Prime triplet

Denne artikel er en oversigt over matematik .

Du kan dele din viden ved at forbedre den ( hvordan? ) I henhold til anbefalingerne fra de tilsvarende projekter .

{I talteori er en primtriplet en sekvens med tre på hinanden følgende primtal, således at forskellen mellem den mindste og den største er 6, hvilket er den mindste mulige forskel for en sådan sekvens ved de undtagne tripletter (2,3,5 ) og (3,5,7). En primær triplet er nødvendigvis af formen ( p , p + 2, p + 6) eller ( p , p + 4, p + 6). En formodning , der forstærker den med to primære tal , er eksistensen af ​​en uendelig tredobling af hver af de to former.

Begrundelse for definitionen

En triplet af på hinanden følgende primærtal består af ulige primtal, undtagen (2,3,5). Hvis tre heltal har formen n , n + 2, n + 4, så er 3 en skillevæg på et af disse tre tal, så hvis n > 3 er et af disse tal ikke prim. Derfor er forskellen mellem det mindste og det største mellem tre på hinanden følgende ulige primtal altid mindst 6 bortset fra tripletten (3, 5, 7).

Når vi leder efter tredobler af fortløbende primtal med minimale afvigelser, er de eneste to mulige former bortset fra disse to tripletter derfor ( p , p + 2, p + 6) eller ( p , p + 4, p + 6 ), og vi finder faktisk primatripletter af hver af disse to former, som (5, 7, 11) og (7, 11, 13) og andre.

Mere formelt skrives tre på hinanden følgende primtal ( p , p + a, p + b), og primtripletterne er de tredobler, for hvilke forskellen b mellem enderne af tripletten er minimal blandt tripletterne af på hinanden følgende primtal, der gør ikke give en repræsentant for hver klasse af kongruens modulo et primtal. Denne definition udelukker (2,3,5), fordi vi har alle klasser af modulo 2-kongruens, og (3,5,7), fordi vi har alle klasser af modulo 3-kongruens. Den udelukker formerne for tripletter, ( p , p +1, p +4) og ( p , p +2, p +4), for hvilke vi ved kongruens opnår en åbenbar grund til, at der er et endeligt antal tripletter af denne form.

Denne definition er generaliseret til endelige sekvenser af fortløbende primtal med vilkårlig længde, som vi kalder konstellation af primtal . De to primære tal er konstellationer af to primtal, de første tripletter konstellationer med tre primtal.

Karakteristiske egenskaber

En primær triplet indeholder altid:

Et primtal kan maksimalt høre til tre primtripletter; for eksempel: 103 tilhører (97, 101, 103), (101, 103, 107) og (103, 107, 109).

I dette tilfælde danner de fem involverede primtal et primt femtal .

En prime firdobling ( p , p + 2, p + 6, p + 8) indeholder to indlejrede prime tripletter: ( p , p + 2, p + 6) og ( p + 2, p + 6, p + 8).

Notering

De primære tredobler af tal mindre end 1000 er:

Rekordstørrelse

Den første primære triplet af gigantiske primtal blev opdaget i 2008 af Norman Luhn og François Morain. Den har formen ( p , p + 2, p + 6) med p = 2072244824759 × 2 33333-1 .

Siden April 2013, den største kendte primatriplet indeholder primtal på 16.737 cifre (base ti) og blev opdaget af Peter Kaiser. Den har formen ( p , p + 4, p + 6) med p = 6521953289619 × 2 55555-5 .

Noter og referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen "  Prime triplet  " ( se listen over forfattere ) .
  1. (i) GH Hardy og EM Wright , En introduktion til det Theory of Numbers ( 1 st  ed. 1938) [ Detail Editions ], s.  5 .
  2. Delahaye 200, s. 254-255 for hele afsnittet.
  3. (i) Chris Caldwell, "  The Top Tyve: Triplet  " på Prime Pages .

Bibliografi

eksterne links