Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan, omkring 1916 Nøgledata

Fødsel	22. december 1887 Erode ( britisk Raj )
Død	26. april 1920 Kumbakonam , nær Madras ( British Raj )
Hjem	Britisk Tamil Nadu Raj
Nationalitet	Indisk
Områder	Matematik
Berømt for	Ramanujan Notebooks Ramanujan Conjecture Partition af et heltal

Underskrift

Srinivasa Ramanujan ( tamilsk : சீனிவாச இராமானுஜன் ; ), født den22. december 1887til Erode og døde den26. april 1920i Kumbakonam , er en indisk matematiker .

Han kommer fra en beskeden familie af ortodokse brahminer og er selvlært og viser altid uafhængig og original tænkning. Han lærer matematik på egen hånd fra to bøger, som han opnåede før de var fyldt 16 år, værker, der giver ham mulighed for at etablere en stor mængde resultater på talteori , på fortsatte brøker og på divergerende serier , mens dets eget system af notationer oprettes . At dømme hans forældede akademiske følge offentliggjorde han adskillige artikler i indiske matematiske tidsskrifter og forsøgte at interessere europæiske matematikere i hans arbejde ved at sende breve til dem.

Et af disse breve, sendt ind Januar 1913til Godfrey Harold Hardy , indeholder en lang liste med formler og sætninger uden bevis. Hardy betragter først denne usædvanlige udstationering som et fupnummer og diskuterer det derefter med John Littlewood for at nå frem til den overbevisning om, at forfatteren bestemt er et "geni" , en kvalifikation, der ofte bruges i dag. Hardy reagerer ved at invitere Ramanujan til at komme til England; et frugtbart samarbejde, sammen med Littlewood, resulterer.

Ramanujan blev påvirket hele sit liv af helbredsproblemer og så, at hans tilstand forværredes under sit ophold i England; han vendte tilbage til Indien i 1919, hvor han døde kort efter i Kumbakonam i en alder af toogtredive. Han efterlader hele udokumenterede resultater bøger (kaldet notesbøger af Ramanujan ), som i begyndelsen af XXI th århundrede, fortsat skal undersøges.

Ramanujan arbejdede primært på elliptiske funktioner og med analytisk talteori ; han blev berømt for sine beregningsresultater, der involverede konstanter som $π$ og $e$ , primtal eller endda delingsfunktionen for et heltal , som han studerede med Hardy. En stor skaber af matematiske formler, han opfandt flere tusinde af dem, som næsten alle viste sig at være nøjagtige, men hvoraf nogle ikke kunne demonstreres før efter 1980; af nogle af dem sagde Hardy, forbløffet over deres originalitet, at "et blik var nok til at indse, at de kun kunne tænkes af en topmatematiker." De måtte være sande, for hvis de havde været falske, ville ingen have haft nok fantasi til at opfinde dem ” .

Biografi

Ungdom

Ramanujan ( lit. “yngre bror til Rama ”) blev født den22. december 1887i Erode , i den nuværende delstat Tamil Nadu i Indien , hvor hans bedsteforældre fra moderlandet var bosat. Hans far, K. Srinivasa Iyengar, født i Thanjavur , arbejder som kontorist i en sari- butik . Hendes mor, Komalathammal, er husmor, mens hun tjener nogle penge på at synge i templet. Han vil have flere brødre, hvoraf kun to overlever barndom: Lakshmi Narasimhan (1898-1946) og Thirunarayanan (1905-1978).

Da han var et år gammel, kom han til at bo hos sin far i et traditionelt hus på Sarangapani Street i Kumbakonam (i 2003 blev dette hus omdannet til et museum til ære for hans arbejde); han tilbragte det meste af de næste tyve år der. IDecember 1889Ramte Ramanujan kopper , hvorfra han skulle bære ar hele sit liv. Derefter flyttede han til sine bedsteforældres hus, i mellemtiden bosatte sig i Kanchipuram , ikke langt fra Madras .

Det 1 st oktober 1892, Ramanujan går ind i folkeskolen; i de næste to år var hans skolegang kaotisk. Hans bedstemor har mistet sit job som en embedsmand i Kanchipuram, han og hans mor vender tilbage til Kumbakonam, hvor han er indskrevet i Kangayan Primary School. Ved farfars dødsfald blev han sendt tilbage til sine bedsteforældre, der derefter flyttede til Madras. Han støtter ikke Madras skole, men han springer over skolen , hvilket får hans familie til at ringe til politiet for at sikre, at han rent faktisk går. Seks måneder senere vendte Ramanujan tilbage til Kumbakonam.

Fra da af, at Ramanujans far blev monopoliseret af sit arbejde, er det hans mor, der tager sig af sin uddannelse. Hun lærer ham især brahmin-traditionen og puranaen samt religiøse sange, så han kan deltage i pujas . Tilbage til Kangayan Primary School bliver Ramanujan en strålende elev der. INovember 1897lige før hans tiårs fødselsdag sluttede han først i sit kvarter i grundskolen og forlod eksamen (på engelsk, tamil, geografi og aritmetik). Samme år stødte Ramanujan på ”abstrakt” matematik for første gang i løbet af sin ungdomsuddannelse.

I 1898 (han var elleve år gammel) blev to studerende fra Government College i Kumbakonam (en videregående uddannelsesinstitution) indgivet til hans forældre. Efter at have hentet al deres matematiske viden fra dem, fik han lån fra bøger, især Plane Trigonometry , af Sidney Luxton Loney. Fra en alder af tretten mestrede han viden fra denne bog og genopdagede nogle sætninger. Ved fjorten år modtog han ækvivalenten med den franske studentereksamen og et universitetsstipendium.

På femten, Ramanujan lånt fra biblioteket af regeringen College den Synopsis af ren matematik af George Shoobridge Carr , som indeholder flere tusinde resultater af analyser og geometri, men giver kun få indikationer på deres demonstrationer (som Hardy vil beklage ved fortsættelsen ved at tillægge dette arbejde er den elliptiske og ikke strenge stil af Ramanujan). Det er dog denne bog, der bringer Ramanujan ind i matematikuniverset. Ved sytten studerede han Bernoulli-tal i dybden og beregnede Eulers konstant op til 15 decimaler; på det tidspunkt hævder hans kammerater, at de "kun forstår ham sjældent" .

En kandidat fra Kumbakonam Town Higher Secondary School i 1904 modtog Ramanujan K. Ranganatha Rao-prisen for matematik fra skolelederen Mr. Krishnaswami Iyer. Det var sidstnævnte, der anbefalede ham til Government College og kaldte ham en ekstraordinær studerende. Men på grund af sit fokus på matematik alene mister Ramanujan sit stipendium og forlader familiens hjemAugust 1905at bosætte sig i Visakhapatnam . I begyndelsen af 1906 tilmeldte han sig Pachaiyappa's College i Madras. Stadig fremragende i matematik, men dårlig i andre discipliner som biologi, undlader Ramanujan eksamenDecember 1906og fejler igen det følgende år. Fra 1908 forsøgte han ikke længere at følge et konventionelt kursus, men fortsatte personlig forskning inden for matematik, mens han levede i stor materiel fattigdom; på det tidspunkt udførte han i mangel af papir sine beregninger og ræsonnement i hovedet eller på en skifer, idet han kun noterede de endelige resultater i en notesbog; han vil bevare denne arbejdsmetode hele sit liv; desuden fører hans isolation ham til at opbygge et personligt klassificeringssystem , som efterfølgende gør hans arbejde vanskeligt at dechifrere.

Første værker

Bekymret for hans fiaskoer, der tilslører hans fremtid, beslutter Ramanujans familie at gifte sig med ham; det14. juli 1909, giftes derfor med Janaki Ammal (ti år). For at overleve forbereder han eleverne til deres afsluttende eksamen på Presidency College . Der opstod helbredsproblemer i slutningen af årene 1900, han beder sin ven Radakrishna Iyer om i tilfælde af ulykke at give sine matematiske notesbøger til professor Singaravelu Mudaliar fra Pachaiyappa's College eller til den britiske professor Edward B. Ross fra Christian College. .

Efter sin bedring, Ramanujan forlod med tog fra Kumbakonam til Viluppuram , en by derefter under fransk kontrol, og der mødtes V. Ramaswamy Aiyer , grundlægger af det indiske matematiske samfund . Ramanujan, der overvejer et job i opskriftsafdelingen, hvor Ramaswamy arbejder, viser ham sine matematiske notesbøger. Som Ramaswamy senere skulle fortælle: ”Jeg blev ramt af de ekstraordinære matematiske resultater, de indeholdt. Jeg havde ikke hjertet til at kvæle hans geni ved at give ham en stilling på lavt niveau i Budgetministeriet. "

Ramaswamy sender Ramanujan til Madras, forsynet med henstillingsbreve, til matematikervenner, fra hvem han får nye henstillingsbrev fra R. Ramachandra Rao , sekretæren for det indiske matematiske samfund. Sidstnævnte er imponeret over Ramanujans resultater, mens de udtrykker tvivl om deres ægthed; det er først efter at have drøftet med dette unge vidunderbarn elliptiske integraler , hypergeometriske serier og divergerende serier , at han er overbevist om sin kapacitet. Efter at have bedt Ramachandra om beskæftigelse og økonomisk støtte sendes Ramanujan til Madras , hvor han kan fortsætte sin forskning, mens Ramaswamy hjælper ham med at offentliggøre sine resultater i Journal of the Indian Mathematical Society .

Et af hans første bidrag til denne tidsskrift er et problem, der beder om at bestemme værdien af en uendelig indlejret radikal , et objekt, der bestemt er usædvanligt, men som ikke skal skræmme en matematiker. Men efter seks måneder, stadig uden at have modtaget nogen løsning, offentliggør han svaret samt nogle sammenfattende indikationer for at få det.

I 1911 skrev Ramanujan til tidsskriftet en artikel på sytten sider om Bernoulli-numre indeholdende flere sætninger og formodninger. På dette tidspunkt efterlod hans skrivestil stadig meget at ønske. Som MT Narayana Iyengar, redaktør for tidsskriftet , skrev : “Hr. Ramanujans metoder var så lakoniske og nye, og hans præsentation så uklar og upræcis, at den almindelige matematikerlæser, der ikke var vant til sådan intellektuel gymnastik, næppe kunne følge ham. "

I Marts 1912, Får Ramanujan endelig en permanent stilling som revisor hos Madras General Treasurer, et job, der giver ham nok tid til at afsætte sig fuldstændigt til matematik.

Kontakt med britiske matematikere

Ved udgangen af 1912, Narayana, Ramachandra og Edgar William Middlemast forsøger at præsentere Ramanujans arbejde for britiske matematikere. Micaiah John Muller Hill (fra University College London ) finder Ramanujans artikler for ufuldstændige, hævder, at selvom Ramanujan "har smag for matematik og reel evne" , mangler han de grundlæggende forudsætninger for at blive accepteret af hans matematikere. Selvom Hill ikke tilbyder at tage Ramanujan som studerende, tilbyder han ham detaljeret professionel rådgivning om sit arbejde. Hjælpet af sine venner skrev Ramanujan derefter breve til de mest prestigefyldte matematikere ved Cambridge University .

De to første, Henry Frederick Baker og Ernest William Hobson , returnerer Ramanujans artikler uden kommentar. Det16. januar 1913, Sender Ramanujan derefter Godfrey Harold Hardy et brev på ni sider, som sidstnævnte først tager til et svindel: Hardy genkender nogle af de formler, der vises der, men andre "synes næsten ikke troværdige" for ham . Især forlader de fleste af de mærkelige fortsatte fraktioner på sidste side af manuskriptet Hardy forvirret; indrømmer, at han "aldrig har set noget før, som endog vagt ligner dem" , fremsætter han denne bemærkning om dem, som nu er blevet berømt: "Disse sætninger må være sande, for hvis de ikke var sande, ville ingen have fantasi nok at opfinde dem ” .

