Abelsk gruppe

I matematik , mere præcist i algebra , er en abelsk gruppe (opkaldt efter Niels Abel ) eller kommutativ gruppe en gruppe, hvis interne kompositionslov er kommutativ . Ellers set kan en kommutativ gruppe også defineres som et modul på den kommutative ring ℤ af relative heltal ; undersøgelsen af abeliske grupper fremtræder derefter som et særligt tilfælde af modulus teori.

Vi ved, hvordan man på en enkel og eksplicit måde kan klassificere de abelske grupper af begrænset type op til isomorfisme og især beskrive de endelige abeliske grupper .

Definition

Vi siger, at en gruppe er abel eller kommutativ, når loven om gruppens interne sammensætning er kommutativ , det vil sige når: $(G, \ stjerne)$

for alle

{\ displaystyle a, b \ i G, \, a \ star b = b \ star a.}

Additiv notation

Loven i en kommutativ gruppe bemærkes undertiden supplerende, det vil sige med tegnet +. Når denne konvention er vedtaget, betegnes det neutrale element 0, symbolet for et element x i gruppen betegnes - x og for ethvert relativ heltal n betegner vi:

nx = \ left \ {{\ begin {matrix} \ underbrace {x + x + \ ldots + x} _ {{n \ {\ mathrm {times}}}} & {\ text {si}} & n> 0 , \ \ - (| n | x) = | n | (-x) = \ understel {-xx- \ ldots -x} _ {{| n | \ {\ mathrm {times}}}} & {\ text {if}} & n <0, \\ 0 & {\ text {si}} & n = 0. \ end {matrix}} \ højre.

Eksempler

De monogene grupper , det vil sige additivgruppen (ℤ, +) af heltal og additivgruppen (ℤ / n ℤ, +) af heltal modulo n .
Additivgruppen (ℝ, +) med reelle tal og den multiplikative gruppe (ℝ *, ×).
Et punkt O, der er fastgjort i planet , er rotationssættet med centrum O forsynet med sammensætningen en abelsk gruppe.
Enhver undergruppe af en abelsk gruppe er abelsk. Det skelnes også, og vi kan derfor overveje kvotientgruppen , som også er abelsk.
Lad G være en gruppe (ikke nødvendigvis abelsk) og H en abelsk gruppe bemærket yderligere. For f- og g- applikationer fra G til H definerer vi deres sum f + g med ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ). Udstyret med denne operation, den indstillede Hom ( G , H ) af alle gruppens morfier fra G til H er selv en abelsk gruppe.
Ethvert ikke-frit sæt kan udstyres med en abelsk gruppestruktur (for uendelige sæt er det valgte aksiom afgørende).

Abelian grupper som moduler på ringen af heltal

For x- element i en abelsk gruppe betegnet additivt og n relativt heltal definerede vi ovenfor elementet nx i gruppen. Gruppen vises således som et modul på ringen ℤ af heltal. Omvendt opnås ethvert ℤ-modul på denne måde.

Denne proces gør det muligt at forestille sig teorien om kommutative grupper som et specielt tilfælde af teorien om moduler; i den modsatte retning kan visse resultater, der er angivet i sammenhæng med kommutative grupper, generaliseres til større klasser af moduler, især klassen af moduler på en hovedring . En genanvendelse af beviset for sætningen af strukturen af abeliske grupper af endelig type gør det muligt at bevise en analog sætning, der er gyldig på enhver hovedring, der i sig selv finder anvendelse på alle andre spørgsmål - især klassifikationen med lighed nær matricer med koefficienter i en kommutativt felt .

Bemærkelsesværdige klasser af abelske grupper

Gratis abeliske grupper

Vi kalder en fri abelsk gruppe en abelsk gruppe, som er fri som et ℤ- modul (og ikke som en gruppe ), det vil sige, som har en base .

Ligesom vektorrum klassificeres frie abelske grupper (op til isomorfisme ) efter deres rang, defineret som kardinalen i en base, og enhver undergruppe af en fri abelsk gruppe er i sig selv fri abelsk. Enhver abelsk gruppe er derfor isomorf til kvoten for en fri abelsk gruppe af en fri abelsk undergruppe.

