Śulba-sūtras

De Śulba-Sutraer er lister i Vedaerne beskriver reglerne for at gøre offer altre for visse vediske ritualer . Til dette formål præsenterer de adskillige geometriske konstruktioner, der afslører omfattende matematisk viden, især den, hvad vi i dag kalder Pythagoras sætning .

Præsentation

Sted i vedisk litteratur

Śulba-Sūtras er en del af Kalpa-Sūtras, manualer viet til vediske rituelle fremgangsmåder, der danner en af de seks Vedangas (bilag til Veda) og mere præcist af Śrauta-Sūtras, de af disse manualer, der beskæftiger sig med offerritualer.

Stil

Śulba-Sūtras er skrevet på sanskrit . De er skrevet i korte og vanskelige at fortolke sætninger kaldet sutraer , som bogstaveligt betyder "regel" eller "instruktion". Disse sutraer er normalt i prosa, men kan lejlighedsvis være i vers.

Betydningen af titlen

Titlen Śulba-Sūtras kommer fra ordet sūtra og navnet śulba givet til strengene, der bruges til fremstilling af altere. Det betyder etymologisk "rebets regler".

Liste over Śulba-sūtras

Historikere identificerer 8 eller 9 Śulba-Sūtras, tilskrevet følgende forfattere: Baudhāyana, Mānava, Āpastamba, Kātyāyana, Laugāksi, Varāha, Vādhūla, Hiranyakeśin (og Maitrāyayana). De første fire danner afhandlinger i sig selv, mens de andre er kapitler i de tilsvarende Śrauta-sūtras.

Dating

Skøn over dateringen af Śulba-Sūtras er usikre og er udelukkende baseret på sproglige argumenter (stil og grammatik). De ville have været sammensat mellem 800 og 200 f.Kr. Den ældste kunne stamme fra 800 til 500 f.Kr., mens den sidste ville være efter 350 f.Kr.

Forankring i rituel praksis

Formålet med Śulba-sūtras

Śulba-sūtras er beregnet til brug af familier af brahminer, der er ansvarlige fra far til søn for de vigtigste vediske offerritualer. De beskriver murstenkonstruktionen af altere og ildsteder til obligatoriske ritualer og ritualer udført til bestemte formål.

Det er imidlertid ikke klart nøjagtigt, hvordan de konstruktioner, der er beskrevet i Śulba-Sūtras, blev lavet i praksis.

Forbindelse med geometri

De forskellige vediske ritualer beskrevet i Śulba-Sūtras og de forskellige mål, der skal opnås ved disse ritualer, er forbundet med alter i forskellige former (for eksempel et alter i form af en falk for at nå himlen eller et alter i form af et ensartet trekant for at udslette fjender). Formene på disse alter skal laves meget præcist og kun ved hjælp af reb og stave, hvilket kræver geometrisk viden for at bygge dem.

Det er også meget almindeligt, at der skal bygges alter med forskellige former, men med samme område, hvilket historikere foreslår at forklare enten ved at sige, at de tilsvarende alter skal have samme område eller ved at sige, at den samme mængde d hellig energi blev set som i stand til at blive legemliggjort på forskellige måder. Dette krav kræver transformationsteknikker for geometriske figurer, der bevarer området.

Matematisk indhold

Figurkonstruktion

Śulba-Sūtras inkluderer, i beskrivelserne af fremstilling af alter, mange regler for konstruktion af geometriske figurer. De følgende afsnit præsenterer nogle af dem.

Tegning af en øst-vest linje

Da alle alterne skal orienteres med præcision, er den første konstruktion, der udføres, en øst-vest-linje. Denne konstruktion er ikke beskrevet i den første Śulba-Sūtras, men er beskrevet i den af Kātyāyana. Det gøres som følger:

fastgør en pæl i jorden,
træk en cirkel omkring denne pæl med et reb,
plant to nye indsatser, hvor skyggen af den første møder cirklen om morgenen og om aftenen,
linjen, der slutter sig til de sidste to indsatser, er derefter øst-vest-linjen.

Plot af en lodret halvering

Fra øst-vest-linjen kan der trækkes en nord-syd-linje. Denne konstruktion, der i moderne matematiske termer svarer til at tegne den vinkelrette halvering af et segment, beskrives i Kātyāyana's Śulba-Sutra som følger:

tage et reb, hvis længde er dobbelt så langt mellem de to indsatser i øst-vest-linjen og binde enderne af det til disse indsatser,
stræk rebet mod syd og plant en pæl i midten,
gør det samme mod nord,
linjen, der forbinder de to sidste indsatser, er derefter Nord-Syd-linjen.