Hardy beder derefter sin kollega J. Littlewood om at læse dette manuskript. Bedøvet bekræfter sidstnævnte, at det kun kan komme fra en "genial mand" (en kvalifikation, der ofte bruges i dag). Hardy vil erklære ved Ramanujans død, at dette brev er "helt sikkert det mest bemærkelsesværdige, han nogensinde har modtaget" og viser, at dets forfatter er "en matematiker af højeste kvalitet, en mand med enestående magt og originalitet" .

Det 8. februar 1913, Reagerer Hardy på Ramanujan og udtrykker sin interesse for sit arbejde og signaliserer, at det er "vigtigt, at han undersøger demonstrationen af visse resultater . " Allerede før hans brev nåede Madras, kontaktede Hardy kontoret i Indien med det formål at arrangere et ophold for Ramanujan i Cambridge. Arthur Davies, sekretær for Indian Indian Aid Committee, mødte Ramanujan i begyndelsen af 1914 for at diskutere detaljerne om dette ophold, men for ikke at krænke hans brahminuddannelse og ikke at fornærme sin familie nægtede Ramanujan at forlade sit land. "et fremmed land" . Imidlertid har han i mellemtiden sendt Hardy et andet brev fuld af sætninger, hvori han skriver: "Jeg har fundet en ven hos dig, der undersøger mit arbejde med venlighed" ; Gilbert Walker , som derefter arbejdede sammen med Hardy på Trinity College , studerede derefter Ramanujans arbejde og udtrykte også sin forbløffelse og insisterede på, at den unge mand skulle komme til at arbejde i Cambridge.

Efter hans beslutning om at blive i Indien samler Narayana og Ramachandra det matematiske studiekontor ved Madras University for at diskutere "hvad der kan gøres for Ramanujan" . Bestyrelsen beslutter at give ham et forskningsstipendium på 75 rupees om måneden i to år (mere end dobbelt så meget som hans løn som revisor). I denne periode fortsatte Ramanujan med at bidrage med artikler til Journal of the Indian Mathematical Society . Således offentliggør Narayana visse sætninger om opsummeringen af divergerende serier ved at tildele dem ham; en anden række sætninger, der er offentliggjort i denne tidsskrift, vedrører beregningen af bestemte integraler, hvor Ramanujan har generaliseret en metode på grund af Giuliano Frullani .

Efter at Ramanujan afviste Hardys invitation, forværres korrespondancen med ham noget; Hardy tilbyder derefter EH Neville, en kollega, der holder foredrag i Madras, for at overvåge Ramanujans arbejde og forsøge at overbevise ham om at komme. Dette viser sig at være ubrugeligt, for i mellemtiden har Ramanujans mor en drøm, hvor familiegudinden Namagiri Thayar anbefalede hende at "ikke længere komme mellem sin søn og opfyldelsen af hans skæbne". Ramanujan gik derefter ud til England og efterlod sin kone, der da var femten år gammel, i sine forældres pleje.

Bliv i England

Ramanujan ankommer til London den 14. april 1914efter en måneds passage; han bliver mødt af Neville, der indgiver ham i sit hjem i Cambridge, og han begynder straks at arbejde med Hardy og Littlewood. Efter seks uger flytter Ramanujan til Wheewell's Court, fem minutters gang fra Hardys sted, og Hardy og Littlewood kan studere hans notesbøger. Hardy har allerede modtaget 120 formler og sætninger i de første to bogstaver, men notesbøgerne indeholder mange flere. Nogle er falske, og andre er allerede kendt, men flertallet er væsentlige opdagelser, der gør et stærkt indtryk på dem begge. Littlewood kommenterer "at han i det mindste tror på ham i en Jacobis kaliber ", mens Hardy "kun kan sammenligne ham med Euler eller Jacobi" . Hardy, der kunne lide at klassificere matematikere på en skala fra 1 til 100, ville senere give sig selv 25, hvilket gav Littlewood 30, David Hilbert 80 og Ramanujan 100.

Hardy og Ramanujan har kontrasterende personligheder, og deres samarbejde ser modstridende kulturer, overbevisninger og endda arbejdsmetoder sammenstød. De foregående årtier har i Vesten set en krise i grundlaget for matematik, der kræver en streng tilgang til bevis, som Hardy er en ivrig tilhænger af, mens Ramanujan er afhængig af hans instinkt og hans blændende intuitioner. Hardy vil gøre sit bedste for at udfylde hullerne i Ramanujans uddannelse og overbevise ham om at basere sine resultater på strenge beviser uden at begrænse hans inspiration; konflikten mellem de to tilgange er bekymrende for alle, og Hardy vil efterfølgende ved flere lejligheder beklage, at Ramanujan ikke modtog en mere traditionel uddannelse, som måske ville have "gjort det muligt for ham at blive den største matematiker i sin tid" ; han påpeger imidlertid, at han ikke tog sig tid til at spørge ham, hvor hans viden nøjagtigt kom fra, for, siger han, "hvorfor skulle jeg spørge ham, om han kendte et sådant resultat, da han fortalte mig? praktisk taget hver dag viste et halvt dusin nye sætninger? "

Ramanujan modtog en "research" Bachelor of Science (ikke længere en grad svarende til den nuværende ph.d. ) i marts 1916 for sit arbejde med stærkt sammensatte numre , hvoraf den første del blev offentliggjort i Proceedings of the London Mathematical Society . Denne artikel på over 60 sider viser mange egenskaber ved disse numre; Hardy vil bemærke, "at dette var et meget usædvanligt stykke forskning, og at Ramanujan havde vist ekstraordinær opfindsomhed i det . "

Det 6. december 1917, han er optaget i London Mathematical Society ; i 1918 blev han valgt til stipendiat i Royal Society "for sin forskning i elliptiske funktioner og talteori" , og blev den anden indianer, der blev optaget efter Ardaseer Cursetjee i 1841. Samme år blev13. oktober, han er den første indianer, der bliver stipendiat i Trinity College .

I alt tilbragte Ramanujan næsten fem år i Cambridge og offentliggjorde mange af sine opdagelser der i omkring tyve artikler samlet efter hans død i en bog af Hardy og hans samarbejdspartnere; Den Første Verdenskrig forhindrede ikke disse artikler fra at tiltrække en stor opmærksomhed, for de åbnet nye muligheder for forskning.

Sygdom og død

I hele sit liv blev Ramanujan plaget af helbredsproblemer. Hans tilstand forværredes i England, måske på grund af klimaet, og vanskeligheder med at opretholde den strenge vegetariske diæt, som hans ortodokse brahmanisme krævede , midt i begrænsningerne på grund af krigen mellem 1914 og 1918. Diagnosticeret med tuberkulose og led af 'en alvorlig vitaminmangel , han besøgte flere hospitaler fra 1917, inden han blev optaget på et sanatorium i Putney , hvor Hardy ofte besøgte ham. I februar 1918, meget deprimeret, svækket og demoraliseret, ser det ud til, at den unge matematiker forsøgte at begå selvmord ved at kaste sig under hjulene på et underjordisk tog i London , meget mad, der blev tilbudt i disse virksomheder . Men fra foråret 1918 genoprettede en række gode nyheder, herunder hans optagelse i Royal Society, hans moral, mens krigens afslutning i november tillod ham at overveje at vende tilbage til Indien.

I marts 1919 vendte han tilsyneladende ved bedre helbred, men stadig skrøbelig, tilbage til Kumbakonam for at slutte sig til sin kone og hans forældre; hans ry (på grund af de hæder, der blev modtaget i England) gik forud for ham, og han blev især tilbudt en stilling som universitetsprofessor i Madras, som han erklærede at acceptere, så snart han var fuldstændig helbredt; dog måske på grund af den overdrevne varme begynder den at svække igen i løbet af sommeren, hvilket ikke forhindrer det i at fortsætte med at producere nye matematiske resultater, men de sidste måneder er ret smertefulde han dør videre26. april 1920i en alder af 32 år .

I 1994 førte en analyse af Ramanujans medicinske optegnelser og symptomer af læge DAB Young ham til at konkludere, at hans sygdom lignede meget mere hepatisk amoebose (en sygdom, der var endemisk i Madras) end tuberkulose. Faktisk havde Ramanujan oplevet to episoder af dysenteri, inden han forlod Indien. Men når det ikke behandles ordentligt, kan dysenteri faktisk blive kronisk og føre til amoebose, mens det er korrekt diagnosticeret (men fejl var ikke sjældne dengang), kunne sygdommen have været behandlet og endda helbredt så hurtigt som muligt.

Personlighed og religiøst liv

Ramanujan beskrives af sine indiske venner som venlige og stille, i stand til at joke på tamil og engelsk; hans passion for matematik giver ham en charme og en uskyld, som alle genkender ham, og tiltrækker ham venner, der er ivrige efter at hjælpe ham. I Cambridge talte hans følge om ham som en ledsager med en genert og rolig karakter, men animeret af en kommunikativ entusiasme, da han præsenterede sine matematiske eller filosofiske ideer i små grupper; han er en værdig karakter med behagelige manerer og en spartansk eksistens.

Ramanujan tidligste indiske biografer insistere på sin strengt ortodokse hinduisme , og hævder, at han tilskriver sine tænkning til hans familie gudinde , Namagiri Thayar , hvem han er afhængig af at inspirere ham i hans arbejde, og som han hævder at have drømt om bloddråber symboliserer hende mand, Narasimha , avatar af Vishnu , efter at have modtaget visionerne om ruller af komplekse matematiske formler, der udfolder sig for hans øjne. Ifølge disse biografer siger Ramanujan ofte: ”En ligning for mig har ingen betydning, medmindre den repræsenterer en tanke om Gud. "

Dog var Hardy ivrig efter ikke at betragte Ramanujan som en mystiker, hvis matematiske inspiration ville komme "fra en mystisk og umådelig østlig visdom" og i stedet beskrev ham som "et rationelt menneske, der tilfældigvis var en stor matematiker" ; han citerer (insisterer på den forbløffelse, de forårsagede ham), Ramanujans bemærkninger, der viser, at alle religioner "syntes ham mere eller mindre lige så sande" . Hardy udledte, at Ramanujans fromhed var blevet idealiseret af vesterlændinge og overdrevet af hans indiske biografer; Imidlertid nævnte han kun sin tro og ikke hans religiøse praksis og klagede tværtimod over de beklagelige konsekvenser af hans strenge overholdelse af vegetarisme på hans helbred og måske på hans arbejde.

Matematisk arbejde

Teoretiske bidrag

Ramanujan arbejde fokuserer på forskellige aspekter af talteori (f.eks , Ramanujan primtal, stærkt sammensatte tal , Rogers-Ramanujan identiteter , eller den detaljerede undersøgelse, der blev gennemført i samarbejde med Hardy, af funktionen giver antallet af partitioner af et heltal og især om dette emne de kongruenser, der bærer hans navn ), og mere specifikt om brugen i denne teori af analytiske metoder som metoden til cirklen (som han hjalp med at udvikle) såvel som brugen af elliptiske og modulære funktioner og theta-funktioner ; Paul Erdős mente også, at han var initiativtager i kombinatorik til sandsynlighedsmetoder . Han foretog også opdagelser inden for adskillige andre felter inden for matematik, som i analyse med opsummeringen af Ramanujan eller " mestersætningen " såvel som frugtbare formodninger , såsom dem om tau-funktionen .

