Algebra af en begrænset gruppe

I matematik er algebraen for en begrænset gruppe et specielt tilfælde af algebraen for en monoid, der falder inden for rammerne af teorien om repræsentationer af en begrænset gruppe .

En algebra for en begrænset gruppe er dataene for en begrænset gruppe , for et vektorrum med dimensionen rækkefølgen af ​​gruppen og for en base indekseret af gruppen. Multiplikationen af ​​basiselementerne opnås ved multiplikation af indekserne ved hjælp af gruppeloven, den udvides over hele strukturen ved hjælp af linearitet. En sådan struktur er en semi-enkel algebra , den har en hel teori om hvilken Artin-Wedderburn sætning er søjlen.

Denne tilgang bringer en ny analysevinkel til repræsentation af grupper. Det gør det muligt at fastslå for eksempel sætningen om gensidighed af Frobenius , for Artin eller for eksempel sætningen af ​​Brauer om de inducerede tegn  (en) .

Introduktion

Processens art

Målet er studiet af repræsentationer af en begrænset gruppe G fra en bestemt vinkel. Først undersøges en enkelt repræsentation, den regelmæssige repræsentation . Startsættet er lineariseret, dvs. det identificeres med vektorrummet på repræsentationens krop K , hvor gruppen bliver det kanoniske grundlag for rummet. Den morphism af grupper af G i lineære gruppe af vektorrummet forlænges af linearitet. Vi opnår en associativ algebrastruktur over et kommutativt felt , betegnet K [ G ] (for notationer, se artiklen polynom i flere ubestemte ). Sammen med tegn er denne tilgang en af ​​de to søjler i repræsentationsteorien .

Den sætning af Maschke viser, at hvis ordren af gruppen ikke er et multiplum af karakteristiske af legemet K , algebra er semi-simple . Denne struktur, der er genstand for en stor teori, tillader demonstration af forskellige resultater takket være dens mange sætninger. En af de vigtigste er utvivlsomt den for Artin-Wedderburn , han indikerer, at hvis polynomet X g - 1 er delt, er algebraen isomorf til en direkte sum af algebraer af endomorfier på K - vektorrum med færdige dimensioner . Her betegner g gruppens rækkefølge.

En gruppes algebra fungerer på alle repræsentationer, det er tilstrækkeligt at udvide gruppernes morfisme ved linearitet. Vi får en modulstruktur , hvor ringen K [ G ] fungerer på repræsentationens vektorrum. En sådan struktur kaldes G- modul. Der er en streng ækvivalens mellem begrebet G -modul og repræsentation af G .

Ansøgninger

De fleste af de første resultater af repræsentationsteorien er en direkte konsekvens af de generelle egenskaber ved semi-enkle algebraer. Vi kan demonstrere den endelige karakter af antallet af irreducerbare repræsentationer eller ligheden mellem rækkefølgen af ​​gruppen og summen af ​​kvadraterne for dimensionerne af de irreducible repræsentationer . Det er korrekt, at disse egenskaber ofte let demonstreres ved hjælp af tegn uden tilføjelse af en rig, men undertiden kompleks teori. På den anden side demonstreres nogle af disse resultater lettere med en tilgang ved hjælp af semi-enkle algebraer, dette er tilfældet med Frobenius-gensidighedskriteriet .

Der er elementer, der er specifikke for algebraer, som er vigtige for repræsentationsteorien. Den centrum af algebra K [ G ] er naturligvis en kommutativ Abelian forlængelse af feltet K . Det er muligt at bruge begrebet algebraisk heltal . Denne bemærkning gør det muligt at indføre en aritmetik , der viser sig at være uundgåelig. Det bruges i denne artikel til at demonstrere, at enhver irreducerbar repræsentation har en grad, der deler gruppens rækkefølge.

I det tilfælde hvor g er et multiplum af gruppens karakteristika, forsvinder karakterernes grundlæggende egenskab, nemlig det ortonormale aspekt af de irreducerbare tegn. Gruppealgebra mister også sin semi-enkelhed. På den anden side gør teorien om semi-enkle ringe og især begrebet Jacobson-radikaler det muligt at belyse repræsentationernes natur.

