Symmetrisk gruppe
I matematik , især i algebra , den symmetriske gruppe af et sæt E er gruppen af permutationer af E , dvs. af bijections af E på sig selv. Kun det endelige tilfælde E behandles i denne artikel efter den generelle definition .
Definition
Lad E være et sæt . Kaldet symmetriske gruppe E alle ansøgninger bijective af E til E forsynet med ansøgningen sammensætning (den ∘ Act). Vi betegner det S ( E ) eller (denne karakter er en gotisk S ).
S(E){\ displaystyle {\ mathfrak {S}} (E)}
Et almindeligt specielt tilfælde er tilfældet, hvor E er det endelige sæt {1, 2, ..., n }, hvor n er et naturligt heltal ; så betegner vi eller den symmetriske gruppe i dette sæt. Elementerne i kaldes permutationer og kaldes gruppe af permutationer af graden n eller symmetriske gruppe af indeks n (en undergruppe af den symmetriske gruppe kaldes en gruppe af permutationer ). Mens det altid forbliver i det endelige tilfælde, er det let at betegne en applikation med en matrix:
Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}Sikke{\ displaystyle S_ {n}}Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}f:{1,...,ikke}⟶{1,...,ikke}{\ displaystyle f: \ {1, \ ldots, n \} \ longrightarrow \ {1, \ ldots, n \}}
[12...ikkef(1)f(2)...f(ikke)]{\ textstyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & \ ldots & n \\ f (1) & f (2) & \ ldots & f (n) \ end {bmatrix}}}
Hvis to sæt er ækvipotente, er deres symmetriske grupper isomorfe . Faktisk, hvis f er en sammenhæng fra E til F , er kortlægningen af S ( E ) til S ( F ), som til σ associerer f ∘σ∘ f -1 , en isomorfisme. Især hvis E er et endeligt sæt med n elementer , så er det isomorft til . Derfor er det tilstrækkeligt at kende gruppens egenskaber for at udlede gruppens egenskaber . Dette er grunden til, at resten af denne artikel kun fokuserer på .
S(E){\ displaystyle {\ mathfrak {S}} (E)}Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}} Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}S(E){\ displaystyle {\ mathfrak {S}} (E)}Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}
Eksempel
Lad være en ligesidet trekant ABC. Vi betegner , og de medianerne følge af henholdsvis de knudepunkter A, B og C. Overvejer vi se, at alle de permutationer, at denne gruppe indeholder har geometriske fortolkninger som isometrier . Konkret, ved at bemærke , og symmetrierne med hensyn til medianerne med de samme navne, og rotation mod uret af en tredjedel af en cirkel i trekanten, kan vi identificere medlemmerne af som følger:
dx{\ displaystyle d_ {x}}dy{\ displaystyle d_ {y}}dz{\ displaystyle d_ {z}}S3{\ displaystyle S_ {3}}x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}z{\ displaystyle z}r{\ displaystyle r}S3{\ displaystyle S_ {3}}
e=[123123]{\ displaystyle e = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \ end {bmatrix}}}, , r=[123231]{\ displaystyle r = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \ end {bmatrix}}}t=r∘r=[123312]{\ displaystyle t = r \ circ r = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \ end {bmatrix}}}
x=[123132]{\ displaystyle x = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \ end {bmatrix}}}, , y=[123321]{\ displaystyle y = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \ end {bmatrix}}}z=[123213]{\ displaystyle z = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \ end {bmatrix}}}
Derudover opnår vi følgende sammensætningstabel, der beskriver en gruppe godt:
∘{\ displaystyle \ circ}
|
e
|
r
|
t
|
x
|
y
|
z
|
---|
e
|
e
|
r
|
t
|
x
|
y
|
z
|
r
|
r
|
t
|
e
|
z
|
x
|
y
|
t
|
t
|
e
|
r
|
y
|
z
|
x
|
x
|
x
|
y
|
z
|
e
|
r
|
t
|
y
|
y
|
z
|
x
|
t
|
e
|
r
|
z
|
z
|
x
|
y
|
r
|
t
|
e
|
Oprindelse og betydning
Historisk set er undersøgelsen af gruppen af permutationer af rødderne til et polynom af Évariste Galois oprindelsen til konceptet gruppe.
En Cayley-sætning forsikrer, at enhver gruppe er isomorf til en undergruppe af en symmetrisk gruppe.
Ejendomme
Gruppen er af orden n ! .
Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}
Denne egenskab kan bevises ved at tælle permutationerne . Det er også muligt at foretage et bevis ved induktion , hvilket giver en forbindelse mellem de symmetriske grupper af grader n - 1 og n .
Bevis ved induktion på n
S1{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {1}} har kun et element.