Formler

Ramanujan er berømt for sin ekstraordinære produktivitet, når det kommer til formler. Hardy sagde med henvisning til Leonhard Euler , også en stor skaber af bemærkelsesværdige formler , at han "blev født 150 år for sent" , og vedrørende det brev, han havde sendt ham i 1913, at de formler, de indeholdt, kun kunne være korrekte, fordi "ingen ville have haft tilstrækkelig fantasi til at opfinde dem, og at de er falske" .

Distribueret i tre notesbøger såvel som på et sæt spredte ark genopdaget i 1976 og kaldet "mistet notesbog", i alt omkring 700 sider , er flere tusinde af resultaterne blevet analyseret og nu alle demonstreret (undertiden ved l ved hjælp af computerværktøjer): meget få er falske (oftest som et resultat af kopifejl) og to tredjedele er originale. Ramanujan havde ikke nogle teorier, ukendt eller under udvikling i den tidlige XX th århundrede, da det analytisk talteori , og ignorere selv de grundlæggende elementer i resultaterne kompleks analyse som teorem af rester , at de metoder, det har gjort det muligt opdage sådan en mængde formler og sætninger forbliver uklare. De følgende afsnit giver en idé om mangfoldigheden af disse formler.

Brevformularer til Hardy

Ramanujans første brev til Hardy, dateret 16. januar 1913, består i det væsentlige af formler og sætninger uden bevis. Hardy genkendte nogle af dem, men andre "syntes næsten ikke troværdige . " Følgende identitet vises således nederst på side 3:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {1 + {\ dfrac {x ^ {2}} {(b + 1) ^ {2}}}} { 1 + {\ dfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}} \ gange {\ frac {1 + {\ dfrac {x ^ {2}} {(b + 2) ^ {2} }}} {1 + {\ dfrac {x ^ {2}} {(a + 1) ^ {2}}}}} gange \ cdots \, \ mathrm {d} x \ quad = \ quad & {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} \ times {\ frac {\ Gamma \ left (a + {\ frac {1} {2}} \ right) \ Gamma (b + 1) \ Gamma (b - a + 1)} {\ Gamma (a) \ Gamma \ left (b + {\ frac {1} {2}} \ right) \ Gamma \ left (ba + {\ frac {1} {2}} \ højre)}}, \ end {align}}}

gyldig i $0 < a < b + 1 / 2$ , og hvor gammafunktionen $Γ på$ grund af Euler generaliserer det faktuelle for det virkelige (det verificerer og for heltal). Dette resultat var allerede opnået af Gustav Conrad Bauer i 1859, men Hardy var ikke opmærksom på det på det tidspunkt. ${\ displaystyle \ Gamma (x + 1) = x \ Gamma (x)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (n) = (n-1)!}$

Hardy var også meget imponeret over nogle af de uendelige serier, der blev håndteret af Ramanujan, for eksempel de følgende to:

{\ displaystyle {\ begin {align} 1 \; \; & - \; 5 \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {3} \; + \; \; 9 \; \ venstre ({\ frac {1 \ gange 3} {2 \ gange 4}} \ højre) ^ {3} \; - \; 13 \ venstre ({\ frac {1 \ gange 3 \ gange 5} {2 \ gange 4 \ gange 6}} \ højre) ^ {3} \; \; + \ cdots = \; {\ frac {2} {\ pi}}, \\ 1 \; \; & + \; 9 \ venstre ( {\ frac {1} {4}} \ højre) ^ {4} \; + \; 17 \ venstre ({\ frac {1 \ gange 5} {4 \ gange 8}} \ højre) ^ {4} \ ; + \; 25 \ venstre ({\ frac {1 \ gange 5 \ gange 9} {4 \ gange 8 \ gange 12}} \ højre) ^ {4} \; + \ cdots = \; {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {{\ sqrt {\ pi}} \, \ left (\ Gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) \ right) ^ {2}}}, \\\ ende {justeret}}}

hvor koefficienterne er i aritmetisk progression (1, 5, 9, 13,… og 1, 9, 17, 25,…). Hardy var i stand til at demonstrere disse resultater igen ved hjælp af egenskaber fra hypergeometriske serier, der udvider Euler og Gauss 'arbejde , men han fandt ikke desto mindre, at de var "meget mere overraskende" end de af Gauss.

Sætningerne om fortsatte fraktioner på den sidste side af manuskriptet, som denne (allerede demonstreret af Jacobi , og tæt på de resultater, Gauss kender ):

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {a} e ^ {- x ^ {2}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} \ operatorname { erf} (a) = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} - {\ cfrac {{\ rm {e}} ^ {- a ^ {2}}} {2a + {\ cfrac { 1} {a + {\ cfrac {2} {2a + {\ cfrac {3} {a + {\ cfrac {4} {2a + \, \ cdots}}}}}}}}}}}

, hvor erf er fejlfunktionen

de fleste af dem forlod Hardy forvirret: han havde "aldrig set noget, der endnu vagt var som dem før . "

Generaliserede fortsatte fraktioner

To spektakulære eksempler på Ramanujans kreativitet er følgende formler:

{\ displaystyle {\ sqrt {\ varphi +2}} - \ varphi = {\ cfrac {{\ rm {e}} ^ {- 2 \ pi / 5}} {1 + {\ cfrac {{\ rm {e }} ^ {- 2 \ pi}} {1 + {\ cfrac {{\ rm {e}} ^ {- 4 \ pi}} {1 + {\ cfrac {{\ rm {e}} ^ {- 6 \ pi}} {1 + \, \ cdots}}}}}}}}

forbinder $e$ , $π$ og det gyldne snit , (denne formel dukkede op i hans første brev til Hardy, og var en af dem, der ”lignede noget han kendte” ), og en anden, der involverer $e$ og $π$ : $\ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt 5}} 2}$

{\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {1 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 9}} + \ cdots + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1+ {\ cfrac {2} {1 + {\ cfrac {3} {1 + {\ cfrac {4} {1+ \ cdots}}}}}}}}} = {\ sqrt {\ frac {{\ rm {e}} \ pi} {2}}}.}

Denne anden formel kombinerer en uendelig serie og en generaliseret fortsat brøkdel for at give et forhold mellem de to mest berømte konstanter i matematik .

Serie til

π

Brødrene Jonathan og Peter Borwein demonstrerede i 1987 et sæt formler, som Ramanujan havde opdaget i 1910, og som dukkede op i hans første artikel, der blev offentliggjort i England (uden nogen demonstration, og med kun få vage indikationer af deres oprindelse), hvoraf de mest overraskende (og desuden den mest effektive) er:

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(4n)!} {(N!) ^ {4}}} \ times {\ frac {1103 + 26390n} {(4 \ gange 99) ^ {4n}}}}

Denne formel giver otte yderligere decimaler på 1 / $π$ for hvert nyt udtryk i serien (og producerer fra første periode den fremragende tilnærmelse , tro mod indeni ). ${\ displaystyle \ pi \ simeq {\ frac {9801 {\ sqrt {2}}} {4412}}}$ ${\ displaystyle 10 ^ {- 7}}$

Hardy påpegede, at Ramanujans fund ofte skjuler dybere teorier, end de ser ud; således ville det forrige resultat komme fra undersøgelsen af den “grundlæggende diskriminerende” $d$ = −4 × 58 = −232 af antallet af klasser h ( d ) = 2 og ville være relateret til den “ numeriske tilfældighed ” (vi har faktisk 26390 = 5 × 7 × 13 × 58, 16 × 9801 = 396 2 og 1103 = 19 × 58 + 1). ${\ textstyle e ^ {\ pi {\ sqrt {58}}} = 396 ^ {4} -104.000000177 \ prikker.}$

Indlejrede radikaler

I en af hans første publikationer i Journal of the Indian Mathematical Society bad Ramanujan om at bestemme værdien af uendelige indlejrede radikaler som f.eks.

{\ displaystyle r = {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {1 + 3 {\ sqrt {1+ \ cdots}}}}}}

; på side 105 i hans første notesbog finder vi en mere generel formel:

{\ displaystyle x + n + a = {\ sqrt {ax + (n + a) ^ {2} + x {\ sqrt {a (x + n) + (n + a) ^ {2} + (x + n) {\ sqrt {\ cdots}}}}}}

, hvorfra vi udleder, at løsningen på Journal- spørgsmålet simpelthen er r = 3 .

I den "mistede notesbog" finder vi for eksempel andre endnu mere spektakulære formler

{\ displaystyle {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5 - {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5- \ cdots}}} }}}}}}}}}} = {\ frac {2 + {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {15-6 {\ sqrt {5}}}}} {2}}}

(hvor rækkefølgen af tegn gentages med jævne mellemrum).

{\ displaystyle (+, +, -, +)}

Andre algebraiske identiteter

Hans virtuositet i manipulationen af algebraiske tal førte ham til at producere overraskende ligheder som:

{\ displaystyle \ left (\ cos {\ frac {2 \ pi} {9}} \ right) ^ {1/3} + \ left (\ cos {\ frac {4 \ pi} {9}} \ right) ^ {1/3} - \ left (\ cos {\ frac {\ pi} {9}} \ right) ^ {1/3} = \ left ({\ frac {3 (9 ^ {1/3} - 2)} {2}} \ right) ^ {1/3}}

som han også havde foreslået som et problem i Journal of the Indian Mathematical Society .

I en lidt anden slags opdagede han også flere identiteter, der gjorde det muligt at konstruere eksempler på summer på tre terninger svarende til en terning, som denne:

(3x ^ {2} + 5xy-5y ^ {2}) ^ {3} + (4x ^ {2} -4xy + 6y ^ {2}) ^ {3} + (5x ^ {2} -5xy-3y ^ {2}) ^ {3} = (6x ^ {2} -4xy + 4y ^ {2}) ^ {3}

der generaliserer det nysgerrige numeriske sammenfald 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3 = 216 for x = 1 og y = 0; de er lette at verificere ved en simpel algebraisk udvidelse, men synes vanskelige at opnå uden en generel teori; igen vides det ikke, om Ramanujan havde en (spørgsmålet kan have noget at gøre med taxicab- talteori ).

Numeriske tilnærmelser

I sin første artikel skrevet i Cambridge giver Ramanujan forbløffende numeriske tilnærmelser (angiver den begåede fejl, men med meget lidt begrundelse), såsom

{\ displaystyle \ pi \ simeq {\ frac {12} {\ sqrt {190}}} \ ln ((3 + {\ sqrt {10}}) ({\ sqrt {8}} + {\ sqrt {10} }))}

( tæt, det vil sige med 18 nøjagtige decimaler).

{\ displaystyle 10 ^ {- 18}}

Han giver også i den samme artikel tre eksempler på "næsten hele" tal :

{\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {22}}} = 2508951,9982 \ dots}

{\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {37}}} = 199148647,999978 \ dots}

{\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {58}}} = 24591257751,99999982 \ dots}

Et lignende fænomen forekommer for Heegner-numre ; det var det, der gav Martin Gardner ideen om April Fool's Day, der tilskrev Ramanujan den forudsigelse, der ville være hel; af denne grund er dette sidstnævnte nummer undertiden kendt som Ramanujan-konstanten . $e ^ {{\ pi {\ sqrt {163}}}}$

Taxa-anekdote

Ramanujan viste en ekstraordinær hukommelse af tal og deres egenskaber. Hardy fortæller følgende anekdote, som er blevet berømt om dette emne:

”Jeg husker, at jeg skulle se ham en gang, da han var syg i Putney . Jeg havde taget en taxa med nummeret 1729, og jeg bemærkede, at dette nummer syntes at være uinteressant for mig og tilføjede, at jeg håbede, at det ikke var et dårligt tegn.
- Nej, svarede han, det er et meget interessant tal: det er det mindste tal, der kan opdeles i to terninger på to forskellige måder. "

Faktisk . Og Hardy, der citerede Littlewood , konkluderede (efter at have bemærket, at Ramanujan ignorerede svaret på det samme spørgsmål for de fjerde magter), at han fik det til at lyde som "ethvert naturligt tal var hans personlige ven . " $9 ^ {3} + 10 ^ {3} = 1 ^ {3} + 12 ^ {3} = 1729$

Postume anerkendelse

Matematisk eftertid

Ramanujan artikler og manuskripter

I mangel på papir fik Ramanujan i Indien til vane at udføre sine beregninger og ræsonnement i hans hoved eller på en skifer og noterede sig kun de endelige resultater; han holdt denne arbejdsmetode hele sit liv og udfyldte således alle tre notesbøger (indeholdende næsten fire tusind formler på mere end syv hundrede sider), som han bar overalt med sig.

