Ækvivalens af afstande
Forskellige forestillinger om afstandsækvivalens anvendes i topologien , en gren af matematik vedrørende studiet af rumlige deformationer ved kontinuerlige transformationer (uden at rive eller fastgøre strukturer igen).
Givet et topologisk rum metrizable ( X , T ), kan man finde forskellige afstande , der definerer den samme topologi T . For eksempel kan den sædvanlige topologi af be defineres ved afstanden d : ( x , y ) ↦ | x - y |, men også ved d / (1 + d ) eller et hvilket som helst multiplum af d ved en strengt positiv real. Det er derfor nødvendigt at specificere "ækvivalenser" mellem sådanne afstande.
Definitioner
To afstande d 1 og d 2 på samme sæt X siges:
-
topologisk ækvivalent, hvis de tilknyttede topologier er identiske (samme åbne ), dvs. hvis identitetskortlægningen , fra ( X , d 1 ) til ( X , d 2 ), er en homeomorfisme eller igen (fra efter den sekventielle karakterisering af kontinuiteten ) hvis de har de samme konvergente sekvenser ;
-
ensartet ækvivalent hvis identiteten kort over X er ensartet kontinuert fra ( X , d 1 ) til ( X , d 2 ) og også fra ( X , d 2 ) til ( X , d 1 );
-
bornologisk ækvivalent, hvis de er ensartede ækvivalente, og hvis de to afstande definerer de samme afgrænsede dele;
-
Lipschitz-ækvivalent, hvis der er strengt positive konstanter a og b sådan, at ad 1 ≤ d 2 ≤ bd 1 .
Alle disse forhold mellem afstande er ækvivalensforhold .
Eksempler
Følgende eksempel gør det muligt at fremhæve ikke-ækvivalensen af de forskellige forestillinger om ækvivalenser beskrevet ovenfor: vi kan give ℝ de fire afstande:
d1(x,y)=|x-y|{\ displaystyle d_ {1} (x, y) = | xy |}
;
d2(x,y)=|x3-y3|{\ displaystyle d_ {2} (x, y) = | x ^ {3} -y ^ {3} |}
;
d3(x,y)=min{1,d1(x,y)}{\ displaystyle d_ {3} (x, y) = \ min \ {1, d_ {1} (x, y) \}}
;
d4(x,y)=d1(x,y)/(1+d1(x,y)){\ displaystyle d_ {4} (x, y) = d_ {1} (x, y) / (1 + d_ {1} (x, y))}
.
Vi verificerer derefter, at afstande d 1 og d 2 er topologisk ækvivalente, men ikke er ensartede ækvivalente (skønt de har de samme Cauchy-sekvenser ), at afstande d 1 og d 3 er ensartede ækvivalente, men ikke er bornologisk ækvivalente, så at afstande d 3 og d 4 er bornologically ækvivalent men er ikke Lipschitz-ækvivalent.
Noter og referencer
-
Y. Sonntag, Topologi og funktionel analyse .
-
Dette gælder for afstande, der ligeledes er forbundet med ethvert metrisk rum ( E , d 1 ).
-
Dette skyldes kun valget af en ubegrænset afstand d 1 .
Relaterede artikler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">