Definitioner

En gruppes algebra

Følgende notationer og antagelser bruges i hele artiklen:

G betegner en endelig gruppe betegnet ved multiplikation, dens neutrale element betegnet med 1 og dens rækkefølge g .

K er en felt hvis karakteristik betyder ikke opdele g , og hvorpå den polynomielle X g - 1 er opdelt (eller endda kun polynomiet X e - 1, hvor e betegner eksponent af G ).

K G betegner vektorrum af ansøgninger G i K . Dens kanoniske basis er familien ( δ s ) sεG hvor δ s ( t ) = 1 for t = s og er 0 for andre t ∈ G .

• Den K algebra af gruppen G , betegnet K [ G ], defineres ved tilvejebringelse vektorrummet K G af foldning *, der er beskrevet af:∀på,b∈KG,∀u∈G,(på∗b)(u)=∑s,t∈G,st=upå(s)b(t){\ displaystyle \ forall a, b \ i K ^ {G}, \ quad \ forall u \ in G, \ qquad (a * b) (u) = \ sum _ {s, t \ in G, st = u } a (s) b (t)}

eller:

∀(pås)s∈G, (bt)t∈G∈KG,(∑s∈Gpåsδs)∗(∑t∈Gbtδt)=∑s,t∈Gpåsbtδst.{\ displaystyle \ forall (a_ {s}) _ {s \ in G}, ~ (b_ {t}) _ {t \ in G} \ in K ^ {G}, \ quad \ left (\ sum _ { s \ i G} a_ {s} \ delta _ {s} \ højre) * \ venstre (\ sum _ {t \ i G} b_ {t} \ delta _ {t} \ højre) = \ sum _ {s , t \ i G} a_ {s} b_ {t} \ delta _ {st}.}

Denne interne multiplikation udvider gruppens lov: δ s ∗ δ t = δ st .

G- modul

• Et modul på algebra K [ G ] kaldes et G- modul .

Vi har derefter en komplet ordbog mellem repræsentationer af G og G- moduler. I særdeleshed :

• De enkle moduler svarer til irreducerbare repræsentationer .
• Hvis V 1 og V 2 er to G -modules, den K -algebra af morfier af G -modules fra V 1 i V 2 er algebra af morfier mellem de to tilsvarende repræsentationer. Det vil blive betegnet hom K G ( V 1 , V 2 ).

Ifølge Maschkes sætning  :

• Hvis gruppens rækkefølge ikke er et multiplum af karakteristikken for feltet K, så er ethvert G- modul semi-simpelt , dvs. direkte sum af enkle moduler. Med andre ord: K [ G ] er en semi-enkel algebra .

Ejendomme

Algebra Center

Det følger af definitionen af ​​produktet i ringen K [ G ], at dets centrum består af kortene over G i K, som er centrale , dvs. konstante på hver konjugationsklasse . Dette vektors underrum af K G har derfor som kanonisk basis familien ( 1 c ) c∊C af indikatorfunktioner af disse konjugationsklasser (en sådan indikator nedbrydes til den kanoniske basis af K G til: 1 c = ∑ s ∊c δ s ).

Det er også bevist, at for den symmetriske bilineære form ikke degenererer på K G defineret af

(f|h)=1g∑s∈Gf(s)h(s-1),{\ displaystyle (f | h) = {\ frac {1} {g}} \ sum _ {s \ in G} f (s) h (s ^ {- 1}),}

• de irreducible tegn danner et ortonormalt grundlag for det centrale funktions underområde.

Det resulterer (i betragtning af dimensionen af ​​dette underområde):

• Antallet af irreducerbare tegn er lig med antallet h af bøjningsklasser i gruppen.

Gruppen har derfor K (op til ækvivalens) kun h irreducible repræsentationer ( S 1 , ρ 1 ), ... ( S h , ρ h ), hvis tegn × 1 , ..., χ h formular på basis af rummet af centrale funktioner.

