Ikke-ental algebraisk sort

En ikke-ental (eller glat) algebraisk sort er en sort uden et entydigt punkt (en) . Det er den naturlige ramme for mange grundlæggende sætninger i algebraisk geometri.

Definition

Vi siger, at en algebraisk sort er regelmæssig, når dens lokale ring er en regelmæssig lokal ring til ethvert punkt . $x$ $O_ {X, x}$ $x \ i X$

Lad være en algebraisk sort over et felt . Lad være en algebraisk lukning af . Det siges, at er ikke-ental eller glat hvis sorten opnået efter ændringen af base er en regelmæssig sort. $x$ $k$ ${\ bar {k}}$ $k$ $x$ $X _ {{{\ bar {k}}}}$ ${\ bar {k}} / k$

Eksempler

Afgrænsede rum og projicerende rum er ikke ental. ${\ mathrm {Spm}} k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]$ ${\ mathrm {Proj}} k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}]$
En plan kurve er ikke-ental, hvis og kun hvis polynomierne ikke har et fælles nul i (hvilket svarer til at sige, at de genererer den ideelle enhed af ). ${\ displaystyle \ mathrm {Spm} (k [T, S] / (F (T, S)))}$ $F, \ delvis F / \ delvis T, \ delvis F / \ delvis S$ ${\ bar {k}} ^ {2}$ $k [T, S]$
Hvis er et ufuldkommen legeme (dvs. et legeme, der ikke er perfekt ), så findes der, som ikke er en -th magt , hvor er karakteristikken for . Lad være den radiale udvidelse defineret af -th- roden til . Derefter er en algebraisk variation på , regelmæssig men ikke ikke-ental. $k$ $\ lambda \ in k$ $s$ $s$ $k$ $k '= k [T] / (T ^ {p} - \ lambda)$ $s$ $\ lambda$ ${\ mathrm {Spm}} (k ')$ $k$

Bemærkning At være regelmæssig er en absolut egenskab ved den algebraiske variation, mens det at være ikke-ental afhænger af det basisfelt, som vi overvejer. I eksemplet ovenfor er det ikke ikke-ental som -variety, men er ental som -variety. ${\ mathrm {Spm}} (k ')$ $k$ $k '$

Ejendomme

Hvis det ikke er ental, er det regelmæssigt. Det omvendte er sandt, hvis det er perfekt . $x$ $k$
Jacobiansk kriterium : Lad være en sammenhængende affin algebraisk variation af dimension d . Så er ikke-ental, hvis og kun hvis rangeringen af den Jacobianske matrix er lig med n - d for alle . $X = {\ mathrm {Spm}} [T_ {1}, ..., T_ {n}] / (F_ {1}, ..., F_ {m})$ $x$ $Jac_ {x} (F_ {1}, ..., F_ {m})$ $x$
Lad være en kompleks algebraisk sort (dvs. defineret over feltet med komplekse tal). Lad være det komplekse analytiske rum (en), der er forbundet med . Derefter er ikke-ental, hvis og kun hvis er en kompleks analytisk manifold , dvs. lokalt biholomorf til et åbent sæt af n . $x$ $X ^ {{{\ mathrm {an}}}}$ $x$ $x$ $X ^ {{{\ mathrm {an}}}}$
Hvis er ikke-singular og forbundet med dimension n , så er det irreducerbart og endda integreret , og skiven af differentierede former på er lokalt fri for rang n . Med andre ord er det et vektorbundt af rang n (kaldet cotangent bundle ) på . $x$ $x$ $x$ $x$
Lokal struktur : I modsætning til komplekse eller differentielle analytiske manifolder er en algebraisk manifold, selv ikke-ental, ikke lokalt (for Zariskis topologi) isomorf til en åbning af et affinalt rum. Men dette bliver sandt, hvis vi erstatter Zariski topologi med étale topologi . Mere konkret har hvert punkt i en ikke-ental algebraisk manifold et åbent kvarter (af Zariski!), Der er spredt over et åbent af et affinalt rum.