I matematik , og mere præcist i topologi , det domæne invariance teorem er et resultat skyldes LEJ Brouwer (1912) vedrørende kontinuerlige applikationer mellem delmængder af R n .
Den mest almindelige form for denne sætning er:
Lad U en åben struktur i af R n og f : U → R n en injektion fortsætter , så V = f ( U ) er åben og f er et homeomorfi mellem U og V .Det moderne bevis bruger værktøjer inden for algebraisk topologi og Brouwer's sætning med fast punkt ; Vi kan oplyse det mere ved blot at sige, at, under de samme betingelser, f er en åben kort , det vil sige, at billedet ved f af enhver åben er et åbent én.
Generelt skal vi vise, at f er en homomorfisme, at f og dens gensidige f −1 er kontinuerlige; sætningen siger, at hvis domænet U for f er åbent, og hvis dimensionerne for afgangs- og ankomstrum er de samme, er kontinuiteten af f −1 automatisk. Desuden hævder han, at hvis U og V er homeomorphic, og hvis U er åben, så er V (som en delmængde af R n ). Ingen af disse to påstande er trivielle, og de er ikke længere nødvendigvis sande i mere generelle rum.
Det er vigtigt, at dimensionerne på afgangs- og ankomstområder er de samme. Overvej for eksempel kortet f :] 0,1 [→ R 2 defineret ved f ( t ) = ( t , 0). Denne applikation er injektiv og kontinuert, sit domæne er en åben en af R , men dens billede er ikke en åben en af R 2 . Et mere ekstremt eksempel er givet ved g :] -2,1 [→ R 2 , med g ( t ) = ( t 2 - 1 t 3 - t ): g er injektiv og kontinuert, men er ikke en homeomorfi fra] –2,1 [til dets billede (dette er en del af toksoid, og grænsen for g i 1 er dobbeltpunktet g (–1), hvilket viser, at g −1 ikke er kontinuerligt i dette punkt).
Teoremet generaliserer heller ikke til rum med uendelig dimension. Således, lad ℓ ∞ være den Banachrumsteori af reelle bundne sekvenser, og f : ℓ ∞ → ℓ ∞ være den skiftet operatør f ( x 1 , x 2 , ...) = (0, x 1 , x 2 , .. .). Derefter er f injektivt og kontinuerligt, f- domænet er åbent (da det er hele rummet), men billedet af f er ikke åbent i ℓ ∞ .
En vigtig konsekvens af domænet invariance læresætning er, at R n kan ikke være homeomorphic til R m hvis m ≠ n . Faktisk hvis m < n kan vi overveje underområdet E m = R m × {0} n - m , homeomorf til R m ; E m er tom interiør , der indeholder ingen ikke-tomme åbninger af R n . Hvis f : R n → R n tager sine værdier i E m så ifølge den sætning, kan det ikke være både injektiv og kontinuert. Så meget desto mere , er der ingen homeomorfi mellem R n og R m . Ræsonnementet generaliserer at åbne (ikke tom) af R n og R m .
Sætningen gør det også muligt at give en tilstrækkelig betingelse for et program til at være åbne: enhver lokalt injektiv kontinuerlig kort (således at hvert punkt har en kvarter på hvor begrænsningen af f er injektiv) fra R n til R n , og mere generelt mellem to topologiske sorter af samme dimension, er åben.
Der er også generaliseringer af domæneinvarians sætningen til nogle kontinuerlige anvendelser af et Banach-rum i sig selv.