Efter hans død samlede Thirunarayanan, hans yngre bror, nogle af hans håndskrevne noter, og hans kone, Janaki Ammal, donerede alle sine notesbøger og noter til University of Madras , hvor de tre notesbøger er. iAugust 1923, universitetssekretæren, Francis Drewsbury, sender de fleste af disse dokumenter til Hardy .

Hardy skrev en nekrolog i Nature i juni 1920 og året efter en mere detaljeret nekrolog for London Mathematical Society ; Han bekræfter, hvilket vil vise sig at være profetisk, at det vil tage mindst tyve år for os at måle alt, hvad Ramanujan har bragt. Han begyndte derefter i samarbejde med S. Aiyar og Bertram Martin Wilson at indsamle og redigere sine tekster, der blev offentliggjort i forskellige indiske og engelske aviser; det hele ( i alt 37 artikler ) blev offentliggjort i 1927. I 1937 skrev Hardy for The American Mathematical Monthly en artikel, The Indian Mathematician Ramanujan , hvor han omtalte omstændighederne for deres møde og primært fokuserede på sit arbejde, og derefter holdt en række konferencer i England og USA, som han samlede i en bog udgivet i 1940.

På en ikke specificeret dato (sandsynligvis efter 1935) sendte Hardy notesbøgerne (og spredte manuskripter) til George Neville Watson , som sammen med Wilson var begyndt at arbejde på et forlagsprojekt, men som syntes at have mistet interessen for dette projekt efter Wilsons død i 1935.

Efter Watsons død i 1965 inspicerer John Macnaghten Whittaker (søn af hans ven Edmund Whittaker ) hans arkiver (før deres kremering et par dage senere) og opdager et sæt på 138 blade fra Ramanujans hånd, som han og Rankin sender til ham i biblioteket på Trinity College i december 1968. George Andrews hører om af Lucy Joan Slater og opdager igen foråret 1976, da han fortæller historien i 2012, for at fejre 150 - årsdagen. Det er fra dette øjeblik, at dette sæt er kendt under navnet "mistet notesbog" ( mistet notesbog ).

Fra 1977 og i mere end tyve år viet Bruce Carl Berndt sig til den kommenterede udgave af de tre notesbøger (nu kaldet Ramanujan notesbøger ) i fem bind på i alt mere end 1.800 sider. I alt indeholder notesbøgerne næsten 3.900 "påstande", ofte uden nogen demonstration. Berndt og hans samarbejdspartnere, især matematikerne George Andrews , Richard Askey og Robert Rankin , satte sig enten for at demonstrere dem eller søge referencer i den eksisterende litteratur; Berndt kan også trække på de noter, Watson og Wilson lavede i 1930'erne for deres forladte forlagsprojekt. Mellem 2005 og 2018 offentliggjorde han en kommenteret udgave i fem andre bind af resultaterne af den "mistede notesbog", denne gang blev han også hjulpet af Ken Ono , der ligesom Andrews er specialist i de modulformer, som disse resultater vedrører i det væsentlige.

Matematisk arv

Så snart nyheden om hans død blev meddelt, erklærede Hardy: "Det, han har gjort [trods hans handicap], er allerede fantastisk [...] når den forskning, som hans arbejde har inspireret, er afsluttet, vil det virke meget mere vidunderligt igen. " Mange af de stier, der åbnes af Ramanujan, udforskes i de næste tyve år; Hardy beskriver nogle af disse fremskridt i sine foredrag i slutningen af 1930'erne, som han samler i en bog udgivet i Cambridge i 1940.

Mod slutningen af 1950'erne faldt Ramanujans arbejde imidlertid i relativ glemsel, og notesbøgerne, udgivet af Tata Institute i 1957, men vanskelige at dechifrere, forblev fortrolige. Et vigtigt fremskridt er dog resultatet af arbejdet med formodningen om Ramanujan fra 1965, der kulminerede med demonstrationen af gættelsen af Pierre Deligne i 1974; Ramanujans idéer giver anledning til frugtbar udvikling (især ved hjælp af de nye værktøjer inden for algebraisk geometri ), der relaterer denne tilsyneladende meget specialiserede formodning til mange og vigtige åbne spørgsmål, såsom Langlands-programmet ; måske mere anekdotisk tillod formodningen den eksplicitte konstruktion af visse grafer , som vi med rette har givet navnet på Ramanujan-grafer .

I begyndelsen af 1980'erne førte Bruce Carl Berndts arbejde med resultaterne af de tre notesbøger samt opdagelsen af den "mistede notesbog" til erkendelsen af, at som de fleste af Ramanujans formodninger ikke var som Freeman Dyson udtrykte det . kun smukke formler, men havde konsistens og dybde ” . Især blev betydningen af Ramanujans seneste opdagelser kun gradvist opfattet fra 1990'erne, hovedsageligt efter Ken Onos arbejde ; det er baseret på nogle af disse resultater for i 2014 at opnå et spektakulært sæt nye algebraiske formler .

Denne imponerende arv forklarer kvalifikatoren for “visionær”, mindst lige så ofte vedhæftet hans navn som “geni”. Nogle af Ramanujans ord har hjulpet med at holde mysteriet i live; hvis Hardy insisterede på, at vi ikke ser "noget mystisk" i de formodninger, han har udtalt, nævner Ken Ono hans forvirring over nogle af hans forudsigelser, præcise og detaljerede, som synes utilgængelige for ham med de værktøjer, han har til rådighed.

Andre hyldest

I 1983 bestilte Richard Askey , hans enke, Janaki Ammal, billedhuggeren Paul Granlund til at fremstille bronzebryst af Ramanujan (baseret på fotografiet i hans pas). Et tilskud gør det muligt at lave ti byster; den, der er lovet Janaki, er nu ved Ramanujan Institute for Advanced Study in Mathematics (matematikafdelingen ved University of Madras , som har været kaldt Ramanujan siden 1950).

Den Tamil Nadu fejrer fødselsdag Ramanujan 22 December som Statens IT Day ( National Day for Industri og Teknologi ); dette jubilæum fejres også af Government Arts College i Kumbakonam, hvor han studerede, samt af det Indian Institute of Technology i Chennai . I 2011, for 125 - året for hans fødsel, sagde den indiske regering, at den 22. december nu vil være "National Mathematics Day", og den indiske premierminister Manmohan Singh over meddelelsen om, at 2012 vil være grunden til National Year matematik .

Flere institutioner tildeler matematiske forskelle med henvisning til Ramanujan. De Shanmugha Academy uddeler Sastra Ramanujan Prize til en ung matematiker (under 32, en alder af hans død), der har gjort et bemærkelsesværdigt stykke arbejde i Ramanujan foretrukne områder: kontinuerlig fraktioner , serier , nummer teori ; i partnerskab med universitetet i Kumbakonam oprettede det også i 2000 et museum og et universitetscenter viet til dets liv og dets arbejde, Srinivasa Ramanujan Center . Det Internationale Center for Teoretisk Fysik i Trieste tildeler ICTP Ramanujan-prisen til unge matematikere fra udviklingslande i samarbejde med Den Internationale Matematiske Union . Det indiske matematiske samfund har arrangeret en ”Srinivasa Ramanujan” mindekonference hvert år siden 1990 .

I 2010 blev Deshbandhu College, et universitet tilknyttet University of Delhi og beliggende i Kalkaji-distriktet i det sydlige Delhi , omdøbt til Ramanujan College.

Et frimærke med billedet af Ramanujan blev udstedt af den indiske regering i 1962 (til 75 - årsdagen for hans fødsel) til minde om hans opdagelser i talteorien; efter at være blevet redesignet, sættes dette frimærke tilbage i omløb26. december 2011af India Post . Det22. december 2012, et frimærke på fem rupier , udstedt i anledning af den første "National Mathematics Day", har et portræt af den indiske matematiker på baggrund af formler og geometriske figurer.

I fiktion

I sin roman med titlen The Indian Accountant og udgivet i 2009 tilbagekalder den amerikanske forfatter David Leavitt samarbejdet på baggrund af første verdenskrig mellem Ramanujan og Hardy gennem minder om sidstnævnte, mens han startede en forelæsningsserie om værker af Ramanujan i anledning af Harvard Universitys fejring af hundrede år . Selvom centreret om karakteren af den britiske matematiker, især hans ungdom og hans sociale relationer inden for hemmelige selskab af Cambridge apostle , arbejdet i den romanforfatter beskriver tallet af talentfulde indiske autodidakt ved præsentationen af de møder, foretaget i Cambridge ved ham. ci og forskellige elementer i hans biografi.
I 2007 skrev og instruerede Simon McBurney A Disappearing Number , et stykke inspireret af samarbejdet mellem Ramanujan og Hardy; dette stykke blev især fremført i Frankrig (i sin originale version med undertekster) på Théâtre Nanterre-Amandiers i 2008.

I biograf og tv

Flere film og dokumentarfilm er viet til ham:

Ramanujan , biografisk film af Gnana Rajasekaran , udgivet i 2014.
The Man Who Defied Infinity , biografisk film af Matt Brown, 2016 (udgivet i Frankrig på DVD i 2017), baseret på bogen af Robert Kanigel , The Man Who Knew Infinity: a Life of the Genius Ramanujan ; rollen som Ramanujan spilles af Dev Patel .
I 2016 producerede det indiske udenrigsministerium en dokumentarfilm med titlen Srinivasa Ramanujan - The Mathematician & His Legacy [“Srinivasa Ramanujan: the matematiker and his arv”], der især indeholdt interviews med nutidige matematikere samt rekonstruktioner af scener fra Ramanujan's liv.

Ramanujan er også en kilde til inspiration for flere fiktive figurer:

I Will Hunting sammenlignes Will, et selvlært matematisk geni, med Ramanujan af professor Lambeau, der opdagede ham og fungerer som hans mentor.
Amita Ramanujan , den unge indiske matematiker fra Numb3rs- serien , blev navngivet for at hylde hende.

Ramanujans arbejde

Artikler offentliggjort i indiske og engelske aviser blev samlet af Godfrey Harold Hardy og hans samarbejdspartnere:

Srinivasa Ramanujan, indsamlede papirer fra Srinivasa Ramanujan , Providence , American Mathematical Society ,1962.

Fotokopier af Ramanujans notesbøger blev udgivet af Tata Institute of Fundamental Research (TIFR); dem fra den "mistede notesbog" (og andre spredte dokumenter) fra Narosa Publishing House .

S. Ramanujan, notesbøger , Bombay, Tata Institute of Fundamental Research,1957, 2 bindI 2012 blev en anden udgave (af meget bedre kvalitet og især med respekt for farven på det blæk, der blev brugt af Ramanujan) udgivet af TIFR.
S. Ramanujan, The Lost Notebook og andre upublicerede papirer , New Delhi, Narosa Publishing House,1988.

Resultaterne af de tre notesbøger, den "mistede notesbog" og korrespondancen blev analyseret af Bruce Carl Berndt (i samarbejde med andre matematikere, især George Andrews og Robert Rankin ).

