Topologisk variation
I topologi er en topologisk variation et topologisk rum , muligvis adskilt , lokalt assimilerbart med et euklidisk rum . Topologiske manifolder udgør en vigtig klasse af topologiske rum med anvendelser til alle matematikfelter.
Udtrykket sort kan betegne en topologisk sort eller oftere en topologisk sort forsynet med en anden struktur. For eksempel er en differentieringsmanifold en topologisk manifold forsynet med en struktur, der tillader differentieret beregning. Alle typer manifolder er bygget på topologiske manifolder. Denne artikel er begrænset til de topologiske aspekter af manifolder. For en mere generel diskussion, se artiklen " Variety (geometry) ".
Definition
Lad V være et separat topologisk rum med et tællbart grundlag . Vi siger, at V er en topologisk variation af dimension n, hvis hvert punkt i V har et kvarter, der er homeomorft til (et åbent af) ℝ n , eller igen: hvis V er dækket af åbninger, der er homeomorf til ℝ n .
Adskillelsesklausulens interesse
Brugen af manifolder som konfigurationsrum for fysik gør adskillelsesklausulen naturlig: det er muligt at skelne mellem to forskellige tilstande i systemet, selvom vi anvender en lille forstyrrelse på hver.
Et eksempel på et rum, der er lokalt homomorf til den reelle linje, men som ikke opfylder Hausdorff-adskillelsesbetingelsen, gives ved at danne en "reel linje med et dobbelt punkt". For det identificerer man to reelle linjer undtagen på et tidspunkt: sætene ℝ × { a } og ℝ × { b } udsættes for identifikationsforholdet
I kvotient plads , enhver kvarter af 0 en skærer enhver kvarter af 0 b .
En (separat) topologisk manifold er altid:
- lokalt kontraktile (derfor lokalt forbundet ved cirkelbuer , lokalt simpelthen tilsluttet , etc. );
- lokalt kompakt (derfor helt regelmæssig ) og
- lokalt metrizable (derfor med talbare baser af kvarterer ).
Derfor :
- det kan måles, hvis og kun hvis det er parakompakt ;
- det er σ-kompakt, hvis og kun hvis det er Lindelöf , og det er så endda parakompakt (da det også er regelmæssigt) derfor målesbart, derfor med et tællbart grundlag (som ethvert metriserbart Lindelöf-rum);
- for en relateret manifold svarer alle disse egenskaber til hinanden (og svarer til mange andre).
Dimensions invarians
Ifølge domæneinvarianssætningen er det naturlige heltal n sådan, at V er lokalt homomorf til et åbent sæt af unique n , unik.
Nogle forfattere generaliserer definitionen af topologisk sort ved at lade dimensionen variere fra et punkt til et andet, og derefter siges en topologisk variation som defineret ovenfor at være ren . Hvis den topologiske sort er forbundet, er den nødvendigvis ren.
Variation om bord
Noter og referencer
- (i) Hiro Tanaka Lee, " Second tællelighed og paracompactness (Tillæg for Math 230a) " på Harvard University ,2014.
- (i) David Gauld, Ikke-metrisable manifold , Springer ,2014( læs online ) , s. 27-30 (ækvivalens mellem 120 betingelser for en relateret manifold).
Relaterede artikler
- Differentiel variation
- Sort usepareret (en)