Konstruktion af en ret vinkel

Śulba-Sūtras beskriver også metoder til at tegne en ret vinkel. En af dem er:

tag et reb af den ønskede længde,
træk den øst-vest linje af samme længde som rebet,
øg rebets længde med halvdelen,
lav et mål en sjettedel fra starten af den sidste tredjedel opnået ved denne tilføjelse,
fastgør enderne af rebet til enderne af øst-vest-linjen,
stræk rebet mod syd, hold mærket, og sæt et mærke på det således nåede punkt.

Denne metode er baseret på den omvendte af den såkaldte Pythagoras sætning og involverer den Pythagoras triplet (5,12,13). Lignende metoder, men med andre koefficienter, anvendes.

Opførelse af en firkant

Flere metoder til konstruktion af en firkant ved hjælp af reb og stave er beskrevet i Śulba-Sūtras. Ud over dem, der er baseret på konstruktionen af rette vinkler, kan vi citere:

træk øst-vest linjen og plant en pæl i dens centrum,
tag en ledning med en længde svarende til siden af den ønskede firkant,
brug rebet foldet i to for at tegne en cirkel omkring bålet,
plantepæle ved krydset mellem denne cirkel og øst-vest-linjen,
træk omkring disse to indsatser to cirkler ved hjælp af hele rebet,
træk linjen mellem skæringspunkterne mellem disse cirkler,
plantepæle ved skæringspunktet for denne linje med den første cirkel,
træk en cirkel omkring den østlige pæl ved hjælp af halvt reb
gør det samme omkring den sydlige, vestlige og nordlige indsats,
(ydre) skæringspunkter i disse cirkler danner derefter den ønskede firkant.

Figur transformation

Figurtransformationer er især vigtige i Śulba-Sūtras. De følgende afsnit indeholder nogle eksempler.

Summen og forskellen på to firkanter

En første transformation beskrevet i Śulba-Sūtras består i at konstruere en kvadrat af areal svarende til summen af arealerne i to andre firkanter. Metoden til dette er:

tag den store firkant en strimmel på bredden af siden af den lille firkant,
kvadratet med diagonal for det således opnåede rektangel har siden den ønskede egenskab.

En anden transformation består i at konstruere en kvadrat af areal svarende til forskellen i arealerne på to andre kvadrater. Metoden er denne gang:

tag den store firkant en strimmel på bredden af siden af den lille firkant,
roter en af længderne på denne strimmel, indtil dens ende falder på den anden længde,
kvadratet har for siden segmentet af enderne skæringspunktet og enden af længden placeret på den samme side som det punkt, omkring hvilket man har roteret, har derefter den ønskede egenskab.

Disse to regler er baseret på den såkaldte Pythagoras sætning.

Transformere et rektangel til et kvadrat

En anden transformation beskrevet i Śulba-Sūtras er omdannelsen af et rektangel til en firkant i samme område. Her er den foreslåede metode:

tag i rektanglet en firkant, der for siden har rektanglets bredde,
del den resterende strimmel halvt parallelt med bredderne,
placer disse to stykker langs to tilstødende sider af pladsen,
færdiggør gnomon opnået i en firkant,
konstruer en firkant svarende til forskellen mellem den således opnåede store firkant og den tilføjede lille firkant ved hjælp af den passende metode.

Konvertering af en firkant til en cirkel og en cirkel til en firkant

En anden transformation, der kræves ved konstruktionen af altere, er omdannelsen af et kvadrat til en cirkel af det samme område (cirkulaturen på pladsen). Da dette ikke kan gøres nøjagtigt med reb og stave, indeholder Śulba-sūtras en regel for at opnå denne konstruktion på en omtrentlig måde:

stræk et reb mellem midten af firkanten og en af dets hjørner,
drej den, indtil den er vinkelret på en af siderne,
træk derefter en cirkel med radius på halvsiden af firkanten plus en tredjedel af forskellen mellem halvdiagonal og halvside.

Den omvendte transformation, den af en cirkel til en firkant af det samme område ( kvadrerer cirklen ), giver også anledning til en omtrentlig konstruktion, selvom den ikke synes at have nogen hellige anvendelser:

divider cirkelens diameter med 15,
trække to af de således opnåede femten aktier tilbage,
tag resten som siden af pladsen.

Denne regel har varianter, der er baseret på det samme princip, men med forskellige koefficienter.

