C * -algebra

I matematik , en C * -algebra (kompleks) er en involutive Banachs algebra , dvs. en fuldstændig normaliseret vektorrum over området af komplekser , udstyret med en noteret involution , og en struktur af kompleks algebra . Det kaldes også stjernealgebra . De C * -algebraer er vigtige redskaber for ikke-kommutativ geometri . Denne forestilling blev formaliseret i 1943 af Israel Gelfand og Irving Segal . $*$

Stjernealgebraer er centrale i undersøgelsen af enhedsrepræsentationer af lokalt kompakte grupper.

Definition

En stjernealgebra A er en kompleks Banach-algebra:

forsynet med en involution ${\ displaystyle *: A \ rightarrow A: x \ mapsto x ^ {*}}$ ${\ displaystyle (x + \ lambda y) ^ {*} = x ^ {*} + {\ bar {\ lambda}} y ^ {*}; (xy) ^ {*} = y ^ {*} x ^ {*}; (x ^ {*}) ^ {*} = x}$ for alle $x , y$ i A og ethvert kompleks $λ$ ;
sådan at normen og involutionen hænger sammen ${\ displaystyle \ | xx ^ {*} \ | = \ | x \ | ^ {2}}$ for hver $x$ i A .

Ved den anden betingelse, ${\ displaystyle \ | xx ^ {*} \ | = \ | x \ | ^ {2} \ leq \ | x \ | \ | x ^ {*} \ |}$ og derfor opnår vi ved symmetri:

{\ displaystyle \ | x \ | = \ | x ^ {*} \ |.}

En * -homomorfisme er en morfisme af involverende algebraer. Det kontrollerer især

{\ displaystyle f (x ^ {*}) = f (x) ^ {*}.}

Denne definition - uanset hvor rent algebraisk det er - indebærer, at $f$ automatisk er kontinuerlig og endda 1- Lipschitzian : se nedenfor . Hvis $f$ er injektionsdygtigt, er det en isometri. Hvis $f$ er bijektiv, er dens inverse en * -homomorfisme; i hvilket tilfælde kaldes $f$ * -isomorfisme .

Eksempler

Hvis X er en lokalt kompakt rum , det involutive algebra C 0 ( X ) af kontinuerte funktioner fra X i ℂ som har tendens til nul ved uendelig, udstyret med den uniform konvergens normen , er en kommutativ C * -algebra. Når X er kompakt , C 0 ( X ), er derfor simpelthen den (enstrenget) algebra af kontinuerte funktioner fra X til ℂ. Når X er ikke compact, C 0 ( X ) har ingen enhed, men kun en omtrentlig enhed , hvis eksistens resultater fra den Tietze-Urysohn teorem .
Hvis H betegner et Hilbert-rum , er enhver lukket subalgebra for operatørnormen for algebra af afgrænsede operatorer på H en C * -algebra, a priori ikke-kommutativ.

Spektrum af elementerne i en C * -algebra

Ligesom for operatører i et Hilbert-rum kan vi definere spektret af elementerne i en C * -algebra. Spektret på $x$ er sættet med dets spektrale værdier :

{\ displaystyle \ sigma (x) = \ {\ lambda \ in \ mathbb {C} \ mid x- \ lambda 1 ~ {\ text {er ikke inverterbar}} \}}

Denne definition antager, at algebraen, der indeholder $x,$ har en enhed. Men hvis dette ikke er tilfældet, kan vi altid definere spektret ved at tilføje en enhed til algebraen .

For ethvert normalt element $x$ i en C * -algebra (i modsætning til Banach * -algebras) er normen for $x$ lig med dens spektrale radius :

{\ displaystyle \ | x \ | = \ sup \ {| \ lambda | \ mid \ lambda \ in \ sigma (x) \}.}

Dette gælder især for enhver x autoadjoint , for eksempel for x = yy *, hvis norm er kvadratet for y . Således bestemmer den algebraiske struktur normen (og derfor topologien). Det er denne egenskab, der gør * -morfier (hhv. Injektiv) automatisk kontinuerlige (hhv. Isometrisk).

Klassificering af kommutative C * -algebras

En kommutativ C * -algebra A er isometrisk isomorf til C 0 ( X ), hvor X er lokalt kompakt, og endda kompakt, hvis A har en enhed. Den isomorfi konstrueres via Gelfand transformation, og gennem studiet af tegnene i algebra A .

Kontinuerlig funktionel beregning

Hvis x er et normalt element i en C * -algebra A (dvs. pendling til dets tillæg), eksisterer der en isometrisk * -isomorfisme mellem algebra af kontinuerlige funktioner på spektret σ ( x ) af x og sub-C * -algebra af en genereret af x og 1. med andre ord, for enhver f fortsætter på σ ( x ), kan man definere f ( x ) på en unik måde som et element i a . Denne funktionelle beregning udvider den polynomielle funktionelle beregning, og σ ( f ( x )) = f (σ ( x )) (spektral sætning).

GNS konstruktion

Vi skylder Gelfand, Naimark og Segal konstruktionen (en) af en isometrisk isomorfisme (eller trofast repræsentation) mellem enhver C * -algebra og en lukket subalgebra af operatørens algebra på et bestemt Hilbert-rum (som vi bygger på samme tid som isomorfismen). Teorien om C * -algebras kan derfor reduceres til teorien om operatører på Hilbert-rum.

Bemærkninger

Det faktum, at de kommutative C * -algebras er algebras af funktioner, gør det muligt at tænke på teorien om C * -algebras som en teori om ikke-kommutative funktioner. Men da studiet af kontinuerlige funktioner på et kompakt rum svarer til studiet af topologien i dette rum (af Banach-Stone-sætningen), giver vi lettere til studiet af C * -algebras navnet på ikke-kommutativ topologi (in) .

Noter og referencer

Jacques Dixmier , Les C * -algebras og deres repræsentationer , Gauthier-Villars , 1964, reed. J. Gabay, 1996 ( ISBN 978-2-87647-013-2 ) , s. 7 .
E. Fricain, “ Functional analysis and operator theory ” , om Université Lille-I , 2009-2010 .

Bruce Blackadar, 2006, operatøralgebras: teori om C * -algebras og von Neumann algebras, Springer Verlag
Kenneth R. Davidson, 1996, C * -algebras ved eksempel, Fields Institute Monographs

Se også

Relaterede artikler

Gelfand-repræsentation (i)
Kontinuerlig funktionel beregning (en)
Spektrum af en C * -algebra (en)
C * -algebra omtrent endelig (in)
Funktionel analyse : Undersøgelsen af C * -algebras, især på grund af dens spektrale aspekt, er en gren af funktionel analyse.
Operatørens algebra : Undersøgelsen af C * -algebras kan reduceres med GNS-konstruktionen til operatører på et Hilbert-rum.
K-teori : K-teori- værktøjer, der først blev udviklet til undersøgelse af bundter, kan tilpasses til studiet af C * -algebras. På en måde opnår vi en ikke-kommutativ algebraisk topologi.
Ikke-kommutativ geometri : Dette felt søger analoger til begreberne differentiel geometri (forbindelser, kohomologi ...) i den ikke-kommutative ramme for operatøralgebraer.
Sætning Russo-Dye (en)
Calkins algebra

eksterne links

(en) Pierre de la Harpe og Vaughan Jones , En introduktion til C * -algebras [ læs online ]
(en) William Arveson (en) , En invitation til C * -algebras , Springer, koll. " GTM " ( nr . 39)1976, 108 s. ( ISBN 978-0-387-90176-3 , online præsentation )