = {\ overrightarrow {P}} \ cdot {\ overrightarrow {AB}} = - mg \ left (z_ {B} -z_ {A} \ right)}

Arbejdet med kroppens vægt er derfor uafhængig af den vej, der følges under dets bevægelse, det afhænger kun af variationen i højden af dette legems tyngdepunkt .

Beregningseksempel

En person med en vægt på 80  kg klatrer oprejst på en 50 centimeter høj stol. Hvad udføres arbejdet efter denne persons vægt?

W=-m g(zB-zPÅ){\ displaystyle W = -m \ g \ left (z_ {B} -z_ {A} \ right)}, hvor 9,81 repræsenterer jordens konstante g- karakteristiske (i newton pr. kilogram), 80 massen i kg og 0,5 højden i meter. Vægten er en modstandskraft i dette tilfælde (den "modsætter sig" personens bevægelse). W=-80×9,81×(0,5-0)=-392,4 J{\ displaystyle W = -80 \ times 9.81 \ times (0.5-0) = - 392.4 \ \ mathrm {J}}

Tryk kræfter arbejde

Arbejdet, der fremkaldes af trykkræfterne, svarer til den mest almindelige form for arbejde, der opstår i klassisk termodynamik , en disciplin, der udviklede sig med fremkomsten af ​​den industrielle æra, der i det væsentlige var baseret på dampmaskinen.

Det mekaniske arbejde, der indsættes i en motor gennem en stempel-cylinderenhed, svarer til stempelets arbejde mod det ydre tryk . sext{\ displaystyle p _ {\ mathrm {ext}}}

Det vil sige den kraft, som det eksterne medium udøver på overfladestemplet . Fext{\ displaystyle F _ {\ mathrm {ext}}}S {\ displaystyle S ~}

Hvis stemplet bevæger sig en lille elementær længde , bliver det elementære arbejde, der udføres af det: dℓ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ ell}

δWfs=Fextdℓ{\ displaystyle \ delta W _ {\ mathrm {fp}} = F _ {\ mathrm {ext}} \ mathrm {d} \ ell}

guld

Fext=sextS{\ displaystyle F _ {\ mathrm {ext}} = p _ {\ mathrm {ext}} S}

hvorfra

δWfs=sextSdℓ{\ displaystyle \ delta W _ {\ mathrm {fp}} = p _ {\ mathrm {ext}} \, S \, \ mathrm {d} \ ell}

Vi opnår således:

δWfs=sextdV{\ displaystyle \ delta W _ {\ mathrm {fp}} = p _ {\ mathrm {ext}} \, \ mathrm {d} V} dV{\ displaystyle \ mathrm {d} V}er en uendelig minimal variation af systemets lydstyrke, der svarer på et matematisk niveau til forskellen i lydstyrken.

For at respektere reglen om tegn på, at det arbejde, der udføres af motorsystemet i det eksterne miljø, er negativt, da det er positivt (udvidelse), anbefales det at tilføje minustegnet . dV{\ displaystyle \ mathrm {d} V}

δWfs=-sextdV{\ displaystyle \ delta W _ {\ mathrm {fp}} = - p _ {\ mathrm {ext}} \ mathrm {d} V}.

For en reel transformation defineret af banen AB afhænger arbejdet af denne bane og er derfor ikke uafhængig af den fulgte vej:

WPÅB=∫PÅB-sextdV{\ displaystyle W_ {AB} = \ int _ {A} ^ {B} -p _ {\ mathrm {ext}} \, \ mathrm {d} V}.

Bemærkninger:

• hvis stemplet virker mod vakuumet, er arbejdet nul;
• i tilfælde af en isobar transformation (konstant tryk), et ofte forekommende tilfælde, af en motor, der arbejder mod atmosfærisk tryk:

WPÅB=-sext∫PÅBdV=-sext(VB-VPÅ){\ displaystyle W_ {AB} = - p _ {\ mathrm {ext}} \ int _ {A} ^ {B} \ mathrm {d} V = -p _ {\ mathrm {ext}} (V_ {B} -V_ {AT})}. I dette tilfælde afhænger arbejdet ikke længere af den fulgte vej, men kun af tilstandene i ligevægt A og B.

Virtuelt arbejde

Hvis forskydningen er virtuelt , det arbejde af en kraft anses også virtuelt  : . Måleenheden for et virtuelt værk er også joule , herunder når man bruger generaliserede koordinater, fordi vi derefter bruger den generaliserede kraftbekræftelse . δr→{\ displaystyle \ delta {\ vec {r}}}F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}δW=∑jegF→jeg⋅δr→jeg{\ textstyle \ delta W = \ sum _ {i} {\ vec {F}} _ {i} \ cdot \ delta {\ vec {r}} _ {i}} δqj{\ displaystyle \ delta q_ {j}} Qj{\ displaystyle Q_ {j}}δW=∑jegF→jeg⋅δr→jeg=∑j=1ikkeQjδqj{\ displaystyle \ delta W = \ sum _ {i} {\ vec {F}} _ {i} \ cdot \ delta {\ vec {r}} _ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ { n} Q_ {j} \, \ delta q_ {j}}

Det princip d'Alembert sagde, at den virtuelle arbejde alle kræfter tvang er nul.

Referencer

1. Gaspard-Gustave Coriolis, om en ny betegnelse og om en ny enhed, der skal introduceres i det dynamiske , Académie des sciences, august 1826.
2. Élie Lévy , Dictionary of Physics , Paris, University Press of France ,Januar 1988, 1 st  ed. , 892  s. ( ISBN  2-13-039311-X ) , s.  793.

Relaterede artikler

• Kraft (fysisk)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">