Andre transformationer

Śulba-Sūtras beskriver også følgende transformationer: omdannelse af et kvadrat til et rektangel, omdannelse af et rektangel eller kvadrat til et trapezformet og omvendt, omdannelse af et kvadrat til en ligebenet trekant og omvendt, omdannelse af en rombe til et rektangel, der kombinerer flere firkanter af samme størrelse i en firkant og del en firkant i flere firkanter af samme størrelse.

Geometriske egenskaber anvendt i konstruktioner og transformationer

I de konstruktioner, der er beskrevet af Sulba-Sūtras, griber mange matematiske egenskaber ind. Nogle, som den såkaldte Pythagoras-sætning, er udtrykkeligt angivet, men de fleste er ikke og viser kun implicit.

"Pythagores sætning"

Det, vi i dag kalder Pythagoras sætning , og historikere kalder lettere diagonalt sætningens kvadrat i denne sammenhæng, er udtrykkeligt formuleret i Śūlba-Sūtras som følger:

” Firkantens diagonal er dobbelt så stor som arealet. »(Śulba-Sūtras af Baudhāyana - 1.9)

” Områderne produceret henholdsvis efter længden og bredden af et rektangel tilsammen giver det areal, der er produceret af diagonalen. »(Śūlba-Sūtras af Baudhāyana - 1.12)

Bemærk, at i modsætning til hvad vi er vant til, er dette resultat ikke angivet for rigtige trekanter, men for firkanter og rektangler. Det bruges for eksempel i konstruktionen af en firkant svarende til summen eller forskellen på to firkanter.

Omvendelsen af denne sætning er ikke formuleret eksplicit, men bruges også, især i konstruktioner af retvinkler.

Arealberegninger

Śulba-sūtras vidner om viden om et bestemt antal forhold mellem områder og længder. De indeholder især bestemmelse af områder med firkanter, ligebenede trapezoider, ligebenede trekanter, højre trekanter og romber.

Rumlige egenskaber af plane figurer

Mange egenskaber ved de anvendte planfigurer findes også i inulba-Sūtras. Nogle konstruktioner bruger det faktum, at en cirkel er stedet for punkter i samme afstand fra et givet punkt, eller at den vinkelrette halvdel af en linje er stedet for punkter i samme afstand fra de to ender. Kendskab til mange forhold mellem sider og diagonaler skinner også igennem, såsom om diagonalerne i et rektangel krydser hinanden ved deres midtpunkt og deler det i fire lige store dele, eller diagonalerne på en romb krydser ved deres midtpunkt. Vinkelret.

Egenskaber af lignende tal

Śulba-Sūtras anvender to vigtige egenskaber ved samme figurer, nemlig at siderne og linjerne, der svarer til hinanden i samme figurer, er proportionelle, og at områderne med samme figurer er i samme forhold som kvadraterne på deres sider.

Rationelle tilnærmelser

Nogle regler for transformation af figurer involverer det, vi i dag vil kalde tilnærmelser til irrationelle tal , for eksempel:

Nogle konstruktioner antyder, at diagonalen på en firkant har længden af sin side plus en tredjedel plus en fjerdedel af en tredjedel minus en halvtredsfjerde af sidstnævnte mængde, hvilket kan ses som en tilnærmelse af kvadratroden af to . : . ${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ simeq 1 + {\ dfrac {1} {3}} + {\ dfrac {1} {3 \ times 4}} - {\ dfrac {1} {3 \ times 4 \ times 34}} \ simeq 1.4142157}$
Den side af kvadratet på det samme område en cirkel er 13/15 diameteren af den cirkel, hvilket kan resultere i en tilnærmelse af antallet π : . ${\ displaystyle \ pi \ simeq \ left ({\ dfrac {2 \ times 13} {15}} \ right) ^ {2} \ simeq 3.004}$
Siden af firkanten med det samme område som en cirkel er dens diameter, hvilket vil give en tilnærmelse af rækkefølgen af . ${\ displaystyle {\ dfrac {7} {8}} + {\ dfrac {1} {8 \ times 29}} - \ left ({\ dfrac {1} {8 \ times 29 \ times 6}} - {\ dfrac {1} {8 \ gange 29 \ gange 6 \ gange 8}} \ højre)}$ ${\ displaystyle \ pi \ simeq 3.008}$

Śulba-Sūtras vidner yderligere om bevidstheden om, at nogle af disse tilnærmelser er mere præcise end andre. Der er ingen indikation af, hvordan disse tilnærmelser blev opnået, hverken i Śulba-Sūtras eller i teksterne omkring dem.

