Tetrahedron trigonometri
I geometri er tetraederens trigonometri det sæt af forhold, der eksisterer mellem længderne på kanterne og de forskellige vinkler på en tetraeder (enhver).
Trigonometriske størrelser
Definitioner og notationer
Lad være ethvert tetraeder, hvor og er vilkårlige (men ikke coplanar ) punkter i tredimensionelt rum . De tilknyttede trigonometriske størrelser er længderne på de seks kanter og arealerne på de seks flader, de tolv vinkler på de fire flader, de seks tovinklede vinkler mellem ansigterne og de fire faste vinkler ved hjørnerne. Mere præcist, hvis vi betegner, er kanten, der forbinder og , og ansigtet modsat af (og derfor ), med og , sætter vi
x=P1P2P3P4¯{\ displaystyle X = {\ overline {P_ {1} P_ {2} P_ {3} P_ {4}}}}P1,P2,P3{\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}}P4{\ displaystyle P_ {4}}ejegj{\ displaystyle e_ {ij}}Pjeg{\ displaystyle P_ {i}}Pj{\ displaystyle P_ {j}}Fjeg{\ displaystyle F_ {i}}Pjeg{\ displaystyle P_ {i}}Fjeg=PjPkPl¯{\ displaystyle F_ {i} = {\ overline {P_ {j} P_ {k} P_ {l}}}}jeg,j,k,l∈{1,2,3,4}{\ displaystyle i, j, k, l \ in \ {1,2,3,4 \}}jeg≠j≠k≠l{\ displaystyle i \ neq j \ neq k \ neq l}
-
djegj{\ displaystyle d_ {ij}}= kantens længde ;ejegj{\ displaystyle e_ {ij}}
-
ajeg,j{\ displaystyle \ alpha _ {i, j}}= vinklen ved toppunktet på ansigtet (med andre ord vinklen );Pjeg{\ displaystyle P_ {i}}Fj{\ displaystyle F_ {j}}PjegPk,PjegPl^{\ displaystyle {\ widehat {P_ {i} P_ {k}, P_ {i} P_ {l}}}}
-
θjegj{\ displaystyle \ theta _ {ij}}= den tovinklede vinkel mellem de to flader, der støder op til kanten ;ejegj{\ displaystyle e_ {ij}}
-
Ωjeg{\ displaystyle \ Omega _ {i}}= den faste vinkel øverst .Pjeg{\ displaystyle P_ {i}}
-
Δjeg{\ displaystyle \ Delta _ {i}}= ansigtsområdet .Fjeg{\ displaystyle F_ {i}}
Områder og volumen
Lad være det område af ansigtet . At kende de tre længder af kanterne har vi ( Herons formel )
Δjeg{\ displaystyle \ Delta _ {i}}Fjeg{\ displaystyle F_ {i}}
Δjeg=(djk+djl+dkl)(-djk+djl+dkl)(djk-djl+dkl)(djk+djl-dkl)16{\ displaystyle \ Delta _ {i} = {\ sqrt {\ frac {(d_ {jk} + d_ {jl} + d_ {kl}) (- d_ {jk} + d_ {jl} + d_ {kl}) (d_ {jk} -d_ {jl} + d_ {kl}) (d_ {jk} + d_ {jl} -d_ {kl})} {16}}}}(eller mere simpelt at kende en af vinklerne ).
Δjeg=12djkdjlsyndaj,jeg{\ displaystyle \ Delta _ {i} = {\ frac {1} {2}} d_ {jk} d_ {jl} \ sin \ alpha _ {j, i}}
Lade være den højde førte fra , det vil sige, at afstanden fra toppen til ansigtet . Den volumen af tetraeder er givet ved ; det kan udtrykkes direkte ved hjælp af kvadraterne i kantlængderne ved forholdet:
hjeg{\ displaystyle h_ {i}}Pjeg{\ displaystyle P_ {i}}Pjeg{\ displaystyle P_ {i}}Fjeg{\ displaystyle F_ {i}}V=13Δjeghjeg{\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} \ Delta _ {i} h_ {i}}
288V2=|2d122d122+d132-d232d122+d142-d242d122+d132-d2322d132d132+d142-d342d122+d142-d242d132+d142-d3422d142|{\ displaystyle 288V ^ {2} = {\ begin {vmatrix} 2d_ {12} ^ {2} & d_ {12} ^ {2} + d_ {13} ^ {2} -d_ {23} ^ {2} & d_ {12} ^ {2} + d_ {14} ^ {2} -d_ {24} ^ {2} \\ d_ {12} ^ {2} + d_ {13} ^ {2} -d_ {23 } ^ {2} & 2d_ {13} ^ {2} & d_ {13} ^ {2} + d_ {14} ^ {2} -d_ {34} ^ {2} \\ d_ {12} ^ {2 } + d_ {14} ^ {2} -d_ {24} ^ {2} & d_ {13} ^ {2} + d_ {14} ^ {2} -d_ {34} ^ {2} & 2d_ {14 } ^ {2} \ end {vmatrix}}}.
