Kulgebra

I matematik er begrebet kulgebra en dobbelt forestilling om algebra over en ring eller over et felt. Uformelt er en algebra A et vektorrum (eller et -modul), der desuden er forsynet med en multiplikation, det vil sige med et kort, der sammensætter to elementer af A for at bygge en tredje. En kulgebra C er derfor et vektorrum (eller et -modul) udstyret med en comultiplikation , det vil sige med et kort, der tager et element af C, og som returnerer to . $\ mathbb {K}$ $\ mathbb {K}$

Formel definition

Lad K være et felt. En kulgebra C over K er et K- vektorrum udstyret med to K- lineære kort og sådan, at: ${\ displaystyle \ Delta: C \ til C \ otimes C}$ ${\ displaystyle \ epsilon: C \ til K}$

${\ displaystyle (\ mathrm {id} _ {C} \ otimes \ Delta) \ circ \ Delta = (\ Delta \ otimes \ mathrm {id} _ {C}) \ circ \ Delta}$
${\ displaystyle (\ mathrm {id} _ {C} \ otimes \ epsilon) \ circ \ Delta = \ mathrm {id} _ {C} = (\ epsilon \ otimes \ mathrm {id} _ {C}) \ circ \ Delta}$ .

Ansøgningen kaldes biproduktet og samværet. Den første betingelse kaldes coassociativity (dobbelt forestilling om associativitet i ringe ), og den anden er den analoge af det forhold, som enhed (det neutrale multiplikationselement) opfylder i en ring. $\ Delta$ $\ epsilon$

Forhold til algebraer

Begrebet coalgebra er dual til den i algebra, i den forstand, at den lineære dobbelte af den underliggende vektorrum en coalgebra C har en naturlig struktur algebra induceret biprodukt C . For lad f , g to elementer i den dobbelte C . Ved at indstille for alle x af C definerer vi produktet af f og g ved: ${\ displaystyle \ Delta (x) = \ sum x ^ {(1)} \ otimes x ^ {(2)}}$

{\ displaystyle (f \ star g) (x) = (f \ otimes g) (\ Delta (x)) = \ sum f (x ^ {(1)}) \ times g (x ^ {(2)} )}

Det faktum, at det er co-associerende, er nøjagtigt den betingelse, der garanterer, at det er associativt. $\ Delta$ $\stjerne$

Omvendt, hvis A er en endelig dimensionel algebra , så har dualen af A en naturlig kulgebrastruktur. Multiplikationen af A kan faktisk ses som en applikation . Ved at skifte til dual får vi en applikation defineret af ${\ displaystyle \ mu: A \ otimes A \ longrightarrow A}$ ${\ displaystyle \ mu ^ {*}: A ^ {*} \ longrightarrow (A \ otimes A) ^ {*}}$

{\ displaystyle \ forall f \ i A ^ {*}, \ (\ mu ^ {*} (f)) (x \ otimes y) = f (\ mu (x \ otimes y))}

Men hvis A har en begrænset dimension, eksisterer der en naturlig isomorfisme , og definerer derfor et biprodukt, co-associativitet, der er resultatet af associativitet af . ${\ displaystyle (A \ otimes A) ^ {*} \ cong A ^ {*} \ otimes A ^ {*}}$ $\ mu ^ {*}$ $\ mu$

Eksempel

Hvis E er en K-space basisvektor , så definerer vi et biprodukt ved at placere og det lineært strækker sig hele E . ${\ displaystyle \ {e_ {i} \} _ {i \ i I}}$ ${\ displaystyle \ Delta (e_ {i}) = e_ {i} \ otimes e_ {i}}$

Bibliografi

(en) Bart Jacobs, Introduktion til kulgebra: mod matematik i stater og observationer , Cambridge, Cambridge University Press, koll. "Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science",oktober 2016, 494 sider s. ( ISBN 978-1-107-17789-5 , online præsentation ).
Davide Sangiorgi, " Om oprindelsen af bisimulation og coinduction ", ACM Trans. Program. Lang. Syst , vol. 31 (4),2009, s. 15: 1-15: 41
Davide Sangiorgi, Introduktion til bisimulation og coinduction , Cambridge University Press,2012.
Davide Sangiorgi og Jan Rutten, Advanced Topics in Bisimulation and Coinduction , Cambridge University Press,2011.

Indledningstekster

Bart Jacobs og Jan Rutten, " En tutorial om (Co) Algebras og (Co) Induktion ", Bulletin EATCS , nr . 62,1997, s. 222-269 ( læs online , hørt 29. juni 2018 ) - beskriver induktion og coinduktion samtidigt
Eduardo Giménez og Pierre Castéran, " " En tutorial om [Co-] induktive typer i Coq " " ,2007(adgang til 29. juni 2018 ) .
Dexter Kozen og Alexandra Silva , " Practical coinduction ", Matematiske strukturer inden for datalogi , bind. 27, nr . 07,2016, s. 1132–1152 ( ISSN 0960-1295 , DOI 10.1017 / S0960129515000493 , læs online ).
Pierre-Marie Pédrot, " En undersøgelse af coinduction i Coq " ,18. juni 2015(adgang til 29. juni 2018 ) .

Se også