Tensorprodukt af to moduler

Den tensor produktet af to moduler er en konstruktion i modul teori , som i to moduler på samme forenet kommutativ ring A , tildeler et modul. Tensorproduktet er meget vigtigt inden for algebraisk topologi og algebraisk geometri . Tensorproduktet gør det også muligt at reducere undersøgelsen af ​​to- eller flerlinede applikationer til lineære anvendelser.

Introduktion - bilineære applikationer

Når M , N og F er tre A- moduler, kalder vi et bilinært kort et kort f  : M × N → F , således at:

• f er lineær til venstre, det vil sige det .∀a,β∈PÅ,∀x,y∈M,∀z∈IKKE,f(ax+βy,z)=af(x,z)+βf(y,z){\ displaystyle \ forall \ alpha, \ beta \ i A, \ forall x, y \ i M, \ forall z \ i N, f (\ alpha x + \ beta y, z) = \ alpha f (x, z ) + \ beta f (y, z)}
• f er lineær til højre, det vil sige det .∀a,β∈PÅ,∀x∈M,∀y,z∈IKKE,f(x,ay+βz)=af(x,y)+βf(x,z){\ displaystyle \ forall \ alpha, \ beta \ i A, \ forall x \ i M, \ forall y, z \ i N, f (x, \ alpha y + \ beta z) = \ alpha f (x, y ) + \ beta f (x, z)}

For at reducere studiet af bilineære kort til det for lineære kort foreslår vi at definere et modul M ⊗ N og et bilineært kort, således at ethvert bilinært kort er unikt beregnet til højre ved , dvs. qu 'der er et og kun et lineært kort sådan at . φ:M×IKKE→M⊗IKKE{\ displaystyle \ varphi: M \ gange N \ til M \ otimes N}f:M×IKKE→F{\ displaystyle f: M \ gange N \ til F}φ{\ displaystyle \ varphi} g:M⊗IKKE→F{\ displaystyle g: M \ otimes N \ to F}f=g∘φ{\ displaystyle f = g \ circ \ varphi}

Vi vil bevise, at et sådant par eksisterer og er unikt bortset fra en isomorfisme . (M⊗IKKE,φ){\ displaystyle (M \ otimes N, \ varphi)}

Definition

Lad M og N være to A- moduler. Rummet C = A ( M × N ) er A -modul af lineære kombinationer formelle (med koefficienter i A ) af elementer M × N . Et sådant rum kan også defineres på en ækvivalent måde som A- modulet for kortlægninger fra M × N til A nul overalt undtagen over et endeligt antal elementer. Det er et A - frit modul, som er det kanoniske grundlag. (e(x,y))(x,y)∈M×IKKE{\ displaystyle (e _ {(x, y)}) _ {(x, y) \ i M \ gange N}}

Vi vil have elementerne i formen

• e(x+y,z)-e(x,z)-e(y,z){\ displaystyle e _ {(x + y, z)} - e _ {(x, z)} - e _ {(y, z)}}
• e(x,y+z)-e(x,y)-e(x,z){\ displaystyle e _ {(x, y + z)} - e _ {(x, y)} - e _ {(x, z)}}
• e(ax,y)-ae(x,y){\ displaystyle e _ {(\ alpha x, y)} - \ alpha e _ {(x, y)}}
• e(x,ay)-ae(x,y){\ displaystyle e _ {(x, \ alpha y)} - \ alpha e _ {(x, y)}}

identificeres som null. Vi kalder derfor D submodulen af C genereret af elementerne i den foregående form. Kaldes tensor produkt af M og N , og vi betegne M ⊗ A N den kvotienten modul C / D . Det er vigtigt at specificere ringen af ​​skalarer A i notationen af ​​tensorproduktet. Men hvis situationen er klar nok, har vi råd til ikke at overbelaste ratings. Bemærk klassen i M ⊗ A N . x⊗y{\ displaystyle x \ otimes y}e(x,y){\ displaystyle e _ {(x, y)}}

Svar på det originale spørgsmål

Konstruktionen af ​​tensorproduktet giver os mulighed for at bekræfte, at det er et bilinært kort, som vi betegner . (x,y)↦x⊗y{\ displaystyle (x, y) \ mapsto x \ otimes y}φ:M×IKKE→M⊗PÅIKKE{\ displaystyle \ varphi: M \ gange N \ til M \ otimes _ {A} N}

Lad os vise, at dette modul løser problemet med bilineære applikationer, der blev præsenteret i introduktionen. Lad os give et bilinear kort til dette . Eftersom modul C er gratis, definere en lineær afbildning fra C til F svarer til at vælge de billedelementer af den kanoniske basis af C . Vi definerer således applikationen ved at: f:M×IKKE→F{\ displaystyle f: M \ gange N \ til F}f¯{\ displaystyle {\ overline {f}}}

∀(x,y)∈M×IKKE,f¯(e(x,y))=f(x,y){\ displaystyle \ forall (x, y) \ i M \ gange N, {\ overline {f}} (e _ {(x, y)}) = f (x, y)}

