Overensstemmende drabvektor

I riemannsk geometri , en konform Killing vektor eller en konform Killing vektor felt eller en konform felt er et vektorfelt svarende til en uendelig lille variation af en konform isotopy for en pseudoriemannian metric . I fravær af periodiske baner, efter en konform transformation, der er valgt korrekt på metricen, bliver vektorfeltet et Killing-vektorfelt ; dette kan gøres i det mindste lokalt. Uden at være nødvendigvis dræber har et konformt felt lignende egenskaber.

Dræbende vektorer er især involveret i generel relativitet .

I symplektisk geometri er udvidelsesfelterne ækvivalenter.

Definition

Givet en pseudoriemannisk metrisk g på en differentiel manifold M , er et konformt kort over M en diffeomorfisme, således at hvor f er en strengt positiv funktion. Metrikken siges at være i overensstemmelse med g . Den isometriske Riemannian er specielle tilfælde af applikationer, der overholder kravene. Alle kompatible applikationer udgør en undergruppe af gruppen af diffeomorfi af M . Med de rigtige strukturer er det en Lie-undergruppe . ${\ displaystyle \ Phi: M \ rightarrow M}$ ${\ displaystyle \ Phi ^ {*} g = fg}$ ${\ displaystyle \ Phi ^ {*} g}$

Vi definerer en konform dræbningsvektor som et felt af vektorer X, hvis strøm består af konforme kort. Her er strømmen kun lokalt defineret: X er ikke nødvendigvis komplet. Denne egenskab svarer til, at Lie-derivatet er proportionalt med g . Dræbningsvektorerne er derfor pr. Definition de første variationer af konforme isotopier (isotopi af konform applikationer). Mere præcist, hvis der er en konform isotopi, så ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g}$ $g_t$

{\ displaystyle X_ {t} = {\ frac {dg_ {t}} {dt}} \ circ g_ {t} ^ {- 1}}

er et felt med dræbende vektorer afhængigt af en reel parameter t . Ovenstående identitet giver en en-til-en korrespondance mellem konforme isotopier og konforme Killing-vektorfelter afhængigt af en reel parameter.

Sættet med konforme dræbningsvektorer er stabilt ved addition og multiplikation med funktioner. Det danner en undermodul af vektorfeltområdet. Den Lie krog af to overensstemmelse Killing vektorer er en overensstemmende Killing vektor. Derfor danner sættet med dræbende vektorer en Lie- subalgebra af vektorfeltalgebraen. Denne Lie-subalgebra kan ses som Lie-algebra for Lie- gruppen af konforme kortlægninger af . Denne gruppe har uendelig dimension. $(M, g)$

Ligning på et lokalt kort

En drabsvektor ξ defineres ved ligningen

{\ displaystyle D_ {a} \ xi _ {b} + D_ {b} \ xi _ {a} = 0}

hvor D er det afledte derivat associeret med metricen . Under en konform transformation er det metriske g transformeret i henhold til

{\ displaystyle g_ {ab} \ til {\ bar {g}} _ {ab} = \ Omega ^ {2} g_ {ab}}

hvor Ω er en ikke-annullerende funktion. Ved hjælp af disse definitioner er det muligt at beregne ækvivalenten af den dræbende ligning , som vektoren ξ overholder, men ved hjælp af det covariantderivat, der er knyttet til den nye metrik . Vi finder således ${\ displaystyle {\ bar {D}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {g}} _ {ab}}$

{\ displaystyle {\ bar {D}} _ {a} \ xi _ {b} + {\ bar {D}} _ {b} \ xi _ {a} = {\ frac {2} {n}} \ venstre ({\ bar {D}} _ {c} \ xi ^ {c} \ højre) g_ {ab}}

hvor n er dimensionen af det betragtede rum.

Demonstration

Fra den nye metric er det muligt at beregne de nye Christoffel-symboler , der er skrevet: ${\ bar g}$

{\ displaystyle {\ bar {\ Gamma}} _ {ab} ^ {c} = \ Gamma _ {ab} ^ {c} + {\ frac {\ partial ^ {c} \ Omega} {\ Omega}} g_ {ab}}

Den nye Killing-ligning omskrives derfor

{\ displaystyle {\ bar {D}} _ {a} \ xi _ {b} + {\ bar {D}} _ {b} \ xi _ {a} = D_ {a} \ xi _ {b} + D_ {b} \ xi _ {a} + 2g_ {ab} {\ frac {D ^ {c} \ Omega} {\ Omega}} \ xi _ {c}}

Ved at tage spor af denne ligning og huske, at divergensen af en dræbende vektor er nul, kommer det til

{\ displaystyle 2 {\ bar {D}} _ {c} \ xi ^ {c} = 0 + 2n {\ frac {D ^ {c} \ Omega} {\ Omega}} \ xi _ {c}}