Foreløbige resultater
Afgrænse trekanter
Ansigtet er en trekant, hvis sider har længder, og de respektive vinkler modsat disse sider er . De klassiske forhold mellem trekant trigonometri gælder, for eksempel har vi ( cosinusloven )Fjeg{\ displaystyle F_ {i}}djk,djl,dkl{\ displaystyle d_ {jk}, d_ {jl}, d_ {kl}}al,jeg,ak,jeg,aj,jeg{\ displaystyle \ alpha _ {l, i}, \ alpha _ {k, i}, \ alpha _ {j, i}}dkl2=djk2+djl2-2djkdjlcosaj,jeg.{\ displaystyle d_ {kl} ^ {2} = d_ {jk} ^ {2} + d_ {jl} ^ {2} -2d_ {jk} d_ {jl} \ cos \ alpha _ {j, i}.}
Projektive trekanter
Den flag ved toppunktet (dvs. det sæt af kanter og flader, der passerer gennem det) kan fortolkes af centrale fremspring fra toppunktet som en sfærisk trekant , hvis hjørner er de tre kanter, siderne er de tre ansigter har for længde (på enhedssfære) , og vinklerne er henholdsvis de tovinklede vinkler . De klassiske forhold mellem sfærisk trigonometri gælder, og vi har for eksempel ( cosinusformel )Pjeg{\ displaystyle P_ {i}}ajeg,j,ajeg,k,ajeg,l{\ displaystyle \ alpha _ {i, j}, \ alpha _ {i, k}, \ alpha _ {i, l}} θjegj,θjegk,θjegl{\ displaystyle \ theta _ {ij}, \ theta _ {ik}, \ theta _ {il}}cosajeg,j=cosajeg,kcosaj,k+syndajeg,ksyndaj,kcosθjeg,j .{\ displaystyle \ cos \ alpha _ {i, j} = \ cos \ alpha _ {i, k} \, \ cos \ alpha _ {j, k} + \ sin \ alpha _ {i, k} \, \ sin \ alpha _ {j, k} \, \ cos \ theta _ {i, j} ~.}
Trigonometriske forhold i tetraederet
Skiftende sinus sætning
Blandt de ni vinkler på tre samtidige overflader øverst , seks kunne ikke lide toppen, er bundet af følgende identitet (svarende til rotation omkring de to mulige retninger) .
Pjeg{\ displaystyle P_ {i}}Pjeg{\ displaystyle P_ {i}}Pjeg{\ displaystyle P_ {i}}syndaj,lsyndak,jsyndal,k=syndaj,ksyndak,lsyndal,j{\ displaystyle \ sin \ alpha _ {j, l} \ sin \ alpha _ {k, j} \ sin \ alpha _ {l, k} = \ sin \ alpha _ {j, k} \ sin \ alpha _ { k, l} \ sin \ alpha _ {l, j}}
Form plads
De således opnåede fire identiteter er ikke uafhængige: ved at multiplicere medlem med medlem tre af dem og ved at forenkle opnår vi den fjerde. Med udgangspunkt i et sæt på tolv vilkårlige vinkler betyder disse tre identiteter og de fire begrænsninger på summen af de tre vinkler på hvert ansigt (skal være lig med π), at rummet for tetraederens former skal have dimension 5, hvilket bekræfter det faktum, at de 6 længder af kanterne bestemmer en enkelt tetraeder, og derfor er alle tetraederne med samme form homotetiske til det, datoen for fem tal er tilstrækkelig til at karakterisere formen.