Bruce C. Berndt , Ramanujans notesbøger , New York, Springer.

- bind I,	1985	;
- bind II	1989	;
- bind III	1991	;
- bind IV	1993	;
- volumen V,	2005	.

Bruce C. Berndt og George E. Andrews , Ramanujans mistede notesbog , New York, Springer.

- bind I,	2005	;
- bind II	2008	;
- bind III	2012	;
- bind IV	2013	;
- volumen V,	2018	.

Bruce C. Berndt og Robert A. Rankin , Ramanujan: Letters and Commentary , Providence , American Mathematical Society ,1995.

Noter og referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist hentet fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen " Srinivasa Ramanujan " ( se forfatterlisten ) .

Bemærkninger

Vi ved ikke de nøjagtige omstændigheder, hvor dette fotografi er taget; det hører til samlingen af portrætter af matematikere fra Oberwolfach Institute for Mathematical Research , som den blev doneret til i 2005 af Konrad Jacobs .
Hans fulde navn, Srinivasa Ramanujan (Aiyangar), er faktisk sammensat med navnet på sin far Srinivasa, hvortil nogle gange føjes hans Brahmin- kaste- navn Aiyangar (eller Iyengar); han underskrev oftest S. Ramanujan og forklarede sine engelske venner "at han ikke havde noget efternavn" .
Tre andre børn blev født i 1889, 1891 og 1894, men levede kun få måneder.
I modsætning til hvad dens titel antyder , denne bog indeholder mange andre analyse formler, for eksempel på logaritme og eksponentielle funktioner .
Han opnår især formler ligner Eulers formler , men, krænket at lære, at de allerede er kendt, huder under taget af sit hus papirerne, hvor han skrev dem ned.
Den udgave Ramanujan anvendte specifikt ret (i) George Shoobridge Carr , A Synopsis af elementære resultatet ren matematik: med forslag, formler og Methods of Analysis, med Kortfattet demonstrationer. Suppleret med et indeks til papirerne om ren matematik, som findes i de vigtigste tidsskrifter og transaktioner fra indlærte samfund, både engelske og udenlandske, i det nuværende århundrede ,1886( læs online ).
Denne bog, der stadig var udstillet i dette bibliotek, da Berndt besøgte den, er siden blevet stjålet, som Ken Ono fortæller , der håbede at finde marginale noter fra Ramanujan der.
Hardy , taget op af mange kommentatorer, taler om 6.165 resultater, men i virkeligheden lister Berndt i denne bog kun lidt over 4.000 sætninger.
Iyer (eller Aiyer, Ayyar, etc. ) er den Brahmin kaste navn , hvilket forklarer dens hyppige tilstedeværelse som et egennavn i nogle kilder, og de resulterende forvirring.
Hans religiøse overbevisning er skadet af fraktioner, som han er tvunget til.
For eksempel bruger den ukonventionelle bogstaver til bestemte variabler og funktioner.
Vidnesbyrdene er forskellige om dette ægteskab. Arrangeret i nogen tid nu og symbolsk indtil den unge piges pubertet, ville det næsten være aflyst, Ramanujan havde ikke besøgt sine svigerforældre før meget sent. Når han først var gift, tog han sit ansvar som familieleder meget alvorligt, og efter sin død måtte hans enke anvende urokkelig energi for at sikre, at hans arbejde og hukommelse blev bevaret.
Han lider af en hydrocele der endelig vil blive drevet gratis i 1910; operationen efterlader ham svag og ængstelig.
Brev MJM Hill CLT Griffith (en af hans tidligere studerende, der skrev til ham på vegne af Ramanujan), den 28. november 1912 (in) PK Srinivasan Ramanujan: En inspiration , mindesflyvninger 1 og 2, Muthialpet High School. Madras, 1968) .
Mens nogle af Hills kritik er sunde, skulle Ramanujan i sit andet brev til Hardy klage over, at Hill så passende at anbefale en bog med elementær analyse til ham "for at undgå at falde i fælden med divergerende serier", som om Ramanujan ikke var i stand til at forstå på egen hånd, at at skrive, der ikke havde nogen betydning på det almindelige sprog for seriens summer; flere detaljer kan findes i artiklen Sum of Ramanujan . ${\ displaystyle 1 + 2 + 3 + \ cdots = -1 / 12}$
Ramanujan syntes at tilskrive det kendte sætninger; desuden var et af de resultater, han gav om primtal, bestemt forkert. Hardy skulle senere erklære, at han forstod reaktionen fra sine kolleger, der må have troet, at det var en " krumtap ", som vi ser så ofte.
Ifølge Hardy havde han modtaget brevet i morgenpost, kigget kort på det, troet, det var en vittighed, og havde ikke tænkt på det mere. Men nogle af formlerne hjemsøgte ham hele dagen; han fik endelig kontakt med Littlewood, og de isolerede sig om aftenen i Cambridge-biblioteket for kun at komme ud efter to og en halv time, "nu sikre på, at han var en geni mand . "
Robert Kanigel gav biografien, han skrev titlen " Manden, der vidste uendelig: et liv af geniet Ramanujan " .
For en ortodoks brahmin var krydsning af havet på det tidspunkt et tabu kendt som Kala pani .
En mere nuanceret analyse af denne beslutning gives af Kanigel: Ramanujan hævdede angiveligt senere, at hans afslag ikke kom fra ham, men fra hans ven Narayana, men denne erklæring kunne kun have været et middel til at redde ansigtet.
Hun havde bedt Ramanujan at ledsage hende, men han havde nægtet (muligvis påvirket af Ramachandra), der forklarer hende, at han ikke kunne koncentrere sig om sine matematik, hun var så ung og smuk.
Hardy ville senere bemærke, at disse fejl stammer fra Ramanujans manglende beherskelse af moderne analytiske teknikker, men, tilføjer han, disse fejl er på en måde endnu mere spektakulære end hans succeser (forord til udgaven fra 1927); han vil vende tilbage til denne bemærkning i sine foredrag fra 1937 og bemærke, at disse tilsyneladende fejl ofte skjuler dybere nøjagtige resultater, som skal opdages.
Bruce Carl Berndt fik disse oplysninger fra Paul Erdős .
Han forklarede i 1927, at Ramanujans største fiaskoer fandt sted i analytisk talteori , hvor "at gætte sætningen næsten ikke er noget, og hvor kun strenge bevis kan undgå fejl [som selv Gauss lavede kunne begå]" .
Arresteret af agenter fra Scotland Yard , sikker og lyd - toget var blevet stoppet et par meter før det sted, hvor den unge mand var faldet - han er befriet takket være indgriben Hardy.
Vigtigheden af disse resultater (især vedrørende de " falske theta-funktioner ", som han konstruerede) vil først blive anerkendt før efter genopdagelsen af den "mistede notesbog" i 1976.
Han lider permanent fra mavesmerter, og hans karakter, indtil da rolig og optimistisk, lider, men, sengeliggende, fortsætter han sin forskning indtil sine sidste dage.
Især i det sidste år af sit liv opdagede han analoge funktioner, de " falske theta-funktioner "; han lagde formler og formodninger om dem, hvis betydning først blev genkendt i den "mistede notesbog", efter genopdagelsen af denne notesbog i 1976, og som endnu ikke blev forstået fuldt ud i begyndelsen af bogen. XXI th century .
Dette verifikationsarbejde, der strækker sig over mere end 25 år , og som i vid udstrækning er afsluttet i 1996, skyldes i vid udstrækning Bruce Carl Berndt sammen med flere andre matematikere, herunder George Andrews og Jonathan- brødrene og Peter Borwein ; Mange rutinekontrol kan være blevet overdraget til Mathematica , men Berndt henleder gentagne gange opmærksomheden på Ramanujans ekstraordinære beregningskraft, så han kan opdage og kontrollere disse resultater uden hjælp.
Selvom han f.eks. Bidrog til udviklingen af cirkelmetoden , bedragede hans intuition ham således i studiet af fordelingen af primtal : "hans teori lignede hvad der ville ske, hvis de komplekse nuller i Riemanns zeta-funktion ikke eksisterede"
Visse erklæringer fra Ramanujan, for eksempel ved at tilskrive disse formler til Namagiri Thayar , hans vejledende gudinde , har bidraget til at opretholde mysteriet. Hvis Hardy insisterede på, at vi kun her ser en "ekstraordinær kraft af formelle manipulationer, af hurtighed i dannelsen og afvisningen af hypoteser og af intuitionen af de skjulte relationer mellem tilsyneladende ikke-relaterede objekter" , nævner Ken Ono sin forvirring foran visse forudsigelser Ramanujan, for nylig bekræftet af smertefulde computerberegninger, og som synes utilgængelige for ham med de tilgængelige værktøjer til Ramanujan.
Andre eksempler kan findes med Rogers-Ramanujan-identiteter , asymptotisk estimering af partitionsfunktionen eller Ramanujan-formodningen .
Dette er et specielt tilfælde af den fortsatte Rogers-Ramanujan-fraktion , hvorfra han opnåede mange ikke-trivielle værdier, knyttet til de identiteter, han havde opdaget . ${\ displaystyle R (p) = {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {p} {1 + {\ cfrac {p ^ {2}} {1 + {\ cfrac {p ^ {3}} { 1 + \, \ cdots}}}}}}}}}$
En mere generel formel vises i den anden notesbog til Ramanujan (BC Berndt, Ramanujan's Notebooks , bind II, post 43, s.166): (for ). ${\ displaystyle 1 + {\ frac {x} {1 \ cdot 3}} + {\ frac {x ^ {2}} {1 \ cdot 3 \ cdot 5}} + {\ frac {x ^ {3}} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7}} + {\ frac {x ^ {4}} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 9}} + \ cdots + {\ cfrac {1} {x + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {2} {x + {\ cfrac {3} {1 + {\ cfrac {4} {x + \ cdots}}}}}}}} }} = {\ sqrt {{\ frac {{\ rm {e ^ {x}}} \ pi} {2}} x}}}$ $x> 0$
Dette er diskriminanten af det virkelige kvadratiske felt , dvs. diskriminanten af den kvadratiske form ; en mere dybtgående undersøgelse af denne forestilling og dens anvendelser kan findes i Gérald Tenenbaums bog : Introduktion til analytisk og sandsynlig talteori . ${\ displaystyle {\ mathbb {Q}} ({\ sqrt {58}})}$ ${\ displaystyle m ^ {2} -58n ^ {2}}$
Tag og ; at vise konvergensen af denne uendelige radikal er ikke særlig vanskelig, men at opnå resultatet af Ramanujan kræver geniale algebraiske manipulationer (se en mere præcis analyse i artiklen Nested Radical ). ${\ displaystyle x = 2}$ ${\ displaystyle n = a = 1}$
Berndt påpeger, at det ikke er meget vanskeligt at påvise disse formler (fx ved hjælp af algebra software), men deres relativt simpel form for denne præcise valg af koefficienter og skilte viser, hvis ikke eksistensen af dybe underliggende teorier, i det mindste den virtuositet af Ramanujan.
Hardy påpeger dog, at disse formler ikke producerer alle løsningerne på dette problem, og synes at finde dem mere anekdotiske end dybe.
Disse tilnærmelser er gengivet i Ramanujans anden notesbog (BC Berndt, Ramanujans Notebooks , bind II, s. 88).
Faktisk er dette tal også næsten heltal : $e π \sqrt 163$ = 262537412640768743, 999999999999 25 ... Imidlertid uden computerressourcer og uden at bruge de teoretiske resultater knyttet til disse tal (resultater, som Ramanujan vidste, og som han havde hjulpet med at etablere for tal som ) er det umuligt at få en tilnærmet værdi, der er præcis nok til at afgøre spørgsmålet. De Gelfond-Schneider sætningen viser alligevel, at dette nummer, svarende til , er nødvendigvis transcendent . ${\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {58}}}}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {- i {\ sqrt {163}}}}$
De første toner i hans notesbøger, skrevet mens han stadig var skoledreng, beskriver hans forskning i magiske firkanter og nævner især hans konstruktion af en forbløffende djævelsk firkant, hvis første linje, 22 12 18 87, repræsenterer hans fødselsdato.
En kopi af denne taxa blev lavet til filmen The Man Who Defied Infinity .
Det mindste tal, der kan nedbrydes på to forskellige måder til summen af to fjerde beføjelser, er 635.318.657 ; det blev opdaget af Leonhard Euler omkring 1770, men det var først i 1957, at John Leech demonstrerede, at det var det mindste. ${\ displaystyle = 158 ^ {4} + 59 ^ {4} = 133 ^ {4} + 134 ^ {4}}$
Det følger denne anekdote, at et taxicab-nummer (fulde navn på engelske taxier på det tidspunkt) blev defineret som et naturligt tal, der kan udtrykkes som summen af to terninger på to forskellige måder (d andre numre, der har denne egenskab, som havde allerede blevet fundet i XVII th århundrede af Bernard Frenicle de Bessy ). ${\ displaystyle 4104 = 2 ^ {3} + 16 ^ {3} = 9 ^ {3} + 15 ^ {3}}$
Selv om dette kan være bare en tilfældighed, har flere matematikere påpeget, at antallet 1729 intervenerede i Ramanujan undersøgelse af elliptiske kurver i forhold til en bestemt K3 overflade .
Dette fotografi, det bedste af de få, vi har af Ramanujan, taget fra hans pas, blev sendt til Hardy til denne bog af sin enke, Janaki Ammal, som Chandrasekhar (stor beundrer af Ramanujan) fortæller i denne bog om minder .
I 2003 Bruce Carl Berndt rekonstruere (baseret på korrespondancen mellem de forskellige aktører) omskiftelser disse tre bærbare computere. Den første forblev i England i 1919; efter Ramanujans død sendte Hardy ham til University of Madras, der forsynede ham med en håndskrevet kopi, efterfulgt af afsendelse af de to andre notesbøger samt spredte noter, der udgjorde den "mistede notesbog", mellem 1923 og 1925. På en ubestemt dato efter 1935 blev notesbøgerne (men ikke de andre dokumenter) returneret til Madras af George Neville Watson , der var begyndt at udnytte dem, men havde mistet interessen for dem.
Whittaker ville senere forklare, at forskellige papirer dækkede gulvet i et stort rum, som var 12 tommer tykt , og at han havde været "utrolig heldig" at snuble over noget af interesse.
Andrews forklarer derefter, at Whittaker og Rankin, hvis matematiske interesser ikke går i retning af resultaterne af disse dokumenter (i modsætning til hans egne), ikke indså deres betydning og troede, at de er spredte noter. Af Ramanujan og ikke af en sammenhængende sæt, der dækker hans seneste forskning.
Dette navn, på grund af Andrews, er blevet bestridt, Rankin forklarede for eksempel, at det ikke var en notesbog, og at det, godt arkiveret i Wren-biblioteket i Cambridge, ikke gik tabt; Andrews påpegede dog, at dokumenter, der var blevet ignoreret i 55 år, lovligt kunne navngives så.
Berndt anser opdagelsen af den "mistede notesbog" som væsentlig i fornyelsen af opmærksomheden for Ramanujan i begyndelsen af 1980'erne; Emma Lehmer erklærede således, at hendes opdagelse "var sammenlignelig med en komplet skitse af Beethovens tiende symfoni" .
Nogle gange benævnt "flossede notesbøger fra Ramanujan" ( Ramanujan 'flossede notesbøger ) på grund af deres slidtilstand.
Det præcise antal er ikke helt klart, dels på grund af gentagelser, på den anden side fordi visse "formler" gruppere sammen flere lignende resultater.
Dette er især Rogers-Ramanujans identiteter , hans arbejde med tau-funktionen og de Ramanujan-kongruenser, han havde opdaget mellem partitionerne af et heltal .
Ramanujans håndskrift er generelt læselig, men han udviklede et system med personlige notationer, for eksempel ved at bruge usædvanlige bogstaver til bestemte konstanter og variabler, som ikke altid gør det muligt at indse vigtigheden af de opnåede resultater.
væsentlige registreret i den "mistede notesbog", dette er resultater vedrørende theta-funktioner og analoge funktioner, som han konstruerede, de " falske theta-funktioner "; nogle af disse resultater blev kun bekræftet i 2012 ved computerberegninger, men vi har stadig kun delvis teoretiske begrundelser.
Han hævdede eksempelvis, at Namagiri Thayar , hans tutelary gudinde , havde afsløret visse formler til ham i en drøm.
I et interview i 1978 sagde Janaki: ”Jeg blev lovet at opføre en statue til minde om min mand. Hvor er hun ? ” Det er ved at læse dette interview, at Richard Askey besluttede at lave disse byster.
Tamil Nadu er den stat, hvor Ramanujan boede.
Dette stempel (stærkt forstørret) illustrerer forsiden af Berndt og Rankin bog, Ramanujan: Bogstaver og Kommentar .
Vi finder digitale versioner af disse fotokopier på dette websted dedikeret til skrifterne fra Ramanujan (in) .