Højre side af den nye dræbningsligning kan således ændres til

{\ displaystyle {\ bar {D}} _ {a} \ xi _ {b} + {\ bar {D}} _ {b} \ xi _ {a} = {\ frac {2} {n}} \ venstre ({\ bar {D}} _ {c} \ xi ^ {c} \ højre) g_ {ab}}

Ejendom

Hvis v og w er to vektorer, der tangerer i p og ortogonale for den tidligere indførte metriske g , har vi for ethvert felt med overensstemmelse Killing-vektorer:

{\ displaystyle g (\ nabla _ {v} X, w) + g (v, \ nabla _ {w} X) = 0}

Hvis X er et felt med dræbende vektorer, forbliver den foregående identitet mere generelt sand for alle vektorer v og w tangent til p .

Forklaringer Faktisk har vi ret til at betragte to vektorfelter V og W henholdsvis lig med v og w i p . Da forbindelsen Levi-Civita pr. Definition er metrisk, kan afledningen af g ( V , W ) i retning af X skrives:

{\ displaystyle X \ cdot g (V, W) = g (\ nabla _ {X} V, W) + g (V, \ nabla _ {X} W)}

. Beregningen af dette derivat kan opnås ved hjælp af Lie-derivatet . Da forbindelsen er torsionsfri, finder vi:

{\ displaystyle X \ cdot g (V, W) = {\ mathcal {L}} _ {X} g (V, W) + g (\ nabla _ {X} V- \ nabla _ {V} X, W ) + g (\ nabla _ {X} W- \ nabla _ {W} X, V)}

Ved at kombinere de to identiteter ovenfor får vi:

{\ displaystyle g (\ nabla _ {V} X, W) + g (V, \ nabla _ {W} X) = {\ mathcal {L}} _ {X} g (V, W)}

Denne identitet kan evalueres på punkt p . Da X er en konform dræbningsvektor, er propostional til g p . Vektorerne v og w er ortogonale for g , vi har :, og derfor:

{\ displaystyle \ left [{\ mathcal {L}} _ {X} g \ right] _ {p}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g (v, w) = 0}

{\ displaystyle g (\ nabla _ {v} X, w) + g (v, \ nabla _ {w} X) = 0}

Især hvis v er en isotrop vektor , er v ortogonal i sig selv. For ethvert X- overensstemmelse Killing-vektorfelt har vi: ${\ displaystyle g (v, v) = 0}$

{\ displaystyle g (v, v) = 0 \ Rightarrow g (\ nabla _ {v} X, v) = 0}

Især hvis c er en geotetisk isotrop hastighedsvektor, er det skalære produkt af X med hastighedsvektoren konstant:

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} g (X (c (t)), c '(t)) = g (\ nabla _ {c' (t)} X, c '(t)) + g (X, \ nabla _ {c '(t)} c' (t)) = 0 + g (X, 0) = 0}

Denne bevarelse ejendom griber især ind i Lorentzian geometri til behandling af geodesik af lystypen.

Her er en anden måde at få det på ved hjælp af udtrykket af overensstemmelse Killing vektorfelter i lokale kasser. Hvis vi betegne tangenten vektor af en geodætiske forbundet med det metriske , derefter af ordregivende ligningen hvortil Killing vektorer i overensstemmelse med , får vi ${\ displaystyle {\ bar {u}} ^ {a}}$ ${\ bar g}$ ${\ displaystyle {\ bar {u}} ^ {a} {\ bar {u}} ^ {b}}$

{\ displaystyle {\ bar {u}} ^ {a} {\ bar {D}} _ {a} \ left ({\ bar {u}} ^ {b} \ xi _ {b} \ right) = { \ frac {1} {n}} \ left ({\ bar {D}} ^ {c} \ xi _ {c} \ right) {\ bar {u}} ^ {d} {\ bar {u}} _ {d}}

I tilfælde af en tidsformet geodesik er normen ikke-nul, og mængden er generelt ikke konserveret. På den anden side i tilfælde af en lysgeodetisk geodesik, hvor mængden bevares. ${\ displaystyle {\ bar {u}} ^ {d} {\ bar {u}} _ {d}}$ ${\ displaystyle {\ bar {u}} ^ {b} \ xi _ {b}}$ ${\ displaystyle {\ bar {u}} ^ {d} {\ bar {u}} _ {d} = 0}$ ${\ displaystyle {\ bar {u}} ^ {b} \ xi _ {b}}$

Se også

Overensstemmelse med drabligning (in)
Dræbende vektor
Overensstemmende transformation

Reference

(en) Robert M. Wald , General Relativity , University of Chicago Press ,1984, 498 s. ( ISBN 0226870332 ), side 443 og 444.