Artin-Wedderburn sætning

Med notationerne i det foregående afsnit beviser vi direkte følgende grundlæggende sætning:

• Algebra K [ G ] er isomorf til den direkte sum af algebraer L K ( S i ) af endomorphisms af K-vektorrum S i bag de h irreducible repræsentationer af G:K[G]≃⨁jeg=1hLK(Sjeg).{\ displaystyle K [G] \; \ simeq \; \ bigoplus _ {i = 1} ^ {h} \ mathrm {L} _ {K} (S_ {i}).}En mere videnskabelig måde at opnå det samme resultat på er at bruge Artin-Wedderburn sætningen til semi-enkle, endelige dimensionelle algebraer .

Direkte demonstration

• Hver af repræsentationerne ρ i  : G → GL ( S i ) definerer en morfisme, som vi igen betegner med ρ i , fra K [ G ] til L ( S i ), og vi betegner med ρ morfismen af K [ G ] i den direkte sum af L ( S i ). Vi betegner også med f k de kanoniske lineære former (matrixkoefficienter) på denne sum.
• For enhver lineær form linear = ∑λ k f k på denne direkte sum, hvis φ er nul på billedet af ρ, så er ∑λ k m k = 0, hvor m k = f k ∘ρ. Imidlertid følger det af Corollary 4 i artiklen "Lemma of Schur" , at m k udgør en fri familie, der medfører ugyldigheden af ​​al λ k og derfor af φ. Dette beviser, at billedet af ρ ikke er inkluderet i noget hyperplan, hvorfor ρ er overvejende.
• Hvis et element f af K [ G ] er i kernen af ​​ρ, dvs. i kernen af ​​alle ρ i , så er f også i kernen af ​​morfismen λ: K [ G ] → L ( K G ) associeret med regelmæssig repræsentation, da sidstnævnte, ligesom enhver repræsentation af G , er en direkte sum af irreducibles. Da λ (f) er nul, er billedet af λ (f) af elementet δ 1 af K [ G ] også nul, men dette billede er ingen ringere end f . Dette beviser, at ρ er injektionsdygtig.

• Eftersom vektorrummet underliggende K [ G ] er K G vi derfor, ved at betegne d i dimensionen af rummet S i , ligestilling af heltal  :g=∑jeg=1hdjeg2.{\ displaystyle g = \ sum _ {i = 1} ^ {h} d_ {i} ^ {2}.}(I artiklen Regelmæssig repræsentation demonstreres denne bemærkelsesværdige identitet kun modulo som karakteristisk for K. )
• Et element af K [ G ] hører til centrum, hvis og kun hvis hver af dets komponenter er en homotety. Desuden studiet af centrale funktioner viser, at forholdet λ jeg af skaleringen på S i er da lig med:f{\ displaystyle f}λjeg=1djeg∑s∈Gf(s)χjeg(s).{\ displaystyle \ lambda _ {i} = {\ frac {1} {d_ {i}}} \ sum _ {s \ in G} f (s) \ chi _ {i} (s).}

Regelmæssig ydeevne

Den regelmæssige repræsentation λ af G er den, der via den tidligere nævnte “ordbog” svarer til den naturlige struktur af K [ G ] -modul til venstre for algebra K [ G ]. Takket være ovenstående nedbrydning af denne algebra har vi:

• Den regelmæssige repræsentation er ækvivalent med den direkte sum af de irreducerbare repræsentationer ρ i hver gentaget et antal gange svarende til dets grad d i  :

(KG,λ) ≃ ⨁jeg=1hdjeg(Sjeg,ρjeg).{\ displaystyle (K ^ {G}, \ lambda) ~ \ simeq ~ \ bigoplus _ {i = 1} ^ {h} d_ {i} (S_ {i}, \ rho _ {i}).}

Med andre ord er de isotypiske komponenter i det semi-enkle modul associeret med λ

djeg(Sjeg,ρjeg)=(Sjeg,ρjeg)⊕...⊕(Sjeg,ρjeg)(djeg tid),meddjeg=Sol⁡(Sjeg).{\ displaystyle d_ {i} (S_ {i}, \ rho _ {i}) = (S_ {i}, \ rho _ {i}) \ oplus \ ldots \ oplus (S_ {i}, \ rho _ { i}) \ quad (d_ {i} {\ text {times}}), \ quad {\ text {med}} \ quad d_ {i} = \ dim (S_ {i}).}

Orthogonality

Komplementariteten af ​​de to tilgange, ved karakterer og ved gruppealgebra, gælder også for ortogonalitetens egenskaber. Lad ( V 1 , ρ 1 ) og ( V 2 , ρ 2 ) to fremstillinger af G .

