Gensidig sammenhæng

I matematik er den gensidige sammenhæng (eller den gensidige eller gensidige funktion ) af en sammenhæng ƒ det kort, der associeres med hvert element i ankomstsættet, dets unikke fortilfælde ved ƒ. Hun bemærker sig selv .

Eksempel

Vi betragter kortet ƒ fra R til R defineret af:

ƒ ( x ) = x 3 .

For hver rigtige y er der en og kun en reel x sådan, at

y = x 3 = ƒ ( x ),

således for y = 8 er den eneste passende x 2, på den anden side for y = –27 er det –3. I matematiske termer siger vi, at x er det eneste fortilfælde af y, og at ƒ er en sammenhæng .

Vi kan derefter overveje den applikation, der sender y til dets fortilfælde, som i dette eksempel kaldes den kubiske rod af y  : det er dette, vi kalder den "gensidige" af sammenhængen ƒ.

Hvis vi prøver at udføre den samme konstruktion for kvadratroden og betragter kortet g fra R til R defineret af:

g ( x ) = x 2 ,

det er ikke så simpelt. Faktisk er der for nogle værdier af y to værdier af x således at g ( x ) = y  ; således, for y = 4, kan vi vælge x = 2, men også x = -2, da 2 2 = 4, men også (-2) 2 = 4. Omvendt, for andre valg af y , er ingen x ikke egnet; således for y = –1 har ligningen x 2 = –1 ingen reel løsning. I matematiske termer siger vi, at g hverken er injektiv eller surjektiv . I dette eksempel tillader de følgende definitioner ikke at tale om "gensidig sammenhæng" (eller endda om "gensidig anvendelse") af g .

Generelle resultater

Definition

Hvis ƒ er en sammenhæng fra et sæt X til et sæt Y, betyder det (pr. Definition af bindinger), at hvert element y i Y har et fortilfælde og kun et af ƒ. Så vi kan definere en applikation g fra Y til X, som i den kombinerer sin unikke historie, det vil sige

ƒ ( g ( y )) = y .

Kortet g er en sammenhæng, kaldet gensidig sammenhæng af ƒ.

Mere generelt og ved hjælp af funktionelle notationer , hvis ƒ er et kort fra et sæt X til et sæt Y, og hvis der findes et kort g fra Y til X, således at:

og ,

så er ƒ og g bijektioner, og g er den gensidige sammenkædning af ƒ.

Den gensidige sammenkædning af ƒ betegnes ofte ƒ −1 under hensyntagen til den mulige forveksling med notationen af negative eksponenter , for hvilke vi har x −1 = 1 / x .

Ejendomme

Gensidigt af det gensidige

Dobbelt ejerskab:

og

viser, at ƒ også er den gensidige sammenkædning af ƒ −1 , dvs.

Gensidigt af en forbindelse

Det gensidige af forbindelsen med to bindinger er givet ved formlen

Vi kan bemærke, at rækkefølgen af ​​ƒ og g er vendt; for at "fortryde" ƒ efterfulgt af g , skal vi først "fortryde" g og derefter "fortryde" ƒ.

Involution

Nogle sammenkoblinger fra E til E er deres eget gensidige, for eksempel det omvendte kort

eller en hvilken som helst ortogonal symmetri i planet.

Sådanne applikationer siges at være involutive .

Gensidig af en numerisk funktion

Eksistens

Den mellemværdisætningen og heraf afledte den bijection sætning , at enhver strengt monotone kontinuerlig kort et interval I bestemmer en bijection fra I på ƒ (I) = J og at J er også et interval. Dette betyder, at en sådan funktion har et omvendt kort defineret på J med værdierne i I.

Denne egenskab tillader oprettelse af nye funktioner defineret som gensidig anvendelse af sædvanlige funktioner.

Eksempler

Funktion ƒ ( x ) Afgang og ankomst Gensidig funktion Afgang og ankomst Bemærkninger
naturligt heltal, der ikke er nul
strengt positiv reel
reel ikke nul

Ved hjælp af disse funktioner består søgningen efter det gensidige kort i at løse ligningen ƒ ( x ) = y , af ukendt x  :

Funktionen er en sammenhæng fra ] –∞, 0][3, + ∞ [ og har et omvendt kort, som vi søger at bestemme ved at løse, for y i [3, + ∞ [ , ligningen x 2 + 3 = y , eller endda x 2 = y - 3. Da y ≥ 3, har denne ligning to løsninger, hvoraf kun den ene hører til intervallet ] –∞, 0]  : x = - y - 3 . Så den gensidige af ƒ er ƒ −1 defineret af ƒ −1 ( y ) = - y - 3 .

