Moduler kategori

I matematik er kategorien moduler på en monoid R en konstruktion, der abstrakt tegner sig for de egenskaber, der er observeret i studiet af moduler på en ring , ved at generalisere dem. Undersøgelsen af modulkategorier forekommer naturligt i repræsentationsteori og algebraisk geometri .

Eftersom R -modul er et vektorrum når R er en kommutativ organ , kan i et sådant tilfælde identificere den kategori af moduler på R til kategori af vektorrum (i) på legemet R . På den anden side har hver abelsk gruppe en naturlig struktur af -modul, som gør det muligt at identificere kategorien af moduli til kategorien af abeliske grupper . $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Z}$

Definition

Er C en monoidal kategori og R en monoid af C . Den kategori af moduler på R , betegnet R - Mod , er den kategori defineres som følger:

Objekterne er R- modulerne i C , det vil sige parene (A, M) med A en kommutativ ring og M en A- modul ;
De morfier er homomorfier moduler, det vil sige, parrene (φ, u) bestående af et morphism ringe φ: A → B og en morphism af A -modules . Komposition er den sædvanlige sammensætning af funktioner , og identitet er identitetsfunktionen . $\ mu: M \ til A \ otimes _ {\ phi} M$

Vi kan give hom-sæt af R - Mod en abelsk gruppestruktur . Faktisk, hvis M, N er to objekter, og hvis , kan vi definere $f_ {1}, f_ {2} \ i {\ mathrm {Hom}} _ {{R {\ text {-}} {\ mathrm {Mod}}}} (M, N)$

(f_ {1} + f_ {2}): m \ mapsto f_ {1} (m) + f_ {2} (m)

og sammensætningen af morfismer er givet af tensorproduktet, der stammer fra kategorien Ab af abeliske grupper :

{\ mathrm {Hom}} _ {{R {\ text {-}} {\ mathrm {Mod}}}} (A, B) \ otimes {\ mathrm {Hom}} _ {{R {\ text {- }} {\ mathrm {Mod}}}} (B, C) \ til {\ mathrm {Hom}} _ {{R {\ text {-}} {\ mathrm {Mod}}}} (A, C)

hvilket gør det til en Ab- beriget kategori (derfor forudgående). Ved at udvide denne struktur til den, en R -modul, det tensor produkt af moduli gør det muligt at udstyre R - Mod med en monoidal kategori struktur , med R for enheden. Det har også en intern funktor Hom givet af dette tensorprodukt, hvilket gør det til en lukket monoid kategori.

Egenskaber for modulkategori

Kategoriske egenskaber

Kategori R - Mod er præditiv (en) , additiv og abelian ;
Kategorien R - Mod er lukket monoid ;
R - Mod accepterer alle produkter og biprodukter ;
R - Mod tillader alle kerner (in) og kokerneler;
R - Mod er en kategori Grothendieck (en) ;
R - Mod er en bifibrering på R , givet af den kanoniske projektionsfunktion ; $R {\ text {-}} {\ mathrm {Mod}} \ til {\ mathrm {CRing}}$

Objekter

Det oprindelige , sidste og nul objekt for R - Mod er det trivielle R- modul ; $\ {0 \}$

Morfismer

De monomorphisms er injektive morfier. Desuden er enhver monomorfisme kernen i dens kokernel;
De epimorphisms er surjektiv morfier. Desuden er al epimorfisme kernen i dens kerne;

Grænser

Det Produktet er det direkte produkt af moduler;
Co-produktet er den direkte sum af moduler;

Se også

Relaterede artikler

Freyd-Mitchell indlejring sætning
Sætning Eilenberg-Watts
Dualitet af Tannaka

Bemærkninger

Efter konvention betragter vi generelt R- moduler til venstre.
Disse objekter er unikke bortset fra isomorfier.

Referencer

(en) Saunders Mac Lane , kategorier for den arbejdende matematiker [ detalje af udgaven ]
(en) Rankeya Datta, " Kategorien af moduler over en kommutativ ring og abeliske kategorier "
(en) Andy Kiersz, " Colimits og homologisk algebra "
(en) " Mod " , på nLab (en)