Tilnærmelsen 13/15 for forholdet mellem siden af firkanten og diameteren af en cirkel i det samme område er ikke særlig god, fejlen er mere end 4%, men det ser ud til at have været brugt mest, l Den anden tilnærmelse er mere præcis, men med en fejl på stadig 1,7%, og mærkeligt nok vil de to første termer af summen give en bedre tilnærmelse.

Tilnærmelsen til kvadratets diagonal er meget bedre: vi har faktisk $\sqrt 2 \approx 1.4142136 op$ til 10 −7 . Men intet i Śulba-Sūtras indikerer, at forfølgelsen af præcision var på spil, og det er den eneste der findes på dette niveau af præcision. Tilnærmelsen $1 + 5/12$ bruges også der.

På de eneste vidnesbyrd om denne tilnærmelse, og af det faktum, at i det mindste i Kātyāyana s Śulba-Sutra Det præciseres, at det ikke er nøjagtig, visse videnskabshistorikere , især i slutningen af det 19. århundrede og i begyndelsen af XX th århundrede har konkluderet, at irrationaliteten af kvadratroden af to var kendt af forfatterne af Sulba-sutras, men dette synes næppe forsvaret i dag.

Oprindelse og eftertiden

Fakta og hypoteser om oprindelsen af Śulba-Sūtras

Mange historikere har forsøgt at foreslå oprindelsen til de regler, der præsenteres i Śulba-Sūtras. Dette afsnit nævner nogle få, men ingen er eksplicit bekræftet af teksterne.

Først og fremmest kan ligheder bemærkes mellem Śulba-Sutraerne og Elementer af Euclid : den såkaldte Pythagoras 'sætning, som er angivet i Śulba-Sutraerne er genstand for Proposition I.47 af Elements , problemet Opførelsen af figurer, der er lige store i områder, er kernen i disse to afhandlinger, og konstruktionen af geometriske figurer med et reb og en pæl i Śulba-Sūtras kan sammenlignes med konstruktioner med en lineal og et kompas i elementerne .

Imidlertid ser det ud til, at visse geometriske egenskaber såsom sætningen siger Pythagoras, allerede var kendt på tidspunktet for skrivning af vediske ældre tekster, som sūtras , brahmanas og sahmitas , selvom de ikke er eksplicitte. Da disse tekster går forud for de første græske matematiske tekster, vil dette udelukke, at geometrien af Śulba-Sūtras har sin oprindelse i disse græske tekster. Den græske oprindelse blev også afvist af en anden grund: Elements er en abstrakt afhandling langt fjernet i stil og metode fra traditionen med -ulba-Sūtras, og det ville have været vanskeligt for forfatterne af sidstnævnte at trække information.

Historikere har også overvejet, at noget matematisk kendskab til Śulba-Sutraer kan være kommet fra Mesopotamien , da den såkaldte Pythagoras sætning er attesteret i paleo-babylonske matematiske tekster fra begyndelsen af det andet årtusinde f.Kr. Denne hypotese er blevet afvist, men efterfølgende arbejde synes at ugyldiggøre det argument, der blev brugt til det. Spørgsmålet synes derfor at forblive åbent.

Endelig er en sidste hypotese, der foreslås, at arier , der ville have invaderet Indien omkring 1500 f.Kr., importerede disse geometriske ritualer fra det nærmeste øst. Sumerisk viden kunne så være den almindelige kilde til Śulba-Sūtras, Paleo-Babylonian matematik og Pythagoreere, men dette er langt fra sandt.

Eftertiden for Śulba-Sūtras i sanskrit matematik

Ingen matematisk tekst på sanskrit, der er kommet ned til os, gør det muligt at linke Śulba-Sūtras direkte til senere værker, sammensat fra midten af det første årtusinde e.Kr. Imidlertid finder vi nogle gange ligheder mellem matematikken i disse to perioder, såsom den rigelige anvendelse af den såkaldte Pythagoras sætning eller brugen af de samme geometriske termer. Derudover anvender arkitektoniske afhandlinger fra senere epoker metoder, der ligner dem, der er beskrevet i Śulba-Sūtras.

