Radian

Radian
Definition af vinklen i radianer.
Information
System	Enheder afledt af det internationale system
Enhed af…	Planvinkel
Symbol	rad
Konverteringer
1 rad i ...	er lig med...
fuld tur	2 π rad

Den radian (symbol: rad ) er afledt af det internationale system , som måler plane vinkler . Selvom ordet "  radian  " blev opfundet i 1870'erne af Thomas Muir og James Thomson , har matematikere længe målt vinkler ved hjælp af forholdet mellem omkredsen og længden af ​​radius som en enhed.

Definition

Overvej en vinkelsektor, der er dannet af to forskellige samtidige linjer , og en cirkel med radius r trukket i et plan indeholdende disse to linjer, hvis centrum er linjens skæringspunkt. Derefter er værdien af vinklen i radianer er forholdet mellem længden L af buen af en cirkel opfanget af linierne og radius r .

En vinkel på en radian aflytter på omkredsen af denne cirkel en bue med en længde svarende til radius. En fuld cirkel repræsenterer en vinkel på 2 π radianer, kaldet en fuld vinkel .

Brug af radianer er bydende nødvendigt, når man udleder eller integrerer en trigonometrisk funktion, eller endda når man bruger en begrænset udvikling af denne trigonometriske funktion: Faktisk kan vinklen findes i faktor, kun værdien i radianer har en retning. Beregningen af trigonometriske funktioner ved hjælp af en Taylor-serie antager derfor ekspressionen af ​​vinklerne i radianer, ligesom anvendelsen af formlen til Euler , der udgjorde den ved at angive, at vinklerne skulle måles med længden i buens radius de opfanger mere end et århundrede før opfindelsen af ​​udtrykket radian .

Små vinkler

For små vinkler udtrykt i radianer, sin x ≈ tan x ≈ x .

• For en vinkel på mindre end 0,17 radianer (dvs. ~ 10 °) er fejlen mindre end 1%;
• For en vinkel på mindre end 0,05 radianer (dvs. ~ 3 °) er fejlen mindre end 0,1%.

Inden for topografi , hvor vi beskæftiger os med svage vinkler, bruger vi vinkelmil , en praktisk enhed, defineret som den vinkel, der opfanges af en længde på 1  mm i en afstand på 1  m . Det bruges for eksempel til at bestemme afstanden fra en stav med kendt højde ved at måle dens tilsyneladende størrelse . Under de betingelser, hvor det tjener, identificeres denne enhed med en milliradian .

Forholdet mellem karakterer, grader og radianer

En fuld drejning er lig med 2 π radianer, 360 grader, 400 grader.

Derfor,

• En radian er cirka 57,3 ° eller 57 ° 18 '(360 ° ÷ 2π);
• en grad er cirka 17,5 milliradianer.

Konverteringsformlerne mellem grader og radianer er:

θdeg=θrpåd⋅180π{\ displaystyle \ theta _ {deg} = \ theta _ {rad} \ cdot {180 \ over \ pi}}

θrpåd=θdeg⋅π180{\ displaystyle \ theta _ {rad} = \ theta _ {deg} \ cdot {\ pi \ over 180}}

Konverteringsformlerne mellem kvaliteter og radianer er:

θgrpå=θrpåd⋅200π{\ displaystyle \ theta _ {gra} = \ theta _ {rad} \ cdot {200 \ over \ pi}}

θrpåd=θgrpå⋅π200{\ displaystyle \ theta _ {rad} = \ theta _ {gra} \ cdot {\ pi \ over 200}}

Se også

Bibliografi

• Richard Taillet, Loïc Villain og Pascal Febvre, Dictionary of Physics , Bruxelles, De Boeck ,2013, "Radian", s.  569

Relaterede artikler

• Vinkel
• Vinkel Mil
• Grad (vinkel)
• Grad (vinkel)

Noter og referencer

1. (in) AR Crathorne , "  The Word" Radian "  " , American Mathematical Monthly , bind.  19, n os  10-11,Oktober-november 1912, s.  166 ( DOI  10.2307 / 2971878 , JSTOR  2971878 ).
2. (i) Robert J. Whitaker, "  Hvorfra '' Radianen ''?  " , The Physics Teacher  (in) , bind.  32, nr .  7,Juni 1998, s.  444–445 ( DOI  10.1119 / 1.2344073 ).
3. Taillet, Villain and Febvre 2013 , s.  39.