• Hvis χ 1 og χ 2 betegner tegnene i ρ 1 og ρ 2, og hvis repræsentationerne ( V 1 , ρ 1 ) og ( V 2 , ρ 2 ) betragtes som G- moduler, gælder følgende ligestilling i K:

(χ1|χ2)=Sol⁡(homKG⁡(V1,V2)).{\ displaystyle (\ chi _ {1} | \ chi _ {2}) = \ dim \ left (\ hom _ {K} ^ {G} (V_ {1}, V_ {2}) \ right).} Demonstration

Brug de foregående notationer, og bemærk:

(V1,ρ1)≃⨁jeg=1hikke1,jeg(Sjeg,ρjeg)og(V2,ρ2)≃⨁jeg=1hikke2,jeg(Sjeg,ρjeg).{\ displaystyle (V_ {1}, \ rho ^ {1}) \ simeq \ bigoplus _ {i = 1} ^ {h} n_ {1, i} (S_ {i}, \ rho _ {i}) \ quad {\ text {and}} \ quad (V_ {2}, \ rho ^ {2}) \ simeq \ bigoplus _ {i = 1} ^ {h} n_ {2, i} (S_ {i}, \ rho _ {i}).}

Schurs lemma beviser, at dim (Hom K G ( S i , S j )) = δ i, j ( Kronecker symbol ). Vi kan udlede:

Sol⁡(homKG⁡(V1,V2))=Sol⁡(homKG⁡(⨁jeg=1hSjegikke1,jeg,⨁j=1hSjikke2,j))=∑jeg,j∈[1,h]ikke1,jegikke2,jSol⁡(homKG⁡(Sjeg,Sj))=∑jeg=1hikke1,jegikke2,jeg.{\ displaystyle \ dim \ left (\ hom _ {K} ^ {G} (V_ {1}, V_ {2}) \ right) = \ dim \ left (\ hom _ {K} ^ {G} \ left (\ bigoplus _ {i = 1} ^ {h} S_ {i} ^ {n_ {1, i}}, \ bigoplus _ {j = 1} ^ {h} S_ {j} ^ {n_ {2, j }} \ højre) \ højre) = \ sum _ {i, j \ i [1, h]} n_ {1, i} n_ {2, j} \ dim \ left (\ hom _ {K} ^ {G } (S_ {i}, S_ {j}) \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {h} n_ {1, i} n_ {2, i}.}

Egenskaben ved ortonormalitet af irreducerbare tegn gør det muligt at konkludere.

Ansøgninger

Frobenius gensidighed

Et godt eksempel på brugen af ​​gruppealgebrastrukturen gives af Frobenius-gensidighedskriteriet. Det vedrører en konstruktionsmetode for G- modul kaldet induceret repræsentation . Lad H være en undergruppe af G og W a K [ H ] -modul. Derefter er følgende struktur G- modulet induceret af W  :

V≃K[G]⊗K[H]W{\ displaystyle V \ simeq K [G] \ otimes _ {K [H]} W \;}

Induceret repræsentation svarer til en forlængelse af skalarer K [ H ] til ringen K [ G ] i H -modul W . I det tilfælde hvor H er en normal undergruppe af G , er det inducerede G- modul ækvivalent med et semi-direkte produkt .

Frobenius-gensidighedskriteriet er en enkel metode til at beregne det hermitiske produkt af karakteren af ​​et induceret modul. Hvis ψ betegner repræsentationens karakter θ, der kommer fra H- modul W og χ, som repræsenterer ρ af G , hvis Ind ψ betegner karakteren af ​​en induceret repræsentation, dvs. repræsentationen associeret med modulet inducerer og Res χ karakteren af begrænsningen fra ρ til H , derefter:

<jegikkedHGψ|χ>G= <ψ|ResHGχ>H{\ displaystyle <Ind_ {H} ^ {G} \, \ psi \, | \, \ chi> _ {G} = <\ psi \, | \, Res_ {H} ^ {G} \, \ chi> _ {H} \;}

Det demonstreres ved at etablere en isomorfisme mellem de to strukturer af morfisme i K- associeret algebra, ligestillingen af ​​dimensioner tillader at konkludere.

