Flettet monoid kategori
I matematik er en flettet monoid kategori en bestemt monoid kategori , hvortil der tilføjes en analog af begrebet kommutativitet .
Formel definition
Overvej en monoid kategori. Vi betegner tensorproduktet modsat , dvs. bifunktoren defineret af . Vi kalder fletning på en naturlig isomorfisme af orme . Med andre ord, for alle objekter af , inducerer en isomorfisme
(VS,⊗,a,λ,ρ){\ displaystyle ({\ mathcal {C}}, \ otimes, \ alpha, \ lambda, \ rho)}⊗os{\ displaystyle \ otimes ^ {op}}⊗{\ displaystyle \ otimes}PÅ⊗osB=B⊗PÅ{\ displaystyle A \ otimes ^ {op} B = B \ otimes A}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}} β{\ displaystyle \ beta}-⊗-{\ displaystyle - \ otimes -}-⊗os-{\ displaystyle - \ otimes ^ {op} -}PÅ,B{\ displaystyle A, B}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}β{\ displaystyle \ beta}
βPÅ,B:PÅ⊗B⟶B⊗PÅ{\ displaystyle \ beta _ {A, B}: A \ otimes B \ longrightarrow B \ otimes A}
Repræsentation af flettegrupper
En flettet monoid kategori siges at være symmetrisk, hvis derudover .
βB,PÅ-1=βPÅ,B{\ displaystyle \ beta _ {B, A} ^ {- 1} = \ beta _ {A, B}}
Hvis er et objekt med , selvom det betyder at rette en parentes (da tensorproduktet kun er associerende bortset fra isomorfisme), er det fornuftigt at overveje objektet . Da de alle er lig med , har vi især
V{\ displaystyle V}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}V⊗ikke=V1⊗V2⊗⋯⊗Vikke{\ displaystyle V ^ {\ otimes n} = V_ {1} \ otimes V_ {2} \ otimes \ dots \ otimes V_ {n}}Vjeg{\ displaystyle V_ {i}}V{\ displaystyle V}
V1⊗...Vjeg⊗Vjeg+1⊗⋯⊗Vikke=V1⊗...Vjeg+1⊗Vjeg⊗⋯⊗Vikke{\ displaystyle V_ {1} \ otimes \ dots V_ {i} \ otimes V_ {i + 1} \ otimes \ dots \ otimes V_ {n} = V_ {1} \ otimes \ dots V_ {i + 1} \ otimes V_ {i} \ otimes \ dots \ otimes V_ {n}}
hvor det er et spørgsmål denne gang om en sand lighed og ikke om en isomorfisme. Desuden inducerer en isomorfisme
β{\ displaystyle \ beta}
βjeg:V1⊗...Vjeg⊗Vjeg+1⊗⋯⊗Vikke→V1⊗...Vjeg+1⊗Vjeg⊗⋯⊗Vikke{\ displaystyle \ beta _ {i}: V_ {1} \ otimes \ dots V_ {i} \ otimes V_ {i + 1} \ otimes \ dots \ otimes V_ {n} \ rightarrow V_ {1} \ otimes \ dots V_ {i + 1} \ otimes V_ {i} \ otimes \ dots \ otimes V_ {n}}
Kortene for kan således betragtes som elementer i gruppen af automatiseringer af . Vi udleder, at der er en morfisme af grupper
βjeg{\ displaystyle \ beta _ {i}}jeg=1...ikke-1{\ displaystyle i = 1 \ prikker n-1}V⊗ikke{\ displaystyle V ^ {\ otimes n}}
Bikke⟶PÅut(V⊗ikke){\ displaystyle B_ {n} \ longrightarrow \ mathrm {Aut} (V ^ {\ otimes n})}
hvem sender videre .
σjeg{\ displaystyle \ sigma _ {i}}βjeg{\ displaystyle \ beta _ {i}}
Relateret artikel
Tensorprodukt af to moduler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">