Argument for et komplekst tal

Et argument for et ikke-nul komplekst tal z er et mål (i radianer , derfor modulo 2π) for vinklen mellem halvlinjen af positive reelle tal ( x - aksen ) og det, der skyldes oprindelsen og passerer ved punktet repræsenteret af z (se figuren overfor).

Definition

Givet et ikke-nul komplekst tal $z$ , er et argument af $z$ et mål (i radianer, derfor modulo 2π) for vinklen:

{\ displaystyle ({\ overrightarrow {Ox}}, \; {\ overrightarrow {OM}})}

hvor $M$ er billedet af $z$ i det komplekse plan , dvs. punktet for påsætning $z$ .

Tilsvarende er et argument af $z$ et reelt tal således, at: $\ theta$

{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ Re (z)} {| z |}} \ quad {\ text {et}} \ quad \ sin \ theta = {\ frac {\ Im (z)} {| z |}}}

hvor , og er henholdsvis de reelle og imaginære dele og modulus af $z$ . $\ Re (z)$ $\ Im (z)$ ${\ displaystyle \ left | z \ right |}$

Ofte betegner vi et argument af det komplekse tal $z$ på en forenklet måde ved at:

{\ displaystyle \ arg z = \ theta}

eller mere præcist:

{\ displaystyle \ arg z \ equiv \ theta {\ bmod {2 \ pi}}}

Bemærk: på engelsk, også kaldet fase eller amplituden af et komplekst tal: . ${\ mathrm {ph}} (z)$

Beregningsformler

Hvis $z$ ikke er en ren imaginær , hvor er konjugatet af $z$ og derfor: ${\ displaystyle \ tan (\ arg z) = {\ frac {\ Im (z)} {\ Re (z)}} = {\ frac {z - {\ bar {z}}} {\ mathrm {i} \ left (z + {\ bar {z}} \ right)}}$ ${\ bar {z}}$ hvis , . ${\ displaystyle \ Re (z)> 0}$ ${\ displaystyle \ arg z \ equiv \ arctan {\ frac {\ Im (z)} {\ Re (z)}} \ equiv \ arctan {\ frac {z - {\ bar {z}}} {\ mathrm { i} \ left (z + {\ bar {z}} \ right)}} {\ bmod {2 \ pi}}}$
Mere generelt kan argumentet for et ikke-nul komplekst tal $z$ helt bestemmes som følger: ${\ displaystyle \ arg z = {\ begin {cases} 2 \ arctan {\ frac {\ Im (z)} {\ Re (z) + \ left | z \ right |}} & {\ text {si}} z \ notin \ mathbb {R} _ {-} \\\ pi & {\ text {si}} z \ in \ mathbb {R} _ {-} ^ {*} {\ text {.}} \ end { sager}}}$

Ejendomme

Lad $z$ , $z$ 1 og $z$ 2 være ikke-nul-komplekser. Vi har : ${\ displaystyle {\ bmod {2 \ pi}}}$

{\ displaystyle \ arg (z_ {1} z_ {2}) \ equiv \ arg z_ {1} + \ arg z_ {2}}

I særdeleshed :

for enhver reel $har$ ikke-nul: ${\ displaystyle \ arg (az) \ equiv {\ begin {cases} \ arg z & {\ text {si}} a> 0 \\ (\ arg z) + \ pi & {\ text {si}} a < 0 {\ text {;}} \ end {cases}}}$
for alle relative heltal $n$ : . ${\ displaystyle \ arg (z ^ {n}) \ equiv n \ arg z}$

Geometri applikationer

Hvis A , B , C og D er fire punkter to og to adskiller sig fra det komplekse plan for respektive affikser a , b , c og d , så:

{\ displaystyle ({\ overrightarrow {AB}}, \; {\ overrightarrow {CD}}) \ equiv \ arg {\ frac {dc} {ba}} {\ bmod {2 \ pi}}}

Noter og referencer

(i) Dictionary of Mathematics , 2002, "fase".
(i) Konrad Knopp og Frederick Bagemihl, Theory of Functions del I og II , Dover Publications,1996, 150 s. ( ISBN 978-0-486-69219-7 ) , s. 3.

Relaterede artikler