Denne forskning kan vise sig at mislykkes og kræve oprettelse af en ny funktion. Funktionen er således en sammenhæng fra [0, + ∞ [ til [0, + ∞ [  ; den tilsvarende ligning har ingen udtrykkelig løsning ved hjælp af de sædvanlige funktioner, som forpligter til at udtrykke x = ƒ −1 ( y ), til at definere en ny funktion, Lamberts W-funktion .

Kurve

Når to funktioner er gensidige af hinanden, er deres grafiske repræsentationer i et plan forsynet med et ortonormalt koordinatsystem symmetriske over for hinanden med hensyn til linjen (D) i ligning y = x (også kaldet første halveringslinje).

Faktisk, hvis M ( x , y ) er et punkt på grafen for ƒ, så er y = ƒ ( x ) derfor x = ƒ −1 ( y ), derfor er M '( y , x ) et punkt på grafen for ƒ - 1 . Punktet M '( y , x ) er imidlertid det symmetriske for punktet M ( x , y ) i forhold til linjen (D) af følgende to grunde:

Midtpunktet for segmentet [M, M '] er på linjen (D), og på den anden side er vektoren vinkelret på koordinatvektoren (1, 1), som er en retningsvektor for linjen (D ) (deres kanoniske skalære produkt er nul).

Vi ved derfor, at s (M) er et punkt på grafen for ƒ −1 . Analog begrundelse beviser, at hvis M er et punkt på grafen af ​​ƒ −1 , så er s (M) et punkt på grafen for ƒ.

Kontinuitet

Generelt er den gensidige af en kontinuerlig funktion ikke kontinuerlig, men den gensidige af en kontinuerlig funktion på et interval I med værdier i et interval J er en kontinuerlig funktion på J, i henhold til sammenhængssætningen .

Derivabilitet

Hvis er en kontinuerlig funktion på et interval med værdier i et interval, og hvis det er gensidigt, kan funktionen differentieres på ethvert tidspunkt, så længe den har et derivat, der ikke er nul.

Derivatet i de er derefter

.

En simpel måde at forstå dette fænomen på, men ikke at demonstrere det, er at bruge differentielle notationer og bemærke, at:

Vi kan finde en demonstration i artiklen Derivat og operationer på Wikiversity .

Grafisk eller numerisk søgning efter en gensidig

Det er ikke altid muligt at bestemme det omvendte analytisk: vi ved, hvordan man beregner , men vi ved ikke, hvordan man beregner . Det er derefter nødvendigt at bruge en grafisk eller numerisk metode .

Den grafiske metode består i at tegne den repræsentative kurve . Vi tegner den pågældende ordinatlinje , vi søger efter skæringspunktet mellem denne linje og kurven, og vi tegner linien parallelt med ordinataksen, der passerer gennem dette skæringspunkt. Skæringspunktet for denne lige linje med x-aksen giver den ønskede værdi . Dette er princippet om et stort antal abacuses .

Numerisk er søgning som at søge efter funktionens rødder

Hvis vi ved, at søgedomænet - interval for mulige xs - er "begrænset", og at funktionen kan differentieres i dette interval, kan vi linjere funktionen, dvs. erstatte den med en affin funktion opnået ved begrænset udvikling

Vi har således en tilnærmelse af løsningen, hvis  :

Det er tilgangen til algoritmen fra Newton, men med kun en iteration.

Det er også muligt at bruge en mere kompleks, men alligevel inverterbar tilnærmelsesfunktion.

Eksempel på gensidig af transformation af flyet

Transformationerne af planet er de en-til-en applikationer af planet; det er derfor interessant at kende de gensidige, i det mindste for referencetransformationer.