Originale tilbud

" Jeg har ikke noget rigtigt efternavn. "
" Vi, inklusive lærere, forstod sjældent ham. "
" Jeg blev ramt af de ekstraordinære matematiske resultater indeholdt i den. Jeg havde ikke noget imod at kvæle hans geni ved en aftale i indtægtsafdelingens nederste trin. "
" Mr. Ramanujan metoder var så kortfattet og roman og hans præsentation så mangler i klarhed og præcision, at den almindelige [matematiske læser], vant til sådanne intellektuelle gymnastik, næsten ikke kunne følge ham. "
" en smag for matematik og en vis evne "
" syntes næsten ikke at tro. "
“ Jeg havde aldrig set noget i det mindste som dem før. "
“ De må være sande, for hvis de ikke var sande, ville ingen have fantasi til at opfinde dem. "
" En mand af geni "
" bestemt det mest bemærkelsesværdige, jeg nogensinde har modtaget. "
“ En matematiker af højeste kvalitet, en mand med enestående originalitet og magt. "
“ Det er vigtigt, at jeg ser bevis for nogle af dine påstande. "
" et fremmed land "
" Jeg har fundet en ven i dig, der betragter mit arbejde sympatisk. "
" hvad vi kan gøre for S. Ramanujan. "
" at stå ikke længere mellem sin søn og opfyldelsen af hans livs mål. "
” Jeg kan tro, at han er i det mindste en Jacobi. "
" Jeg kan kun sammenligne ham med Euler eller Jacobi. "
“ Det er forholdsvis let at lave kloge gæt, men intet mindre end absolut strenghedstælling. "
" Han er muligvis blevet den største matematiker i sin tid. "
" Det syntes latterligt at bekymre ham om, hvordan han havde fundet denne eller den kendte sætning, da han viste mig et halvt dusin nye næsten hver dag. "
“ Denne lange erindringsbog repræsenterer arbejde, måske i en matematisk bagvands [...], det viser meget tydeligt Ramanujans ekstraordinære mestring over ulighedernes algebra. "
" En ligning for mig har ingen betydning, medmindre den repræsenterer en tanke om Gud. "
"en eller anden mystisk manifestation af den umindelige visdom i øst. "
" et rationelt menneske, der tilfældigvis var en stor matematiker. "
" alle religioner syntes ham mere eller mindre lige så sande. "
" burde have været født for 150 år siden "
" Det var (så at sige), hvad teorien kunne være, hvis zeta-funktionen ikke havde nogen komplekse nuller. " .
" Jeg husker engang kommer til at se ham, da han var syg på Putney. Jeg havde kørt i taxa-førerhus nummer 1729 og bemærkede, at nummeret for mig var noget kedeligt, og at jeg håbede, at det ikke var en ugunstig varsel. ”Nej, svarede han, det er et meget interessant tal; det er det mindste tal, der kan udtrykkes som summen af to terninger på to forskellige måder ”. "
“ hvert positive heltal var en af hans personlige venner. "
" Hvad han gjorde faktisk er vidunderligt nok [...], når de undersøgelser, som hans arbejde har foreslået er afsluttet, vil det sandsynligvis virke en hel del mere vidunderlig end den gør i dag. "
" Så meget, at han formodede var ikke kun smukke formler, men havde substans og dybde. "
” De sagde for mange år siden, at en statue ville blive rejst til ære for min mand. Hvor er statuen? "