Bibliografi

(en) SG Dani, "Geometri i Śulvasūtras" , i CS Seshadri, Studies in the History of Indian Mathematics , Hindustan Book Agency, koll. "Kultur og historie om matematik",2010( ISBN 978-93-86279-49-1 , læs online ) , s. 9-38.
O. Keller, “ Sulba-Sutras geometri. Eksempel på rituel geometri fra det vediske Indien: udvidelsen af alteret i form af en falk ”, Repères IREM , nr . 40,2000( læs online ).
(en) Kim Plofker , Matematik i Indien , Princeton University Press (Princeton),2009( ISBN 978-0-691-12067-6 ).
(en) TA Sarasvati Amma , "Śulbasūtra geometry" , i TA Sarasvati Amma, Geometri i det gamle og middelalderlige Indien , Motilal Banarsidass (Dehli),1979.
(en) A. Seidenberg, "Geometrien til det vediske ritual" , i F. Staal, Agni, det vediske ritual af ildalteret , bind. 2, Asian Humanities Press (Berkeley),1983( ISBN 0-89581-450-1 ) , s. 95-126.

Noter og referencer

Sarasvati Amma 1979 , s. 14 og artikler Śrauta-Sūtra og Kalpa-Sūtra fra Encyclopaedia Britannica.
Plofker 2009 , s. 17.
matematiker af II th århundrede f.Kr.. AD , for ikke at forveksle med sin navnebror, den indiske grammatiker Katyayana, der levede et århundrede tidligere, ifølge Gérard Huet , Dictionnaire Héritage du Sanscrit , post " kātyāyana " , konsulteret om1 st juni 2020-
Sarasvati Amma 1979 , s. 14 og Plofker 2009 , s. 17.
Plofker 2009 , s. 18 sammenlignet med TA Sarasvati Amma 1979 , s. 15, Keller 2000 og Dani 2010 , s. 10.
Plofker 2009 , s. 18, TA Sarasvati Amma 1979 , s. 14 og Seidenberg 1983 , s. 95.
Sarasvati Amma 1979 , s. 16 og 33-34, Plofker 2009 , s. 17 og Keller 2000 , s. 4.
Plofker 2009 , s. 17, Seidenberg 1983 , s. 113 og Keller 2000 , s. 3-4.
Sarasvati Amma 1979 , s. 22 og Plofker 2009 , s. 19.
Sarasvati Amma 1979 , s. 22-23 og Plofker 2009 , s. 19.
Sarasvati Amma 1979 , s. 27, Plofker 2009 , s. 20 og Seidenberg 1983 , s. 95 for varianterne).
Sarasvati Amma 1979 , s. 29-30 og Keller 2000 , s. 5.
Sarasvati Amma 1979 , s. 45-46.
Sarasvati Amma 1979 , s. 35 og Seidenberg 1983 , s. 98-99.
Sarasvati Amma 1979 , s. 34, Plofker 2009 , s. 23 (og Seidenberg 1983 , s. 110).
Seidenberg 1983 , s. 110-111, Sarasvati Amma 1979 , s. 34, Plofker 2009 , s. 23.
Keller 2000 , s. 6-7.
Keller 2000 , s. 6-7, Seidenberg 1983 , s. 98, Sarasvati Amma 1979 , s. 17-18 og Plofker 2009 , s. 20-21.
Sarasvati Amma 1979 , s. 46.
Sarasvati Amma 1979 , s. 51-53.
Sarasvati Amma 1979 , s. 46-48 og Plofker 2009 , s. 26.
Sarasvati Amma 1979 , s. 48-50.
Plofker 2009 , s. 27-28.
Plofker 2009 , s. 28.
Dani 2010 , s. 28-29.
Dani 2010 , s. 30.
Dani 2010 , s. 32.
Dani 2010 , s. 31.
Se (i) Bibhutibhusan Datta , Sulba 's videnskab: En undersøgelse i tidlig hinduistisk geometri ,1932( læs online ) , s. 195-202, der diskuterer og forsvarer denne holdning.
Dani 2010 , s. 36 mener, at dette er "uberettigede spekulationer", der ignorerer både den sande betydning af irrationalitet og det praktiske formål med Śulba-Sūtras, der indviede alters konstruktion. Kapitlet viet til Śulba-Sūtras fra Plofker 2009 , Sarasvati Amma 1979 eller Seidenberg 1983 , hvis de nærmer sig tilnærmelsen af √2 godt, taler ikke om irrationalitet.
Plofker 2009 , s. 28.
Keller 2000 , s. 2-3 og Seidenberg 1983 , s. 95.
Seidenberg 1983 , s. 105-108 og Keller 2000 , s. 2.
Seidenberg 1983 , s. 119-122.
Seidenberg 1983 , s. 122-123
Sarasvati Amma 1979 , s. 58-60 og Plofker 2009 , s. 28.