Lov om sines
Den absolutte værdi af den polære sinus (psin) af vektorerne, der er normale for tre ansigter, der har et toppunkt til fælles, divideret med området for den fjerde overflade, afhænger ikke af valget af dette toppunkt:
|psin(ikke2,ikke3,ikke4)|Δ1=|psin(ikke1,ikke3,ikke4)|Δ2=|psin(ikke1,ikke2,ikke4)|Δ3=|psin(ikke1,ikke2,ikke3)|Δ4=(3Bindtetrpåedre)22Δ1Δ2Δ3Δ4.{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {{\ bigl |} \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {3}}, \ mathbf {n_ {4} }) {\ bigr |}} {\ Delta _ {1}}} = {\ frac {{\ bigl |} \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {1}}, \ mathbf {n_ {3}} , \ mathbf {n_ {4}}) {\ bigr |}} {\ Delta _ {2}}} = {\ frac {{\ bigl |} \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {1}}, \ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {4}}) {\ bigr |}} {\ Delta _ {3}}} = {\ frac {{\ bigl |} \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {1}}, \ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {3}}) {\ bigr |}} {\ Delta _ {4}}} \\ [4pt] = {} & {\ frac {(3 \ operatorname {Volume} _ {\ mathrm {tetraedre}}) ^ {2}} {2 \ Delta _ {1} \ Delta _ {2} \ Delta _ {3} \ Delta _ {4 }}} \ ,. \ end {justeret}}}(mere generelt for en n - simplex (for eksempel en trekant ( n = 2 ), hvor denne formel svarer til loven om sines eller et pentachorum ( n = 4 ) osv.) af et euklidisk rum med dimension n , vi har den samme relation, hvor den fælles værdi er , hvor V er volumenet af simplex, og P er produktet af områderne med dens ansigter).
(ikkeV)ikke-1(ikke-1)!P{\ displaystyle {\ frac {(nV) ^ {n-1}} {(n-1)! P}}}
Cosinus lov
En analog af det cosinus lov forbinder områderne ansigterne på de to-plans vinkler: .
Δjeg2=Δj2+Δk2+Δl2-2(ΔjΔkcosθjegl+ΔjΔlcosθjegk+ΔkΔlcosθjegj){\ displaystyle \ Delta _ {i} ^ {2} = \ Delta _ {j} ^ {2} + \ Delta _ {k} ^ {2} + \ Delta _ {l} ^ {2} -2 (\ Delta _ {j} \ Delta _ {k} \ cos \ theta _ {il} + \ Delta _ {j} \ Delta _ {l} \ cos \ theta _ {ik} + \ Delta _ {k} \ Delta _ {l} \ cos \ theta _ {ij})}
Forholdet mellem tovinklede vinkler
Ved at projicere (ortogonalt) de tre ansigter på ansigtets plan og ved at indstille ser vi let, at arealet af ansigtet er den (algebraiske) sum af de projicerede områder, det vil sige det ; man udleder af det det homogene lineære system
. Da dette system har den ikke-trivielle opløsning, der svarer til tetraedronet, er determinanten nul.
Fjeg,Fj,Fk{\ displaystyle F_ {i}, F_ {j}, F_ {k}}Fl{\ displaystyle F_ {l}}vs.jegj=cosθjegj{\ displaystyle c_ {ij} = \ cos \ theta _ {ij}}Fl{\ displaystyle F_ {l}}Δl=Δjegvs.jk+Δjvs.jegk+Δkvs.jegj{\ displaystyle \ Delta _ {l} = \ Delta _ {i} c_ {jk} + \ Delta _ {j} c_ {ik} + \ Delta _ {k} c_ {ij}}{-Δ1+Δ2vs.34+Δ3vs.24+Δ4vs.23=0Δ1vs.34-Δ2+Δ3vs.14+Δ4vs.13=0Δ1vs.24+Δ2vs.14-Δ3+Δ4vs.12=0Δ1vs.23+Δ2vs.13+Δ3vs.12-Δ4=0{\ displaystyle {\ begin {cases} - \ Delta _ {1} + \ Delta _ {2} c_ {34} + \ Delta _ {3} c_ {24} + \ Delta _ {4} c_ {23} = 0 \\\ Delta _ {1} c_ {34} - \ Delta _ {2} + \ Delta _ {3} c_ {14} + \ Delta _ {4} c_ {13} = 0 \\\ Delta _ { 1} c_ {24} + \ Delta _ {2} c_ {14} - \ Delta _ {3} + \ Delta _ {4} c_ {12} = 0 \\\ Delta _ {1} c_ {23} + \ Delta _ {2} c_ {13} + \ Delta _ {3} c_ {12} - \ Delta _ {4} = 0 \ end {cases}}}|-1vs.34vs.24vs.23vs.34-1vs.14vs.13vs.24vs.14-1vs.12vs.23vs.13vs.12-1|{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} -1 & c_ {34} & c_ {24} & c_ {23} \\ c_ {34} & - 1 & c_ {14} & c_ {13} \\ c_ {24 } & c_ {14} & - 1 & c_ {12} \\ c_ {23} & c_ {13} & c_ {12} & - 1 \ end {vmatrix}}}
Udvidelse denne determinant, opnår vi en sammenhæng mellem de to-plans vinkler: .
