Normaliseret algebra

En normeret algebra er en algebra A over det virkelige eller komplekse felt forsynet med en norm for vektorrum, der opfylder:

∀x,y∈PÅ‖xy‖≤‖x‖‖y‖.{\ displaystyle \ forall x, y \ i A \ qquad \ | xy \ | \ leq \ | x \ | \ | y \ |.}

Med andre ord er det en algebra over K = R eller C, således at det underliggende vektorrum normaliseres , og normen er desuden submultiplikativ.

I en ikke- nul forenet norm algebra A , den enhed element kan altid antages at have norm 1, selv om det betyder at erstatte normen ved tilsvarende algebra normen . x↦‖x‖{\ displaystyle x \ mapsto \ | x \ |}x↦sup‖y‖=1‖xy‖{\ displaystyle x \ mapsto \ sup _ {\ | y \ | = 1} \ | xy \ |}

Uitariseret af en normalgebra

Enhver normaliseret K- algebra A er et lukket ideal for dets "unitarized": den enhed normaliserede algebra defineret af følgende norm og produkt på A ⊕ K  : (på,λ)(b,μ)=(påb+λb+μpå,λμ),‖(på,λ)‖=‖på‖+|λ|{\ displaystyle (a, \ lambda) (b, \ mu) = (ab + \ lambda b + \ mu a, \ lambda \ mu), \ quad \ | (a, \ lambda) \ | = \ | a \ | + | \ lambda |} (vi kan erstatte denne norm med en tilsvarende algebranorm, som ). maks(‖på‖,|λ|){\ displaystyle \ max (\ | a \ |, | \ lambda |)}

Den unitariserede algebra af en Banach-algebra er af Banach .

Unitarisering af en C * -algebra er en C * -algebra for naturlig involvering og normen . For eksempel, hvis X er et lokalt kompakt rum , er unitariseringen af ​​den kommutative C * -algebra C 0 ( X ) af kontinuerlige skalarfunktioner på X nul ved uendelig (udstyret med normen for ensartet konvergens ) C ( X + ) algebra af kontinuerlige funktioner på Alexandrov komprimeret lyd . For eksempel: unitarized af C 0 (ℝ n ) er C ( S n ). ‖(på,λ)‖=supb∈PÅ,‖b‖≤1‖påb+λb‖{\ displaystyle \ | (a, \ lambda) \ | = \ sup _ {b \ i A, \ | b \ | \ leq 1} \ | ab + \ lambda b \ |}

Relaterede artikler

• Matrix standard
• Operatørstandard