Men det faktum, at f er bilinear, betyder, at:

• f¯(e(x+y,z)-e(x,z)-e(y,z))=0{\ displaystyle {\ overline {f}} (e _ {(x + y, z)} - e _ {(x, z)} - e _ {(y, z)}) = 0}
• f¯(e(x,y+z)-e(x,y)-e(x,z))=0{\ displaystyle {\ overline {f}} (e _ {(x, y + z)} - e _ {(x, y)} - e _ {(x, z)}) = 0}
• f¯(e(ax,y)-ae(x,y))=0{\ displaystyle {\ overline {f}} (e _ {(\ alpha x, y)} - \ alpha e _ {(x, y)}) = 0}
• f¯(e(x,ay)-ae(x,y))=0{\ displaystyle {\ overline {f}} (e _ {(x, \ alpha y)} - \ alpha e _ {(x, y)}) = 0}

Så submodul D er inkluderet i kernen af . Vi udleder ved at gå til kvotienten, at der er en sådan anvendelse , at: f¯{\ displaystyle {\ overline {f}}}g:M⊗PÅIKKE=VS/D→F{\ displaystyle g: M \ otimes _ {A} N = C / D \ til F}

f(x,y)=g(x⊗y)=g∘φ(x,y){\ displaystyle f (x, y) = g (x \ otimes y) = g \ circ \ varphi (x, y)}

Desuden er g unik, fordi elementerne i formularen genererer . x⊗y{\ displaystyle x \ otimes y}M⊗PÅIKKE{\ displaystyle M \ otimes _ {A} N}

Lad os endelig vise, at det er unikt bortset fra en isomorfisme, dvs. hvis der findes et modul H, således at: M⊗PÅIKKE{\ displaystyle M \ otimes _ {A} N}

• Der er en bilinær applikation .φ′:M×IKKE→H{\ displaystyle \ varphi ': M \ gange N \ til H}
• Hvis f  : M × N → F er et tolinet kort, findes der et unikt lineært kort g  : H → F, således at .f=g∘φ′{\ displaystyle f = g \ circ \ varphi '}

så er H isomorf til . M⊗PÅIKKE{\ displaystyle M \ otimes _ {A} N}

Hvis det er tilfældet, som det er lineært, er der en applikation som f.eks . Ligeledes, da det er bilinært, er der en sådan applikation , at . Så og da også er en lineær afbildning af i tilfredsstillende , vi udlede det unikke egenskab, at . Det samme . Så og er A - isomorfe moduler . φ:M×IKKE→M⊗PÅIKKE{\ displaystyle \ varphi: M \ gange N \ til M \ otimes _ {A} N}u1:H→M⊗PÅIKKE{\ displaystyle u_ {1}: H \ til M \ otimes _ {A} N}φ=u1∘φ′{\ displaystyle \ varphi = u_ {1} \ circ \ varphi '}φ′:M×IKKE→H{\ displaystyle \ varphi ': M \ gange N \ til H}u2:M⊗PÅIKKE→H{\ displaystyle u_ {2}: M \ otimes _ {A} N \ til H}φ′=u2∘φ{\ displaystyle \ varphi '= u_ {2} \ circ \ varphi}φ=u1∘u2∘φ{\ displaystyle \ varphi = u_ {1} \ circ u_ {2} \ circ \ varphi}jegd{\ displaystyle id}M⊗PÅIKKE{\ displaystyle M \ otimes _ {A} N}M⊗PÅIKKE{\ displaystyle M \ otimes _ {A} N}φ=jegd∘φ{\ displaystyle \ varphi = id \ circ \ varphi}u1∘u2=jegd{\ displaystyle u_ {1} \ circ u_ {2} = id}u2∘u1=jegd{\ displaystyle u_ {2} \ circ u_ {1} = id}M⊗PÅIKKE{\ displaystyle M \ otimes _ {A} N}H{\ displaystyle H}

Bemærk: i kvotientmodulet M ⊗ N er billedet af M × N en kegle .

Tilfælde af to gratis moduler

Hvis de to A- moduler M og N er frie (for eksempel hvis den kommutative ring A er et felt og M , N to vektorrum på dette felt), er deres tensorprodukt frit: hvis ( m i ) i og ( n j ) j er respektive baser af M og N , en base af M ⊗ A N er ( m i ⊗ n j ) ( i , j ) .

Især tensor produktet af to vektorrum M og N har dimension dim ( M ) × dim ( N ).

For eksempel har den kompleksiserede  (in) af et ægte vektorrum E (specielt tilfælde af forlængelse af skalarer ), som pr. Definition er det komplekse vektorrum ℂ⊗ ℝ E , set som reelt vektorrum en dobbelt dimension af E : en hvilken som helst vektor af ℂ⊗ ℝ E er summen af ​​et tensorprodukt på 1 med en vektor af E og af i med en anden vektor af E, og hvis ( e j ) j er et grundlag for E (på ℝ), så er et basis on ℝ of ℂ⊗ ℝ E er dannet af 1⊗ e j og i ⊗ e j (mens en basis på ℂ af ℂ⊗ ℝ E er (1⊗ e j ) j ).