1-∑1≤jeg<j≤4vs.jegj2+∑j=2k≠l≠j4vs.1j2vs.kl2=2(∑jeg=1j≠k≠l≠jeg4vs.jegjvs.jegkvs.jegl+∑2≤j<k≤4l≠j,kvs.1jvs.1kvs.jlvs.kl){\ displaystyle 1- \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq 4} c_ {ij} ^ {2} + \ sum _ {j = 2 \ oven på k \ neq l \ neq j} ^ {4} c_ {1j} ^ {2} c_ {kl} ^ {2} = 2 \ tilbage (\ sum _ {i = 1 \ oven på j \ neq k \ neq l \ neq i} ^ {4} c_ {ij} c_ { ik} c_ {il} + \ sum _ {2 \ leq j <k \ leq 4 \ oven på l \ neq j, k} c_ {1j} c_ {1k} c_ {jl} c_ {kl} \ højre)}
Afstande mellem kanter
Ved antagelser, de to kanter og er ikke i samme plan; udvælgelse (på ) og (om ) frem til deres fælles vinkelret (dvs. at linjen er vinkelret på to kanter), den afstanden mellem de to kanter , er defineret af segmentlængden (c 'er den korteste afstand mellem to punkter på kanterne).
ejegj{\ displaystyle e_ {ij}}ekl{\ displaystyle e_ {kl}}Pjegj{\ displaystyle P_ {ij}}ejegj{\ displaystyle e_ {ij}}Pkl{\ displaystyle P_ {kl}}ekl{\ displaystyle e_ {kl}}(PjegjPkl){\ displaystyle (P_ {ij} P_ {kl})}Rjegj{\ displaystyle R_ {ij}}[Pjegj,Pkl]{\ displaystyle [P_ {ij}, P_ {kl}]}
Grundlæggende, men ret smertefulde, trigonometriske beregninger fører til følgende formel:
Rjegj=12V4djegj2dkl2-(djegk2+djl2-djegl2-djk2)2{\ displaystyle R_ {ij} = {\ frac {12V} {\ sqrt {4d_ {ij} ^ {2} d_ {kl} ^ {2} - (d_ {ik} ^ {2} + d_ {jl} ^ {2} -d_ {il} ^ {2} -d_ {jk} ^ {2}) ^ {2}}}}},
hvor nævneren er en variation af formlen for Bretschneider (en) for firkanter.
Referencer
-
(in) (in) G. Richardson , " Tetrahedrons trigonometri " , The Mathematical Gazette , bind. 2, nr . 32,1 st marts 1902, s. 149–158 ( DOI 10.2307 / 3603090 , JSTOR 3603090 , læs online )
-
100 store problemer med elementær matematik , New York, Dover-publikationer,1 st juni 1965( ISBN 9780486613482 )
-
(i) André Rassat og Patrick W. Fowler , " Er der en" Most Chiral Tetrahedron "? " , Chemistry: A European Journal , bind. 10, nr . 24,2004, s. 6575–6580 ( PMID 15558830 , DOI 10.1002 / chem.200400869 )
-
Den polære sinus er defineret som et mål for den rumvinkel dannet ved trihedron af tre vektorer: vi har .psin(ikke1,ikke2,ikke3)=det(ikke1,ikke2,ikke3)‖ikke1‖.‖ikke2‖.‖ikke3‖{\ displaystyle \ operatorname {psin} (\ mathbf {n_ {1}}, \ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {3}}) = {\ frac {\ operatorname {det} (\ mathbf { n_ {1}}, \ mathbf {n_ {2}}, \ mathbf {n_ {3}})} {\ | \ mathbf {n_ {1}} \ |. \ | \ mathbf {n_ {2}} \ |. \ | \ mathbf {n_ {3}} \ |}}}
-
(en) Jung Rye Lee , " Loven om cosinus i en tetraeder " , J. Korea. Soc. Matematik. Uddannelse. Ser. B: Ren appl. Matematik. , Vol. 4, n o 1,Juni 1997, s. 1–6 ( ISSN 1226-0657 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">