Algebraisk heltal

• U er et element i centrum K [ G ], hvis koordinater - på det kanoniske grundlag ( 1 c ) c ∈ C - er hele på ℤ , så er u integreret over ℤ.

For at bevise det beviser vi, at den endelige type ℤ- modul genereret af 1 c faktisk er en ℤ-algebra .

Med notationerne i de foregående afsnit udleder vi:

• Lad os være et element i centrum af K [ G ], hvis koordinater er hele på ℤ , så er det næste element i K heltal på ℤ.

λjeg=1djeg∑s∈Gusχjeg(s){\ displaystyle \ lambda _ {i} = {\ frac {1} {d_ {i}}} \ sum _ {s \ in G} u_ {s} \ chi _ {i} (s)}

I henhold til afsnittet "Artin-Wedderburn-sætning" er dette tal forholdet mellem homøtheten ρ i ( u ) på S i . I henhold til det foregående forslag er denne homotety et heltalselement på ℤ, så også dens relation, fordi kortet, som til en homotety forbinder dets relation, er en morfisme af algebraer.

Når K har nul karakteristik, kan man udlede af det følgende egenskab (hvilket faktisk er sandt i enhver karakteristik)  :

• Graden d i af en irreducerbar repræsentation opdeler gruppens rækkefølge.

Direkte demonstration

Overvej elementet u lig med summen, for s, der beskriver G , af elementerne χ i ( s -1 ) δ s . Χ i ( s -1 ) er algebraiske heltal , som helhed af tegnene . På den anden side er χ i som enhver karakter en central funktion på G , som beviser, at u er et element i centrum af K [ G ]. Da koordinaterne på det kanoniske grundlag er algebraiske heltal, gælder det foregående forslag, og g / d i er et algebraisk heltal. Men det er også et rationelt tal, og derfor et element af Z , som viser, at d i orden deler af gruppen.

Abelsk gruppe

Hvis endelige gruppe G er Abelian, dens dobbelte gruppe er endelig og isomorf (ikke canonically) til G . Vi har så alle værktøjerne til harmonisk analyse på gruppealgebraen (med komplekse koefficienter). Vi definerer en Fourier-transformation og et sammenløbsprodukt , og sætninger som Parseval-lighed , Plancherels sætning eller Pontryagin-dualitet finder anvendelse.

Mange klassiske sætninger genfortolkes med hensyn til harmonisk analyse af en begrænset abelsk gruppe; vi kan i aritmetik citere sammensætningen af ​​værktøjer som Legendre-symbolet , de gaussiske summer, der blev brugt til demonstration af den kvadratiske gensidighedslov eller til beregning af gaussiske perioder og søgningen efter rødderne til cyklotomiske polynomer .

Noter og referencer

1. Se Gruppeteori, Komplekse tegn i begrænsede grupper, Lemma 36 på Wikiversity .

Se også

Relateret artikel

Algebra a groupoid  (en)

Bibliografi

• Jean-Pierre Serre , Lineære repræsentationer af begrænsede grupper [ detaljerede udgaver ]
• (en) Marshall Hall, Jr. , Theory of Groups [ detaljer af udgaver ]
• Serge Lang , Algebra [ detaljer af udgaver ]
• N. Bourbaki , Elementer i matematik , Algebra , kap. VIII

eksterne links

• Vincent Beck, "  TD Repræsentation af endelige grupper  " , 2005-2006 af Michel Broué- kurset M2 ( University Paris VII - Diderot ), og korrigeret
• Daniel Ferrand, "  Lineær repræsentation af begrænsede grupper, en introduktion  " , om IMJ-PRG ,2005
• (en) Peter Webb, “  Finite Group Representations for the Pure Mathematician  ”

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">