Mindst almindelige multiple

I matematik og mere præcist i aritmetik er det mindst almindelige multiple - forkortet PPCM - (kan også kaldes PPMC eller " mindste fælles multiplum ") af to ikke-nul heltal a og b er det mindste strengt positive heltal, som er et multiplum af disse to tal. Vi betegner det a ∨ b eller PPCM ( a , b ) eller undertiden simpelthen [ a , b ].

Vi kan også definere PPCM for a og b som et fælles multiplum af a og b, der deler alle de andre. Denne anden definition generaliserer til enhver kommutativ ring , men vi mister generelt eksistens og unikhed; dette kaldes derefter en PPCM med to elementer. Eksistensen er sikret i integrerede faktorielle ringe eller endda kun i GCD .

Mere generelt er PPCM defineret for et vilkårligt antal elementer: PPCM for n ikke-nul heltal er det mindste strengt positive heltal multiple samtidigt af disse n heltal.

Definition

Lad a og b være to relative heltal :

hvis a eller b er nul, er PPCM ( a , b ) = 0;
hvis a og b ikke er nul, skal du overveje sættet med strengt positive heltal, der er multiple af både a og b . Dette sæt naturlige heltal er ikke-frit, fordi det indeholder | ab |. Det har derfor et mindre element , og det er dette heltal (strengt positivt), som vi kalder PPCM for a og b :

{\ displaystyle \ operatorname {PPCM} (a, b) = \ min \ left (\ left \ {m \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ mid a | m ~ {\ rm {and}} ~ b | m \ right \} \ right)}

Beregning

Brug af primær faktorisering

Den primære faktorisering af ppcm af n strengt positive heltal indeholder alle de primtal, der vises i det mindste en af de vigtigste faktorer for disse n heltal, hver tildelt den største eksponent, der vises i dem . Med andre ord, for ethvert primtal p ,

{\ displaystyle v_ {p} ({\ text {ppcm}} (a, b)) = \ max (v_ {p} (a), v_ {p} (b)),}

hvor er den p-adiske værdiansættelse . $v_p$

Vi opnår derfor en metode til beregning af PPCM ved at nedbryde hvert tal til et produkt med primtal .

Eksempel

Lad os tage tallene 60 og 168 og nedbryde dem til produkter af primære faktorer. Vi har :

60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2 2 × 3 × 5;
168 = 2 × 2 × 2 × 3 × 7 = 2 3 × 3 × 7.

For primtal 2 er den største eksponent 3. For primtalene 3, 5 og 7 er den største eksponent 1. Vi har således PPCM (60, 168) = 2 3 × 3 × 5 × 7 = 840 .

Brug af GCD

Så snart et af de to heltal a eller b ikke er nul, kan deres mindst almindelige multiple beregnes ved hjælp af deres største fælles divisor (GCD):

{\ displaystyle \ operatorname {PPCM} (a, b) = {\ dfrac {| ab |} {\ operatorname {PGCD} (a, b)}}}

Alternativt udledes eksistensen af en GCD såvel som formlen fra en PPCM i stærk forstand, det vil sige - jf. første egenskab nedenfor - af et fælles multiplum, der deler alle de andre:

Demonstration Metode 1: Definer heltal m og d ved: m = PPCM ( a , b ) og d = | ab | / m . Så,

\ forall n \ i \ mathbb {Z} \ quad n \ mid a, b \ iff nb, na \ mid ab \ iff n \ mid ab ~ {{\ rm {and}}} ~ b, a \ mid ab / n \ iff n \ mid md ~ {{\ rm {and}}} ~ m \ mid md / n \ iff n \ mid d

derfor GCD ( a , b ) = d .

Metode 2: Vi betegner den p-adic værdiansættelse . Brug af det, og vi finder $v_p$ ${\ displaystyle v_ {p} ({\ text {pgcd}} (a, b)) = \ min (v_ {p} (a), v_ {p} (b))}$ ${\ displaystyle v_ {p} ({\ text {ppcm}} (a, b)) = \ max (v_ {p} (a), v_ {p} (b))}$

{\ displaystyle \ forall p \ i {\ mathcal {P}} \ quad v_ {p} ({\ text {pgcd}} (a, b) {\ text {ppcm}} (a, b)) = v_ { p} ({\ text {pgcd}} (a, b)) + v_ {p} ({\ text {ppcm}} (a, b)) = \ min (v_ {p} (a), v_ {p } (b)) + \ max (v_ {p} (a), v_ {p} (b)) = v_ {p} (a) + v_ {p} (b) = v_ {p} (ab)}

derfor ved det unikke ved nedbrydning til produkt af primære faktorer .

{\ displaystyle {\ text {pgcd}} (a, b) {\ text {ppcm}} (a, b) = ab}

Således gør Euclids algoritme til beregning af GCD det også muligt at beregne PPCM.

Eksempel Lad os med Euclids algoritme beregne GCD (60, 168):
168 = 60 × 2 + 48
60 = 48 × 1 + 12
48 = 12 × 4 + 0. Så GCD (60, 168) = 12 og PPCM (60, 168) = (60 × 168) / 12 = 840.

Ejendomme

Lad $a , b , c være$ tre naturlige tal, der ikke er nul.

Multiplerne fælles for a og b er multiplerne af PPCM ( a , b )
I særdeleshed, $\ operatorname {PPCM} (a, b) = a \ iff b \ mid a$
$\ operatorname {PPCM} (a, b, c) = \ operatorname {PPCM} (\ operatorname {PPCM} (a, b), c) = \ operatorname {PPCM} (a, \ operatorname {PPCM} (b, c ))$ (vi kan udvide til et vilkårligt antal elementer)
$\ operatorname {PPCM} (ac, bc) = c \ operatorname {PPCM} (a, b)$
$\ operatorname {PGCD} (a, \ operatorname {PPCM} (a, b)) = \ operatorname {PPCM} (a, \ operatorname {PGCD} (a, b)) = a$
$\ operatorname {PGCD} (a, \ operatorname {PPCM} (b, c)) = \ operatorname {PPCM} (\ operatorname {PGCD} (a, b), \ operatorname {PGCD} (a, c))$
$\ operatorname {PPCM} (a, \ operatorname {PGCD} (b, c)) = \ operatorname {PGCD} (\ operatorname {PPCM} (a, b), \ operatorname {PPCM} (a, c))$
${\ displaystyle \ operatorname {PGCD} (\ operatorname {PPCM} (a, b), \ operatorname {PPCM} (b, c), \ operatorname {PPCM} (a, c)) = \ operatorname {PPCM} (\ operatorname {PGCD} (a, b), \ operatorname {PGCD} (b, c), \ operatorname {PGCD} (a, c))}$ .

Noter og referencer

Denne notation, der anvendes mere generelt til den øvre grænse i trellises her, om delbarhed, bruges også til logisk adskillelse .
Den tilsvarende notation for GCD er ( a , b ).
For en demonstration, se for eksempel " PPCM " på Wikiversity .

Se også

Relaterede artikler

Eksternt link

Online værktøj, der beregner PPCM for to tal