Transformation Gensidig transformation
Vektor oversættelse Vektor oversættelse
Center O eller akse (D) symmetri Symmetri af centrum O eller akse (D)
Homothety med center C og forhold k Homothety med center C og forhold 1 / k
Rotation af centrum C og vinkel θ Rotation af centrum C og vinkel –θ
Direkte lignelse af centrum C, forholdet k og vinklen θ Direkte lignelse af centrum C, forhold 1 / k og vinkel –θ
Indirekte lignelse af centrum C, forhold k og akse (D) Indirekte lignelse af centrum C, forhold 1 / k og akse (D)
Trukket akse (D) og vektorsymmetri Trukket akse (D) og vektorsymmetri
Akse (D) affinitet af retning (D ') og forholdet k Aksel (D) retningsaffinitet (D ') og forhold 1 / k

Gensidige i algebra

I algebra indrømmer en bijektiv morfisme af grupper, ringe, felter, vektorrum en gensidig kortlægning, som også er en morfisme af samme type. Kortet og dets gensidige kaldes isomorfismer .

I tilfælde af et lineært kort ƒ fra et vektorrum E til et vektorrum F, begge med endelig dimension og forsynet med baser, er ƒ bindende, hvis og kun hvis dets matrix M i de faste baser er en inverterbar kvadratmatrix. Matrixen i disse baser af den gensidige af ƒ er derefter den inverse matrix af M, betegnet med M -1 .

Nogle relaterede begreber

Lad ƒ: X → Y være et kort.

  • Selv når ƒ ikke er bindende, er det muligt at definere et gensidigt binært forhold , fra Y til X , som til ethvert element i Y forbinder dets fortilfælde med ƒ (derfor intet, hvis dette element ikke har nogen fortilfælde). Vi taler derefter om en multiform gensidig . Kortet ƒ er bindende, hvis og kun hvis dette gensidige forhold er et kort, og i dette tilfælde er dette kort faktisk det gensidige kort over ƒ.
    Vi definerer mere generelt det gensidige af enhver multifunktion eller, hvilket svarer til det samme, det gensidige af et binært forhold .
  • Så der er inverser til venstre for ƒ, dvs. anvendelser g sådan, at det er nødvendigt og tilstrækkeligt, at ƒ er injektionsdygtig. Så der er inverser til højre for ƒ, dvs. applikationer g sådan, at det er nødvendigt og (indrømmer det valgte aksiom ) det er tilstrækkeligt, at ƒ er surjective.

Den gensidige funktion af en funktion ƒ bør ikke forveksles med den inverse funktion af ƒ. Denne forvirring er hyppig på grund af den almindelige betegnelse ƒ −1 , og fordi det engelske udtryk gensidig ofte oversættes som invers på fransk, mens det engelske adjektiv inverse undertiden oversættes som gensidigt på fransk.

Lokal inversion sætning

Den lokale inversionssætning specificerer betingelserne for lokal eksistens af et gensidigt kort for en funktion ƒ. Det er en generalisering af en simpel sætning om funktionerne i den virkelige variabel.

Hvis ƒ er defineret i et interval I, og hvis a er et I-element, hvis ƒ har et kontinuerligt derivat, der ikke er nul så findes der et interval I a omkring a , et interval J ƒ ( a ) omkring ƒ ( a ) og en funktion ƒ −1 defineret på J ƒ ( a ), som er den gensidige anvendelse af begrænsningen fra ƒ til I a . Dette gensidige kort kan også differentieres i ƒ ( a ).

Den lokale inversionssætning generaliserer denne egenskab til funktioner defineret på reelle vektorrum af begrænset dimension. Betingelsen "ƒ '(a) ikke nul" erstattes derefter af " Jacobianen af ƒ i a er ikke nul". Desuden, hvis ƒ er af klasse C k , er det gensidige kort også.

Noter og referencer

  1. Eksemplet på den kubiske rod er den, som Jacques Dixmier valgte i sin Cours de mathematics du 1 er-  cyklus , Gauthier-Villars, 1967, s. 9.
  2. Dette valg af notation forklares ved det faktum, at loven om sammensætning , begrænset til permutationer af et sæt, er en gruppelov , og at denne gruppe bemærkes mangfoldigt. Det er imidlertid en tvetydighed ved notation, der er pinligt nok til, at computeralgebra adskiller disse to forestillinger; således noterer Maple den omvendte og den gensidige sammenhæng .f^(-1)f@@(–1)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">