Abelske grupper af begrænset type

De er pr. Definition de abeliske grupper, der har en endelig genererende del : således især de endelige abeliske grupper og netværkerne i et euklidisk rum.

De endelige produkter, kvotienterne, men også undergrupperne af abeliske grupper af endelig type er selv endelige. En struktursætning af abeliske grupper af begrænset type gør det muligt at afklare den komplette liste over disse grupper op til isomorfisme; det viser især, at enhver abelisk gruppe af begrænset type er et endeligt produkt af cykliske grupper . Især en abelsk gruppe af finite type, som ikke har nogen endelig ordre element (undtagen den neutrale) er fri abelsk.

Delelige grupper

En abelsk gruppe G siges at være delelig, når der for et heltal n > 0, G = nG . Dens arketyper er additivgruppen ℚ af rationelle tal og p - Prüfer-grupperne . En strukturteori for delelige abeliske grupper viser, at enhver delbar gruppe er en direkte sum (endelig eller uendelig) af kopier af disse modeller.

Kategorien abeliske grupper

Den kategori af alle abelske grupper er prototypen på en abelsk kategori .

Beslutelighed

Wanda Szmielew (de) , en af Tarskis studerende , demonstrerede i 1955, at den første ordens teori om abelske grupper kan afgøres (i modsætning til gruppens første ordensteori ).

Referencer

Roger Godement , algebraforløb ,1966, s. 113.
(i) Nathan Jacobson , Basic algebra I: Second Edition , Mineola, Dover ,2009, 499 s. , lomme ( ISBN 978-0-486-47189-1 , læs online ) , s. 33(genoptryk af 1974 Freeman 2 th red.).
(i) Paul Cohn , Algebra , t. 1, Wiley ,1974( ISBN 0-471-16430-5 ) , s. 261.
Daniel Guin og Thomas Hausberger, Algebra , bind. I: Grupper, organer og teori fra Galois , EDP Sciences , 2008, 2012 ( læs online ) , s. 138.
(in) A. Hajnal og A. Kertész, " Nogle nye algebraiske ækvivalenter af det valgte aksiom " , Publ. Matematik. Debrecen , vol. 19,1972, s. 339-340 ( læs online ).
Godement 1966 , s. 167.
Cohn 1974 , s. 326.
Se Serge Lang , Algèbre [ detaljerede udgaver ], appendiks 2, §2 (ved hjælp af Zorns lemma ) for et gratis modul af enhver rang. Det særlige tilfælde af et frit modul af endelig rang på en euklidisk ring behandles i artiklen sætning af uforanderlige faktorer .
Lang 2004 , s. 153-154 (for undergrupperne, kun et lille delikat punkt).
Denne udvandede version af klassifikationssætningen er udtrykkeligt trykt i (i) AG Kurosh ( overs. Ann Swinfen), Readings in General Algebra , Pergamon Press ,1965( læs online ) , s. 215.
Cohn 1974 , s. 281.
(i) Joseph J. Rotman (i) , En introduktion til teorien om grupper [ detail udgaver ], 2 th udg., 1973 , th. 9.14, s. 186 .
(i) PM Cohn, algebra , t. 3, Wiley ( læs online ) , s. 74.
Wanda Szmielew , “ Elementære egenskaber for abelske grupper ”, Fund. Matematik. , Vol. 41, nr . 21955, s. 203-271 ( læs online ).

Se også

Relaterede artikler

Abelianiseret
Rang for en abelsk gruppe (i)
Torsion
Næsten abelsk gruppe

Bibliografi

(en) László Fuchs (en) , Abelian Groups , Pergamon Press ,1960, 3 e ed. ( 1 st ed. 1958) ( læse online )

eksterne links

Fokko du Cloux , “ abeliske grupper ” , på Claude Bernard Lyon 1 University ,2002(kap. 4 på et masterkursus )
" Abelske grupper " , på les-mathematiques.net