Generalisering til et færdigt produkt af moduler

Det, der er gjort tidligere, er let generaliseret til multilineære applikationer. Eller E 1 , ..., E n af A -modules. Vi betragter produktmodulet E = E 1 × ... × E n . Et kort f  : E → F siges at være n- lineært, hvis

Uanset indekset i og n - 1 elementerne er det delvise kort lineært.xk∈Ek(k≠jeg){\ displaystyle x_ {k} \ i E_ {k} (k \ neq i)}xjeg↦f(x1,...,xjeg-1,xjeg,xjeg+1,...,xikke){\ displaystyle x_ {i} \ mapsto f (x_ {1}, \ prikker, x_ {i-1}, x_ {i}, x_ {i + 1}, \ prikker, x_ {n})}

Der eksisterer et A- modul, som vi betegner, og et n- lineært kort over E , således at der for ethvert n- lineært kort over E i en ankomstmodul F eksisterer et unikt lineært kort sådan, at . ⨂jeg=1ikkeEjeg{\ displaystyle \ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} E_ {i}}φ:(x1,...,xikke)↦x1⊗x2⊗⋯⊗xikke{\ displaystyle \ varphi: (x_ {1}, \ prikker, x_ {n}) \ mapsto x_ {1} \ otimes x_ {2} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {n}}⨂jeg=1ikkeEjeg{\ displaystyle \ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} E_ {i}}g:⨂jeg=1ikkeEjeg→F{\ displaystyle g: \ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} E_ {i} \ til F}f=g∘φ{\ displaystyle f = g \ circ \ varphi}

Faktisk er tensorproduktet fra to moduler associerende i følgende betydning: hvis E , F , G er tre A- moduler, så er modulerne ( E ⊗ A F ) ⊗ A G , E ⊗ A (F ⊗ A G ) og E ⊗ A F ⊗ A G er isomorf.

Kategorisprog

For fast A -modules E 1 , ..., E n , de multilinear kort , hvor F krydser A -modules, er de genstande af en kategori , en morphism fra objekt til objekt er en lineær kort h af F i G , således at . På det sprog, kategorier, ejendommen angivet ovenfor af kortet over i , nemlig at for ethvert n -lineær kort over i en ankomst modul F eksisterer der et unikt lineært kort , således at , svarer til at anføre er et indledende formål af pågældende klasse, eller igen: at den covariant functor som et hvilket modul F forbinder modulet i multilinear tilknytninger er repræsenteret ved .  E1×⋯×Eikke→F{\ displaystyle \ E_ {1} \ times \ cdots \ times E_ {n} \ rightarrow F} f:E1×⋯×Eikke→F{\ displaystyle \ f: E_ {1} \ times \ cdots \ times E_ {n} \ rightarrow F} g:E1×⋯×Eikke→G{\ displaystyle \ g: E_ {1} \ times \ cdots \ times E_ {n} \ rightarrow G} g=h∘f{\ displaystyle \ g = h \ circ f}φ:(x1,...,xikke)↦x1⊗x2⊗⋯⊗xikke{\ displaystyle \ varphi: (x_ {1}, \ prikker, x_ {n}) \ mapsto x_ {1} \ otimes x_ {2} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {n}} E1×⋯×Eikke{\ displaystyle \ E_ {1} \ times \ cdots \ times E_ {n}}⨂jeg=1ikkeEjeg{\ displaystyle \ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} E_ {i}} E1×⋯×Eikke{\ displaystyle \ E_ {1} \ times \ cdots \ times E_ {n}}g:⨂jeg=1ikkeEjeg→F{\ displaystyle g: \ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} E_ {i} \ til F}f=g∘φ{\ displaystyle f = g \ circ \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}E1×...×Eikke→F{\ displaystyle E_ {1} \ times \ ldots \ times E_ {n} \ to F}⨂jeg=1ikkeEjeg{\ displaystyle \ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} E_ {i}}

For et fast A- modul N er dataene for et bilineært kort over M × N i F desuden ækvivalente med dataene for et lineært kort over M i modulet Hom ( N , F ) for de lineære kort over N i F , således at funktoren - ⊗ N er supplerende til venstre for funktoren Hom ( N , -), dvs. vi har en naturlig isomorfisme:

Hom(M⊗IKKE,F)≃Hom(M,Hom(IKKE,F)).{\ displaystyle \ mathrm {Hom} (M \ otimes N, F) \ simeq \ mathrm {Hom} (M, \ mathrm {Hom} (N, F)).}

Noter og referencer

1. Serge Lang , Algebra [ detaljerede udgaver ], 3 e ed., Paris, Dunod, 2004, s. 618-620.

Relaterede artikler

• Tensorprodukt af algebraer
• Yoneda lemma

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">