Antag, at der har elementer. Overvej ansøgningen
Sikke-1{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n-1}}(ikke-1)!{\ displaystyle (n-1)!}φ:{Sikke→{1,...,ikke}×Sikke-1σ↦(σ(ikke),σ′){\ displaystyle \ varphi: \ left \ lbrace {\ begin {array} {ccc} {\ mathfrak {S}} _ {n} & \ to & \ {1, \ ldots, n \} \ times {\ mathfrak { S}} _ {n-1} \\\ sigma & \ mapsto & (\ sigma (n), \ sigma ') \ end {array}} \ right.}
hvor er begrænsningen til permutationen .
σ′{\ displaystyle \ sigma '}{1,...,ikke-1}{\ displaystyle \ {1, \ ldots, n-1 \}}σ∼: =(ikke,σ(ikke))∘σ{\ displaystyle {\ overset {\ sim} {\ sigma}}: = (n, \ sigma (n)) \ circ \ sigma}
σ′{\ displaystyle \ sigma '}hører til fordi derfor for alt derfor for alt .
Sikke-1{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n-1}}σ∼(ikke)=ikke{\ displaystyle {\ overset {\ sim} {\ sigma}} (n) = n}σ∼(jeg)<ikke{\ displaystyle {\ overset {\ sim} {\ sigma}} (i) <n}1≤jeg<ikke{\ displaystyle 1 \ leq i <n}σ′(jeg)<ikke{\ displaystyle \ sigma '(i) <n}1≤jeg<ikke{\ displaystyle 1 \ leq i <n}
Vi viser sammenhængen ved at vise det gensidige kort. Vi udleder, at kardinaliteten er lig med den , det vil sige .
φ{\ displaystyle \ varphi}Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}{1,...,ikke}×Sikke-1{\ displaystyle \ {1, \ ldots, n \} \ times {\ mathfrak {S}} _ {n-1}}ikke.(ikke-1)!=ikke!{\ displaystyle n. (n-1)! = n!}
Den symmetriske gruppe er isomorf for den gruppe, der dannes af permutationsmatricerne leveret med produktloven: disse er matricerne med en enkelt koefficient 1 i hver række og hver kolonne, hvor alle de andre er nul.
Symmetriske gruppegeneratorer
En transponering er en 2- cyklus , det vil sige en permutation, der udveksler to elementer og efterlader de andre uændrede. Vi betegner ved ( i , j ) transpositionen, som udveksler element i med element j .
Der er en algoritme, der gør det muligt at nedbryde en permutation til et produkt af transpositioner . Således danner sættet af transpositioner et system af generatorer af .
Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}
Vi kan begrænse os til transpositioner af formen τ i = ( i , i + 1), da det for i < j er muligt at nedbryde
(jeg,j)=(jeg,jeg+1)(jeg+1,jeg+2)...(j-2,j-1)(j-1,j)(j-2,j-1)...(jeg+1,jeg+2)(jeg,jeg+1).{\ displaystyle (i, j) = (i, i + 1) (i + 1, i + 2) \ prikker (j-2, j-1) (j-1, j) (j-2, j- 1) \ prikker (i + 1, i + 2) (i, i + 1).}
Disse n - 1 generatorer gør det muligt at give en præsentation af den symmetriske gruppe medn ( n + 1)/2 forhold:
- τjeg2=1,{\ displaystyle {\ tau _ {i}} ^ {2} = 1,}
- τjegτj=τjτjeghvis |j-jeg|>1,{\ displaystyle \ tau _ {i} \ tau _ {j} = \ tau _ {j} \ tau _ {i} \ qquad {\ mbox {si}} | ji |> 1,}
- (τjegτjeg+1)3=1.{\ displaystyle {(\ tau _ {i} \ tau _ {i + 1}}) ^ {3} = 1.}
Det er derfor et specielt tilfælde af Coxeter-gruppe og endda en gruppe refleksioner (en) (som for en begrænset gruppe faktisk er ækvivalent).
Det er også muligt at tage n - 1 generatorer - transpositionerne s i = ( i , n ) for relationer i < n - og ( n - 1) 2 :
sjeg2=(sjegsjeg+1)3=(sjegsjeg+1sjegsj)2=1(1≤jeg,j≤ikke-1,j≠jeg,jeg+1,sikke: =s1).{\ displaystyle s_ {i} ^ {2} = (s_ {i} s_ {i + 1}) ^ {3} = (s_ {i} s_ {i + 1} s_ {i} s_ {j}) ^ {2} = 1 \ quad (1 \ leq i, j \ leq n-1, \ quad j \ neq i, i + 1, \ quad s_ {n}: = s_ {1}).}Endelig kan vi være tilfredse med 2 generatorer - transponering τ 1 = (1, 2) og cyklussen r = (1, 2, ..., n ) - og n + 1 relationer:
rikke=τ12=(rτ1)ikke-1=(τ1r-1τ1r)3=(τ1r-jτ1rj)2=1(2≤j≤ikke-2).{\ displaystyle r ^ {n} = \ tau _ {1} ^ {2} = (r \ tau _ {1}) ^ {n-1} = (\ tau _ {1} r ^ {- 1} \ tau _ {1} r) ^ {3} = (\ tau _ {1} r ^ {- j} \ tau _ {1} r ^ {j}) ^ {2} = 1 \ quad (2 \ leq j \ leq n-2).}Underskrift
Vi antager i dette afsnit, at heltal n er større end eller lig med 2.
