I matematik og nærmere bestemt i talteori er Chebyshevs bias bemærkning om, at der for det meste er flere primtal i formen 4 k + 3 end i formen 4 k + 1. Dette fænomen blev først bemærket af Pafnouti Chebyshev i 1853, men der er ingen streng demonstration endnu.
Lad π ( x ; 4, 1) (henholdsvis π ( x ; 4, 3)) være antallet af primtal i formen 4 k + 1 (henholdsvis 4 k + 3) mindre end x . Fra den kvantitative version af den aritmetiske progression sætning har vi
det vil sige at den asymptotiske tæthed af primtal med formen 4 k + 1 i sættet med alle primtal er 1/2. Vi kunne tro, at sættet med x, for hvilket π ( x ; 4, 1)> π ( x ; 4, 3) også har asymptotisk densitet 1/2, men faktisk er tilfældet π ( x ; 4, 3) ≥ π ( x ; 4, 1) er meget mere almindelig; for eksempel i sættet med prime x <26833 er den (store) ulighed altid sand, og vi har kun lighed for x = 5, 17, 41 og 461 (fortsættelse A007351 af OEIS ); 26.861 er det mindste primtal x, for hvilket π ( x ; 4, 1)> π ( x ; 4, 3) - som blev observeret af John Leech i 1957 - og det næste er 616.841.
Mere generelt, hvis 0 < a , b < q er hovedtal med q , hvis a er et modulo p kvadrat, og hvis b ikke er et modulo p kvadrat , har vi π ( x ; q , b )> π ( x ; q , a ) oftere end den modsatte ulighed (med andre ord, disse x har asymptotisk densitet> 1/2); dette resultat er kun blevet demonstreret ved at indrømme den generaliserede Riemann-hypotese . Knapowski og Turán havde formodet, at tætheden af x, for hvilken π ( x ; 4, 3)> π ( x ; 4, 1) var lig med 1, men (stadig under den generelle Riemann-hypotese) er det muligt at vise at dette sæt har en logaritmisk tæthed, der er omtrent lig med 0,9959.
Resultatet udgør, for k = −4, at bestemme den mindste p- prime således, at (hvor er Kronecker-symbolet ); for et givet heltal k (ikke-nul) kan vi spørge os selv, hvad der er den mindste p, der opfylder denne betingelse
Sekvensen af disse p for k = 1, 2, 3, ... er
2, 11100143, 61981, 3, 2082927221, 5, 2, 11100143, 2, 3, 577, 61463, 2083, 11, 2, 3, 2, 11100121, 5, 2082927199, 1217, 3, 2, 5, 2, 17, 61981, 3, 719, 7, 2, 11100143, 2, 3, 23, 5, 11, 31, 2, 3, 2, 13, 17, 7, 2082927199, 3, 2, 61463, 2, 11100121, 7, 3, 17, 5, 2, 11, 2, 3, 31, 7, 5, 41, 2, 3, ... (fortsættelse A003658 af OEIS )For negative heltal k = -1, -2, -3, ..., sekvensen af p er
2, 3, 608981813029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 608981813017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2, 1019, 5, 263, 11, 3, 2, 26861, ... (fortsættelse A003657 af OEIS )I alle tilfælde, hvis | k | er ikke en firkant, der er mere p som den af p sådan, at hvis den generaliserede Riemann hypotesen er sand .
(en) J. Kaczorowski, "On the distribution of primes (mod 4)", Analysis , vol. 15, 1995, s. 159-171