Referencer

(i) Oberwolfach Photo Collection, " Srinivasa Ramanujan " , Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach gGmbHMaj 2018(adgang til 26. maj 2018 ) .
Denne dokumentar er tilgængelig i sin helhed på Wikimedia Commons .
(in) Hema Vijay, " Dette er hvor Ramanujan blev født " ["Her blev Ramanujan født"], Hinduen ,26. februar 2013( læs online ).
Kanigel 1991 , s. 12.
Kanigel 1991 , s. 11.
(in) " Srinivasa Ramanujan | Biografi, præstationer og fakta ” , på Encyclopedia Britannica (adgang 23. december 2019 )
Berndt og Rankin 2001 , The Ramanujan Family Record , s. 29 .
(i) Pankaja Srinivasan , " The Nostalgia Formula " , The Hindu ,19. oktober 2012( læs online , hørt den 7. september 2016 ).
Alladi 2012 , s. 161.
Kanigel 1991 , s. 13.
Kanigel 1991 , s. 14.
Kanigel 1991 , s. 19-20.
Kanigel 1991 , s. 25.
Kanigel 1991 , s. 27.
Hardy 1940 .
Kanigel 1991 , s. 50.
Ono 2006 .
Hardy 1937 , s. 139.
Kanigel 1991 , s. 39.
(i) Tucker McElroy, A til Z Matematikere ,2005( ISBN 0-8160-5338-3 ) , s. 221.
Kanigel 1991 , s. 53.
Kanigel 1991 , s. 54.
Kanigel 1991 , s. 55-56.
Berndt 1985 , bind. Jeg, s. 5 .
Kanigel 1991 , s. 342.
(da) K. Srinivasa Rao, " Ramanujans kone: Janakiammal (Janaki) " [PDF] , på imsc.res.in , Chennai Institute of Mathematical Sciences ,Februar 2003(adgang til 8. maj 2018 ) .
Kanigel 1991 , s. 77.
Kanigel 1991 , s. 72, 74-75.
Kanigel 1991 , s. 80.
Kanigel 1991 , s. 86.
(da) Bruce C. Berndt, Youn Seo Choi og Soon Yi Kang, " Problemer indsendt af Ramanujan til Journal of the Indian Mathematical Society " , Contemporary Mathematics ,1997( læs online )
Kanigel 1991 , s. 87.
Kanigel 1991 , s. 91.
(i) PV Seshu Iyer , " The Late Mr. S. Ramanujan, BA, FRS " , Journal of indiske Mathematical Society , vol. 12, n o 3,Juni 1920, s. 83.
Kanigel 1991 , s. 96.
Kanigel 1991 , s. 105.
Kanigel 1991 , s. 106.
Kanigel 1991 , s. 170-171.
Kanigel 1991 , s. 161 og 169.
Hardy 1920 .
Kanigel 1991 , s. 168.
Kanigel 1991 , s. 162-163; 169.
Hardy 1985 , efterord.
Citeret af CP Sne .
"DVD-udgivelse af den utrolige historie om et geni i matematik", Science et Vie , marts 2017, s. 126-127 .
Kanigel 1991 .
Kanigel 1991 , s. 173.
Kanigel 1991 , s. 184-186.
Kanigel 1991 , s. 185.
Kanigel 1991 , s. 176.
Kanigel 1991 , s. 175.
(in) Suresh Ram , Srinivasa Ramanujan , New Delhi, National Book Trust,1972, s. 29.
Ranganathan 1967 , s. 30–31.
Kanigel 1991 , s. 182.
Kanigel 1991 , s. 183.
Kanigel 1991 , s. 184.
(i) Eric Harold Neville , " Srinivasa Ramanujan " , Nature , vol. 149, nr . 3776,Marts 1942, s. 293 ( DOI 10.1038 / 149292a0 , Bibcode 1942Natur.149..292N ).
Kanigel 1991 , s. 168 og 190.
Kanigel 1991 , s. 194.
Kanigel 1991 , s. 196.
Kanigel 1991 , s. 202.
Ramanujan 1962 .
Hardy 1940 , s. 10.
(i) GH Hardy , Samlede Papers af GH Hardy , Vol. 7, Oxford, Oxford University Press,1979, 720 s..
(in) BC Berndt, " Srinivasa Ramanujan " , The American Scholar , nr . 58,1989, s. 234-244.
Hardy 1927 , s. 151 og 154.
Hardy 1937 , s. 146.
(da) S. Ramanujan , “ Meget sammensatte tal ” , Proc. London matematik. Soc. (2) , vol. 14,1915, s. 1347-409 ( DOI 10.1112 / plms / s2_14.1.347 , læs online ) ; findes i Ramanujan notesbøger , blev resten af afhandlingen færdig og kommenteret i 1997 af Jean-Louis Nicolas og Guy Robin i Ramanujan Journal ( (i) læse online ).
Kanigel 1991 , s. 299-300.
(i) Srinivasa Ramanujan Aiyangar, Bruce C. Berndt og Robert Alexander Rankin, Ramanujan: Breve og Commentary [ "Ramanujan: Breve og kommentarer"], Providence , American Mathematical Society , al. " Historie om matematik ",1995, 347 s. ( ISBN 978-0-8218-0287-8 , OCLC 901689611 , læs online ) , s. 3.
Kanigel 1991 , s. 297.
Kameshwar C. Wali ( oversat fra engelsk af Anne Magnon), Chandrasekhar, fødslen af astrofysik [ ” Chandra: en biografi om Chandra S. Chandrasekhar ”], Paris , Diderot Editeur, Arts et videnskaber, coll. "Biografi",1997( 1 st ed. 1990), 350 s. ( ISBN 978-2-86332-214-7 , OCLC 36.998.066 , note BNF n o FRBNF36966939 ) , s. 281-283.
Berndt og Rankin 2001 , s. 77-80.
Kanigel 1991 , s. 307.
Kanigel 1991 , s. 317.
Kanigel 1991 , s. 325.
Kanigel 1991 , s. 329.
Hardy 1921 .
(i) DAB Young, " Ramanujan Sygdom " , Notes og Registreringer af Royal Society of London , London , Royal Society , vol. 48, nr . 1,Januar 1994, s. 107-119 ( JSTOR 531423 ).
(i) Doug Peterson , " Raiders of the Lost Notebook " , UIUC College of Liberal Arts and Sciences (adgang til 11. januar 2014 ) .
(i) JWC Gunn og B. Savage , " Report on the Treatment of Entamoeba Histolytica Infections " , Journal of the Royal Army Medical Corps , vol. 33, nr . 5,1919, s. 418-426.
Kanigel 1991 , s. 29-30.
Kanigel 1991 , s. 76.
(i) K. Srinivasa Rao, " Ramanujan s personlighed " , på imsc.res.in , Matematiske Fag Institut i Chennai ,Marts 2003.
Kanigel 1991 , s. 36.
Kanigel 1991 , s. 281.
Ranganathan 1967 , s. 88.
(i) Gregory Chaitin , " Mindre Proof, mere sandhed " , New Scientist , n o 261428. juli 2007, s. 49.
Hardy 1937 , s. 140.
Alladi 2012 , s. 3-5.
Bleicher 2014 .
(i) Paul Erdős, " Ramanujan og jeg " [ "Ramanujan og jeg"] [PDF] ,5. november 2006(adgang til 10. maj 2018 ) .
Hardy 1985 .
(en) Bruce C. Berndt, " En oversigt over Ramanujans notesbøger " [PDF] , på math.uiuc.edu ,5. juni 2003, s. 1-4.
Édouard Thomas, " De mystiske notesbøger fra Ramanujan endelig dechiffreret ", Maths Société Express, International Committee of Mathematical Games (www.cijm.org) ,2016, s. 57 til 62.
(i) Bruce Carl Berndt , Ramanujan notesbøger: Del V , New York , Springer Science + Business Media ,1998, 624 s. ( ISBN 978-0-387-94941-3 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-1624-7 , online præsentation ).
(i) Bruce Carl Berndt , Ramanujan notesbøger, del 5 , Springer ,1997( ISBN 978-0-387-94941-3 , læs online ) , s. 4.
(in) " Rediscovering Ramanujan " , Frontline (magazine) , bind. 16, nr . 17,August 1999, s. 650 ( læs online ).
Hardy 1937 , s. 145.
Hardy 1921 , s. 44.
Kanigel 1991 , s. 30.
Hardy 1937 , s. 149.
Ono 2006 , s. 649.
Bleicher 2014 , s. 55.
Kanigel 1991 , s. 167.
Hardy 1937 , s. 144.
Hardy 1937 , s. 148.
(i) Nayandeep Deka Baruah, Bruce Carl Berndt og Heng Huat Chan, " Ramanujan s serien til 1 / π " [ "Rækken af Ramanujan til "], matematiske Association of America , ${\ displaystyle 1 / \ pi}$ 2009( læs online ).
(da) [PDF] Jonathan og Peter Borwein , Pi og generalforsamlingen , monografier og studier fra det canadiske matematiske samfund, 1987 [ læs online ] .
(en) S. Ramanujan, “ Modular ligninger og tilnærmelser til $\ pi$ ” , kvart. J. Math. , Vol. 45,1914, s. 350-372 ( læs online )
Kanigel 1991 , s. 169.
Gérald Tenenbaum , Introduktion til analytisk og sandsynlig talteori , Paris , Belin , koll. "Stiger",2015, 4 th ed. ( 1 st ed. 1990), 592 s. ( ISBN 978-2-7011-9656-5 , OCLC 933.777.932 , note BNF n o FRBNF44452677 ) , s. 388.
(in) Bruce Carl Berndt , Ramanujans Notebooks IV , p (p |) [1] ? ? ([1-9] [0-9] * (- [1-9] [0-9] *)?).
(i) Bruce Carl Berndt , Ramanujan s Notebooks IV , s.39.
(i) Eric W. Weisstein , " Diophantine ligning - 3. Powers " på MathWorld .
(i) Srinivasa Ramanujan, Wikisource , " cirklens kvadratur " [ "cirklens kvadratur"], reproduktion af en sektion af Jims, vol. 138, s. 132 , på en.wikisource.org , Journal of the Indian Mathematical Society,2. februar 2013(adgang til 10. maj 2018 ) .
(i) Martin Gardner , " Matematiske spil " , Scientific American , bd. 23,April 1975, s. 127.
(in) Magisk firkantet fødselsdag på mathstimes.com.
(i) John J. O'Connor og Edmund F. Robertson , "Citater fra GH Hardy ( GH Hardy Citater )" i MacTutor History of Mathematics arkivere , University of St. Andrews ( læses online )..
(i) " Obituary meddelelser: Srinivasa Ramanujan " , Hardy, GH, Proceedings of London Mathematical Society 19 , s. lvii .
(i) Marianne Freiberger, " Ramanujan overrasker igen " ["Ramanujan overrasker stadig"], på plus.maths.org , More Magazine (in) ,3. november 2015(adgang til 10. maj 2018 ) .
(in) Arun Janardhanan , " A passage to infinity " , Indian Express ,6. december 2015( læs online , hørt den 7. september 2016 ).
(da) B. Aravind Kumar, “ 3 notebooks of Ramanujan being microfilmed ” , The Hindu , Chennai ,24. november 2010( læs online , adgang til 4. maj 2018 ).
(da) George Andrews og Bruce Carl Berndt , Ramanujans mistede notesbog, del 1 , Springer,2005( ISBN 978-0-387-25529-3 , læs online ) , s. 1.
Hardy 1937 .
Kanigel 1991 , s. 345.
(i) George E. Andrews , " Opdagelsen af Ramanujan s Lost Notebook " , The Legacy of Srinivasa Ramanujan: Proceedings af en international konference i anledning af 125-året for Ramanujan fødsel: University of Delhi ,December 2012, s. 17–22 ( læs online )
Kanigel 1991 , s. 346.
Se detaljerne i udgaverne nedenfor .
(in) Frontline , " Rediscovering Ramanujan " , bind. 16, nr . 17,August 1999, et interview med Bruce Carl Berndt .
Kanigel 1991 , s. 341.
Berndt 1985 , bind. Jeg, s. 5.
Kanigel 1991 , s. 344.
(i) M. Ram Murty , " Ramanujan Grafer " , J. Ramanujan Math. Soc. , Vol. 18, nr . 1,2003, s. 1-20 ( læs online [PDF] ).
(i) Michael J. Griffin , Ken Ono og S. Ole Warnaar , " En ramme for Rogers-Ramanujan identiteter og deres aritmetiske Properties " [ "En ramme for Rogers-Ramanujan identiteter og deres aritmetiske egenskaber"], Duke Mathematical Journal ,2014( DOI 10.1215 / 00127094-3449994 , arXiv 1401.7718 ).
(i) Ariel Bleicher, " En af Srinivasa Ramanujan s Forsømte Manuskripter har hjulpet Løs Mangeårige Matematiske mysterier " , Scientific American ,Maj 2014(adgang til 10. maj 2018 ) .
(i) Clara Moskowitz, " En visionær Matematiker kommer til Silver Screen " [ "En visionær matematiker fokuseret på skærmen"], Scientific American ,Maj 2016(konsulteret den 10. maj 2018 ) , artikel om filmen Manden, der trodsede det uendelige .
Ono 2006 , s. 649.
Bleicher 2014 , s. 55.
Kanigel 1991 , s. 352.
Gerald L. Alexanderson og Leonard F. Klosinski, " Om Cover: I Ramanujan Bronz " , bd. 53, nr . 4 [PDF] , American Mathematical Society ,oktober 2016(adgang til 10. maj 2018 ) .
(in) " Historie af universitetets matematikafdeling " , University of Madras (adgang til 6. april 2018 ) .
(in) C. Jaishankar, " Ramanujans fødselsdag vil være National Mathematics Day " ["På årsdagen for Ramanujan er en" National Mathematics Day '"], The Hindu ,27. december 2011(adgang til 10. maj 2018 ) .
(i) " Velkommen 2012 - The National Matematisk år i Indien " , Indien .
(in) Pradip K. Datta, " National Mathematics Year: A Tribute To Srinivasa Ramanujan " , om videnskab og kultur , Indian Science News Association,Marts-april 2013(adgang til 10. maj 2018 ) .
(i) Shanmugha Arts, Science, Technology & Research Academy, " Srinivasa Ramanujan Center (SRC) " på sas.sastra.edu ,Maj 2018(adgang til 11. maj 2018 ) .
Alladi 2012 , kap. Niels Henrik Abel: Norsk matematisk geni , s. 81-88 .
(in) Ramanujan College ( Delhi University ), " History of Ramanujan College " på rcdu.in ,Maj 2018(adgang til 11. maj 2018 ) .
(en) Vijay Navlakha, " National Mathematics Day: facts and numbers " , på Google Books , Gujarat Philatelists 'Association,Januar 2013(adgang til 10. maj 2018 ) ,s. 10.
(i) American Mathematical Society, " Ramanujan: Breve og Commentary " , American Mathematical Society / London Mathematical Society ,Maj 2018(adgang til 10. maj 2018 ) .
(in) " India Post har mindesmærke udstedt på S Ramanujan " , Phila Mirror26. december 2011(adgang til 22. maj 2012 ) .
David Leavitt ( overs. Johan-Frédérik Hel Guedji), Den indiske bogholder , Paris , Denoël , koll. "Og forresten",2009, 721 s. ( ISBN 978-2-207-26004-3 , OCLC 495.205.756 , note BNF n o FRBNF42085441 ).
(i) Heini Halberstam , " En boganmeldelse : Den indiske Clerk " [ "Boganmeldelse: Den indiske Bogholder "], kapitel journal Meddelelser af American Mathematical Society , vol. 55, nr . 8, s. 952-956 [PDF] , på ams.org ,september 2008(adgang til 12. maj 2018 ) .
(da) Simon McBurney , et forsvindende nummer , London, Oberon,2008( ISBN 978-1-84002-830-0 ).
Et forsvindende nummer på teaterwebstedet.
(in) Ramanujan på Internet Movie Database .
(in) Manden, der trodsede det uendelige på Internet Movie Database .
(in) Stuart Jeffries, " Genius efter tal: hvorfor Hollywood-film matematik ikke tilføjes " , The Guardian ,6. april 2016( læs online )
(in) Numb3rs - Trivia på IMDb .
(i) Marie-Pierre Moreau , Heather Mendickn og Debbie Epstein , " Konstruktioner af Matematiske Maskuliniteter i populærkulturen " i Elwood Watson, Pimps, tøsedrenge, Studs, Thugs og herrer ,2009, 318 s. ( online præsentation )
(i) Srinivasa Ramanujan (GH Hardy, PVS Aiyar og Bertram Martin Wilson , red.), Samlede Papers af Srinivasa Ramanujan , Providence , American Mathematical Society ,1962( 1 st ed. 1927) ( online præsentation ).
(in) " Her er en samlerudgave af Ramanujan-notesbog " ["En samlerudgave-notesbøger fra Ramanujan"], Hinduen ,27. december 2011( læs online ).
(i) S. Ramanujan, The Lost Notebook og andre offentliggjorte Papers , New Delhi, Narosa Publishing House,1988( ISBN 3-540-18726-X ).
(i) Srinivasa Ramanujan og Bruce C. Berndt, Ramanujan notesbøger: Del I [ "De notesbøger af Ramanujan: bind I"], New York , Springer Science + Business Media ,1985, 357 s. ( ISBN 978-0-387-96110-1 , OCLC 643580261 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-1088-7 ).
(i) Srinivasa Ramanujan og Bruce C. Berndt, Ramanujan notesbøger: Del II [ "De bærbare computere af Ramanujan: Bind II"], New York , Springer Science + Business Media ,1989, 360 s. ( ISBN 978-0-387-96794-3 , OCLC 848480391 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-4530-8 ).
(i) Srinivasa Ramanujan og Bruce C. Berndt, Ramanujan notesbøger: Del III [ "De bærbare computere af Ramanujan: Bind III"], New York , Springer Science + Business Media ,1991, 510 s. ( ISBN 978-0-387-97503-0 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-0965-2 ).
(i) Srinivasa Ramanujan og Bruce C. Berndt, Ramanujan notesbøger: Del IV [ "De notesbøger af Ramanujan: Volume IV"], New York , Springer Science + Business Media ,1994, 451 s. ( ISBN 978-0-387-94109-7 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-0879-2 ).
(i) Srinivasa Ramanujan og Bruce C. Berndt, Ramanujan notesbøger: Del V [ "De notesbøger af Ramanujan: Volume V"], New York , Springer Science + Business Media ,1998, 624 s. ( ISBN 978-0-387-94941-3 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-1624-7 ).
(i) George E. Andrews og Bruce C. Berndt , Ramanujan s Lost Notebook: Del I [ "Den bærbare tabt Ramanujan: bind I"], New York , Springer Science + Business Media ,2005, 438 s. ( ISBN 978-0-387-25529-3 , DOI 10.1007 / 0-387-28124-X ).
(i) George E. Andrews og Bruce C. Berndt , Ramanujan s Lost Notebook: Part II [ "Den bærbare tabt Ramanujan: Bind II"], New York , Springer Science + Business Media ,2009, 420 s. ( ISBN 978-0-387-77765-8 , DOI 10.1007 / b13290 ).
(i) George E. Andrews og Bruce C. Berndt , Ramanujan s Lost Notebook: Del III [ "Den bærbare tabt Ramanujan: Bind III"], New York , Springer Science + Business Media ,2012, 436 s. ( ISBN 978-1-4614-3809-0 , DOI 10.1007 / 978-1-4614-3810-6 ).
(i) George E. Andrews og Bruce C. Berndt , Ramanujan s Lost Notebook: Del IV [ "Den bærbare tabt Ramanujan: Bind IV"], New York , Springer Science + Business Media ,2013, 439 s. ( ISBN 978-1-4614-4080-2 , DOI 10.1007 / 978-1-4614-4081-9 ).
(i) George E. Andrews og Bruce C. Berndt , Ramanujan s Lost Notebook: Del V [ "Den bærbare tabt Ramanujan: Volumen V"], New York , Springer Science + Business Media ,2018, 425 s. ( ISBN 978-3-319-77832-7 , DOI 10.1007 / 978-3-319-77834-1 ).
(i) Bruce C. Berndt og Robert A. Rankin , Ramanujan: Breve og Commentary [ "Ramanujan: Breve kommenterede"], Providence , American Mathematical Society ,1995( ISBN 0-8218-0287-9 , online præsentation ).