Enhver permutation nedbrydes til et produkt af transpositioner. Dette produkt er ikke unikt, men pariteten af antallet af vilkår for et sådant produkt afhænger kun af permutationen. Vi taler derefter om lige eller ulige permutation .
Signaturen for en permutation σ , betegnet sgn (σ) eller ε (σ) , er defineret af:
sgn(σ)=ε(σ)={+1hvis σ er jævn -1hvis σ er underligt {\ displaystyle \ operatorname {sgn} (\ sigma) = \ varepsilon (\ sigma) = \ left \ {{\ begin {array} {cl} +1 & {\ mbox {si}} \ sigma {\ mbox {er lige}} \\ - 1 & {\ mbox {si}} \ sigma {\ mbox {er ulige}} \ end {array}} \ højre.}Signaturkortlægningen er en morfisme af grupper af in ({–1, 1}, ×). Den kerne af denne morphism, dvs. det sæt af selv permutationer, kaldes alternativ gruppe af graden n , betegnet (denne karakter er en gotisk A ).
er derfor en normal undergruppe af og kvotientgruppen er isomorf til billedet {–1, 1} af signaturmorfismen. Følgelig er af indeks 2 i , derfor af rækkefølge n ! / 2. (Eller mere konkret: og dets komplement er den samme kardinal, fordi til t- transponering af er kortet σ ↦ t ∘σ en sammenhæng i dets komplement.)
(Sikke,∘){\ displaystyle ({\ mathfrak {S}} _ {n}, \ circ)}PÅikke{\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}PÅikke{\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}} Sikke/PÅikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n} / {\ mathfrak {A}} _ {n}}PÅikke{\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}PÅikke{\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}PÅikke{\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}
Desuden den korte nøjagtige rækkefølge
1→PÅikke→Sikke→{-1,1}→1{\ displaystyle 1 \ til {\ mathfrak {A}} _ {n} \ til {\ mathfrak {S}} _ {n} \ til \ {- 1,1 \} \ til 1}
er højresplittet , så er et semi-direkte produkt af den to-element cykliske gruppe .
Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}PÅikke{\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}
Bøjningskurser
Den konjugation klasse af en permutation σ er det sæt af konjugater:VS(σ)={τ∘σ∘τ-1∣τ∈Sikke}.{\ displaystyle C (\ sigma) = \ {\ tau \ circ \ sigma \ circ \ tau ^ {- 1} \ mid \ tau \ i {\ mathfrak {S}} _ {n} \}.}
Konjugaterne af σ er permutationer, hvis nedbrydning i produkt af cyklusser med uadskillelige bærere har den samme struktur som den for σ : samme antal cyklusser i hver længde.
Demonstration
Lad ... være en permutation af nedbrudt til et produkt af uensartede cyklusser.
σ=vs.1{\ displaystyle \ sigma = c_ {1}}vs.m{\ displaystyle c_ {m}}Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}
- For enhver permutation er konjugatet et produkt af , som er uensartede cyklusser af samme længde som . Faktisk for enhver cyklus er konjugatpermutationen ingen ringere end cyklussen .τ{\ displaystyle \ tau}σ′=τστ-1{\ displaystyle \ sigma '= \ tau \ sigma \ tau ^ {- 1}}vs.jeg′=τvs.jegτ-1{\ displaystyle c '_ {i} = \ tau c_ {i} \ tau ^ {- 1}}vs.jeg{\ displaystyle c_ {i}}vs.=(på1 ... påk){\ displaystyle c = (a_ {1} ~ \ prikker ~ a_ {k})}τvs.τ-1{\ displaystyle \ tau c \ tau ^ {- 1}}(τ(på1) ... τ(påk)){\ displaystyle (\ tau (a_ {1}) ~ \ prikker ~ \ tau (a_ {k}))}
- Omvendt, lad ... være en permutation, der kan nedbrydes til et produkt af uensartede cyklusser med samme respektive længder som . Derefter konjugeres ved hjælp af enhver permutation, der (respekterer ordren op til en cirkulær permutation) understøtter hver af dem på dens modstykke . En sådan permutation eksisterer, fordi understøtningerne er uensartede.σ′=vs.1′{\ displaystyle \ sigma '= c' _ {1}}vs.m′{\ displaystyle c '_ {m}}vs.jeg′{\ displaystyle c '_ {i}}vs.jeg{\ displaystyle c_ {i}}σ′{\ displaystyle \ sigma '}σ{\ displaystyle \ sigma}τ{\ displaystyle \ tau}vs.jeg{\ displaystyle c_ {i}}vs.jeg′{\ displaystyle c '_ {i}}vs.jeg{\ displaystyle c_ {i}}
Eksempel
Hvis vi overvejer i de forskellige konjugationsklasser, finder vi identitet, transpositioner ( ab ), permutationer sammensat af to transpositioner af uensartede understøtninger ( ab ) ( cd ), cyklusser af
rækkefølge 3 ( abc ), permutationer, der består af en cyklus i rækkefølge 3 og en cyklus i rækkefølge 2: ( abc ) ( de ), derefter cykler i rækkefølge 4: ( abcd ) og 5: ( abcde ).
