Kobordisme

I differentiel topologi er cobordisme et ækvivalensforhold mellem kompakte differentiale manifolder . To kompakte sorter M og N siges at være kobordante eller i kobordisme, hvis deres uensartede forening kan udføres som kanten af en sort med kompakt L- kant . Vi siger derefter, at denne sort L er en kobordisme mellem M og N , eller at L realiserer en kobordisme mellem M ogN . Eksistensen af en sådan kobordisme indebærer, at M og N har samme dimension .

Strengt taget er cobordismen ikke et ækvivalensforhold, fordi klassen af differentierede sorter af en given størrelse n ikke er et sæt . Det faktum, at to sorter M og N er sammenhængende, afhænger dog kun af klassen af diffeomorfier af disse sorter. Kobordisme definerer en ækvivalensrelation på sættet af differentiale manifolder af dimension n identificeret op til diffeomorfisme.

Efter konvention antages en sort at kunne tælles ad infinitum . Hver kompakt kan dækkes af et endeligt antal lokale kort domæner , og hvert domæne er identificeret med en åben én af R n . En differentieret manifold har derfor kraften til kontinuerlig . Klassen af differentierede størrelse sorter n identificeret diffeomorphisme opnås som en kvotient af den samlede differentielle mangfoldigheder strukturer af dimension n over hele R .

Der er en finere relation end kobordisme for orienterede differentieringsmanifold . En orientering på en sort på kanten inducerer en retning på kanten. For en tilsluttet orienterbar differensmanifold M findes der nøjagtigt to forskellige retninger. Hvis en af disse retninger er specificeret, siges M ved misbrug af sprogorienteret . Vi betegner derefter sorten M udstyret med den anden orientering. To kompakte mangfoldigheder orienterede M og N kaldes cobordantes når der er en række kompakt kant og orienteret W , hvis kant er disjunkte forening af og N . Det siges, at W er en cobordism orienteret mellem M og N . $\ overline {M}$ $\ overline {M}$

Der er også andre forestillinger om kobordisme diskuteret senere i artiklen.

Eksempler på kobordismer

I dimension 0

Varianter kompakt størrelse 0 er nøjagtigt de " endelige sæt " punkter. Diffeomorfismerne er bindingerne. Bortset fra diffeomorfisme klassificeres de efter deres kardinalitet . En kompakt afgrænset manifold af dimension 1 er simpelthen en uensartet endelig forening af kopier af segmentet [0,1] og kopier af cirklen . Anvendelsen af segmenter tillader ved en kobordisme at annullere et lige antal point. På den anden side er et punkt ikke i kobordisme med et par punkter. Faktisk er to endelige sæt i kobordisme, hvis deres kardinaler har samme paritet .

Som et hvilket som helst beslægtet manifold har et punkt nøjagtigt to retninger, symboliseret ved et tegn (+ eller -). En kompakt orienteret manifold med dimension 0 er en begrænset samling af + og - tegn. Brug af kopier af det orienterede segment [0,1] gør det muligt ved en orienteret kobordisme at annullere et + tegn med et - tegn, eller tværtimod at oprette et + tegn og et - tegn. Antallet af tegn + minus antallet af tegn - kaldet signatur, er uændret af orienteret cobordisme.

I dimension 1

Den eneste tilsluttede kompakte manifold med dimension 1 er op til diffeomorfisme nær cirklen . Faktisk er en kompakt differensmanifold af dimension 1 en uensartet sum af et endeligt antal cirkler. De bukser skaber en cobordism mellem en cirkel og en forening af to cirkler (se figur modsatte). Ved øjeblikkelig gentagelse er enhver usammenhængende sammenslutning af et begrænset antal cirkler på sin side samordnet med en cirkel. Kobordisme i dimension 1 giver ingen relevant information.

I højere dimension

Enhver kompakt overflade af R n grænser op til et kompakt domæne. Ved at fratrække en lukket pasning fra sådant domæne, enhver kompakt hyperoverflade af R n er cobordant til kuglen S n -1 .
Alle kompakt orienterbar overflade af dimensionen 2 er realiseret som en kompakt hyperoverflade af R 3 . Det forrige eksempel viser, at alle orienterbare overflader af dimension 2 er sammenbundne. Kobordisme giver ikke information om køn .
Enhver orienterbar kompakt manifold med dimension 3 er i overensstemmelse med kuglen S 3 (eller til det tomme sæt, det kommer til det samme). Resultatet er falsk i højere dimension.

Begrænsninger

Der er begrænsninger af homologisk karakter, der forhindrer to differentiale manifolder i at være sammenhængende. Disse begrænsninger bruger de karakteristiske klasser .

Stiefel-Whitney-numre

Enhver karakteristisk klasse med koefficienter i Z / 2 Z skrives (entydigt) som et polynom i Siefel-Whitney-klasser.
På ethvert partition s til n og enhver differentiel manifold M af dimension n er forbundet med antallet af Stiefel-Whitney w s ( M ) i Z / 2 Z .

Pontrjagins sætning - Hvis to differentielle manifolder M og N af samme dimension er coobordante, så har de samme Stiefel-Whitney-tal.

Thoms sætning - Hvis to differentieringsmanifolds af samme dimension har samme Stiefel-Whitney-tal, så er de kobordante.

H-cobordism sætning

Teoremet h-cobordism tillader os at forstå cobordisme i form af genoprettelser og topologiske konstruktioner. Dens bevis er baseret på brugen af Morse-funktioner og det grundlæggende i Morse-teorien .

Kobordisme mellem kontaktvarianter

En kontaktmanifold er en kompakt differentialmanifold med ulige dimension N , forsynet med en differentiel form, såsom en volumenform . Det siges: $\ alpha$ $\ alpha \ wedge (d \ alpha) ^ {n}$

Konveks kant af et symplektisk manifold med dimension 2 n + 2, når det er en sammenslutning af tilsluttede komponenter af kanten af M, i nærheden af hvilken der findes et udgående Liouville-felt ; $(M, \ omega)$
Konkav kant af et symplektisk manifold med dimension 2 n + 2, når det er en sammenslutning af forbundne komponenter af kanten af M, i nærheden af hvilken der findes et genindtrængende Liouville-felt. $(M, \ omega)$

To kontaktmanifolder og siges at være sammenhængende, når der er en symplektisk manifold, hvis grænse er den uensartede forening af og realiseret som henholdsvis konkave og konvekse kanter. $(N_ {1}, \ alpha _ {1})$ $(N_ {2}, \ alpha _ {2})$ $(M, \ omega)$ $N_ {1}$ $N_ {2}$

Referencer

R. Thom, " Nogle globale egenskaber af differentiable mangfoldigheder ", Commentarii Mathematici Helvetici ,1954, s. 17-86 ( ISSN 0010-2571 , læs online )
(i) Robert Stong, Bemærkninger om cobordism teori , Princeton, Princeton University Press , 2016 (første udgave, 1968), 422 s. ( ISBN 978-0-691-64901-6 )