Se også

Bibliografi

: dokument brugt som kilde til denne artikel.

På fransk

Godfrey Harold Hardy ( oversat Dominique Jullien og Serge Yoccoz, pref. Charles Percy Snow ), "Ramanujan, en indisk matematiker" , i Hardy, 1877-1947: undskyldning fra en matematiker , Paris , Éditions Belin , koll. "En lærd, en æra",1985, 191 s. ( ISBN 9782701105307 og 2701105307 , OCLC 19251745 ).
Jonathan Borwein og Peter Borwein (specialudgave Les Mathématiciens ), “ Srinivasa Ramanujan ”, Pour la science , nr . 2,Januar 1994, s. 108-116 ( ISSN 1246-7685 ).
Bernard Randé , de indiske notesbøger fra Srinivasa Ramanujan , Paris, Cassini,2002( ISBN 2-842-25065-6 , online præsentation ).
Ariel Bleicher, " Noterne fra Ramanujan, en uudtømmelig skat ", Pour la science , nr . 441,juli 2014, s. 50-55 ( læs online ).
Juan José Rué Perna ( overs . Magali Mangin), Ånden, der ønskede at forstå det uendelige: Ramanujan , Barcelona, RBA Coleccionables,2018, 159 s. ( ISBN 978-84-473-9318-3 )
Godfrey Harold Hardy , Mathematics and Mathematicians , Nitens, 2018. ( ISBN 978-2-901122-00-5 ) . Blandt de 23 tekster af eller på Hardy fremkalder flere Ramanujan.

På engelsk

(en) Godfrey Harold Hardy , " Nekrolog, S. Ramanujan " , Nature , bind. 105, nr . 7,Juni 1920, s. 494 ( læs online ).
(en) Godfrey Harold Hardy , “ Srinivasa Ramanujan Obituary ” , Proceedings of the London Mathematical Society , bind. 19,1921, s. 40-58 ( læs online ).
( fr ) Godfrey Harold Hardy , " The Indian Mathematician Ramanujan " , The American Mathematical Monthly , bind. 44, nr . 3,Marts 1937, s. 137-155 ( læs online ). ; artikel inkluderet i følgende bog:
( fr ) Godfrey Harold Hardy , Ramanujan, Tolv forelæsninger om emner foreslået af hans liv og arbejde [“Ramanujan, tolv forelæsninger om emner, der vedrører hans liv og hans arbejde”], Cambridge University Press,1940.
( fr ) John Edensor Littlewood , A Mathematician's Miscellany [" Diverse refleksioner fra en matematiker"], London, Methuen,1953( læs online )(kapitel 9: Gennemgang af Ramanujans indsamlede papirer , side 84 til 90).
(en) Shiyali Ramamrita Ranganathan , Ramanujan, manden og matematikeren ["Ramanujan, manden og matematikeren"], Bombay, Asia Publishing House,1967( ISBN 978-81-7000-557-5 ).
(da) Robert Kanigel , Manden der vidste uendelig: et liv af geniet Ramanujan , New York, Charles Scribner's Sons,1991( ISBN 0-684-19259-4 ).
(en) Bruce Carl Berndt , Robert Alexander Rankin , Subrahmanyan Chandrasekhar , DAB Young et al. , Ramanujan: Essays and Surveys ["Ramanujan: Essays and Studies"], Providence , American Mathematical Society , koll. “History of Mathematics, bind. 22 ",2001( ISBN 978-0-8218-2624-9 , OCLC 490.711.330 , varsel BNF n o FRBNF38852724 , online præsentation ).
(da) Ken Ono , " Honoring a Gift from Kumbakonam " , Notices of the American Mathematical Society , bind. 56, nr . 6,Juni-juli 2006, s. 640-651 ( læs online ).
(da) Krishnaswami Alladi , Ramanujans sted i matematikens verden , Springer , Indien,2012( ISBN 978-81-322-0766-5 ).
( fr ) Krishnaswami Alladi , “ Srinivasa Ramanujan: Going Strong at 125 ” [“Srinivasa Ramanujan: Still Fit at 125”], Notices of the American Mathematical Society , bind. 59,December 2012, s. 1522-1537 (del I) ( læs online )og bind 60, januar 2013, s. 10-2 2 (del II) [ læs online ] .

Relaterede artikler

Ramanujan Notebooks
Liste over emner opkaldt efter Srinivasa Ramanujan og især
- Ramanujan-formodning
- Rogers-Ramanujan identiteter
- SASTRA Ramanujan-pris
- The Ramanujan Journal (tidsskrift dedikeret til de områder af matematik, som han påvirkede).
Næsten hele antallet
Opdeling af et heltal
Falsk theta-funktion

eksterne links

“De mystiske notesbøger fra Ramanujan” , forelæsning af Édouard Thomas (del 2/4 , 3/4 , 4/4 ); se også slides på denne konference .
(en) Websted viet til Ramanujan , sponsoreret af Institute of Mathematical Sciences i Chennai (under ledelse af KS Rao) og indeholder især
- (in) uddrag fra korrespondancen mellem Ramanujan og Hardy ,
- (in) fotokopier af notesbøger ,
- (en) artikler offentliggjort i Indien og England osv.
(in) Frontline , " Rediscovering Ramanujan " ["Rediscovering Ramanujan"] : Interview med Bruce Carl Berndt om demonstrationer af resultaterne af notesbøger fra Ramanujan
Myndighedsregistreringer :
Meddelelser i generelle ordbøger eller leksika : Brockhaus Encyclopedia • Enciclopedia De Agostini • Encyclopædia Britannica • Encyclopædia Britannica • Encyclopedia Treccani • Gran Enciclopedia Catalana • Hrvatska enciklopedija • Svensk Nationalencyklopedin • Oxford Dictionary of National Biography • Store norske leksikon
Forskningsressource :
- (en) Matematik-slægtsforskningsprojekt