S5{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {5}}
Permutationerne (1 2 3) (4 5) og (1 3 4) (2 5) er i samme konjugeringsklasse i modsætning til permutationen (1 3) (2 5).
Antallet af konjugationsklasser er derfor lig med antallet af "partitioner" af heltalet n , og hvis nedbrydningen af en permutation indeholder k 1 "1-cyklusser" (de faste punkter ), k 2 2-cyklusser, ..., k m m- cykler, så er antallet af dets konjugater :
ikke!1k1k1!...mkmkm!.{\ displaystyle {\ frac {n!} {1 ^ {k_ {1}} k_ {1}! \ ldots m ^ {k_ {m}} k_ {m}!}}.}
(Vi ser en multinomial koefficient vises .)
Egenskaber, der er resultatet af undersøgelsen af den alternerende gruppe
Det grundlæggende resultat i undersøgelsen af den vekslende gruppe er, at denne er en simpel gruppe for n, der er forskellig fra 4.
PÅikke{\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}
På den anden side, den gruppe afledt fra sige . For n ≥ 5 er dette den eneste egnede undergruppe af .
Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}PÅikke{\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}
Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}kan løses, hvis og kun hvis n ≤ 4, hvilket har vigtige konsekvenser for den radikale opløselighed af polynomiske ligninger .
Diverse egenskaber
- Den centrum af er triviel hvis n er større end 2 og hele gruppen ellers.Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}
-
S6{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {6}}er den eneste symmetriske gruppe, hvis ydre automorfisme er ikke-triviel.
- Enhver undergruppe af indeks n af er isomorf til . Hvis n er forskellig fra 6, er en sådan undergruppe nødvendigvis stabilisatoren for et element af {1,…, n }.Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}Sikke-1{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n-1}}
- Derudover har en undergruppe af indeks 6, som ikke er stabilisatoren for et punkt.S6{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {6}}
Demonstration
S 5 indeholder fireogtyve 5-ringe , derfor seks undergrupper af orden 5. aktion ved konjugation af S 5 på disse undergrupper tilvejebringer derfor en morphism fra S 5 i S 6 . Denne morfisme er injektionsdygtig, fordi dens kerne er en normal undergruppe af S 5, der adskiller sig fra S 5 og A 5 (fordi f.eks. (123) (12345) (321) = (14523) ikke er en styrke på (12345)). Endelig er denne handling ifølge Sylows sætninger midlertidig og løser derfor ikke noget punkt.
Noter og referencer
-
R. Goblot, lineær algebra , Paris, 2005, s. 58, bruger betegnelsen S n . Angelsaksiske forfattere skriver generelt S E snarere end og S n snarere end .S(E){\ displaystyle {\ mathfrak {S}} (E)}Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}
-
(in) HSM Coxeter og WOJ Moser (de) , generatorer og relationer til diskrete grupper , Springer ,1972( Repr. 2013), 3 e ed. ( 1 st ed. 1957), 164 s. ( ISBN 978-3-662-21946-1 , læs online ) , s. 63 (6.22).
-
Coxeter og Moser 1972 , s. 64 (6,28).
-
Coxeter og Moser 1972 , s. 63 (6,21).
-
(i) William Fulton og Joe Harris , Repræsentation Teori: et første kursus [ detail udgaver ], s. 55 , forhåndsvisning på Google Bøger .
-
P. Tauvel, Algèbre , 2 nd edition, Paris, Dunod, 2010, s. 70. Se også den sidste demonstration af § Afledt gruppe på Wikiversity .
Se også
Relaterede artikler
Bibliografi
Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ detaljerede udgaver ]
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">